По правилам дифференцирования дроби получим
б) .
Решение.
По правилам дифференцирования произведения получим
в)
Решение.
Дифференцируем как сложную функцию.
г) . Это неявная функция.
Решение.
, , .
Задача 6.С помощью правила Лопиталя вычислить пределы функций:
1) .
Решение.
Непосредственная подстановка х = 0 приводит к неопределенности вида , следовательно, можно применить правило Лопиталя: заменить предел отношения функций пределом отношения их производных.
2)
Решение.
При получим неопределенность вида , когда можно применить правило Лопиталя.
Задача 7. Исследовать функцию и построить ее график.
Решение.
Исследование выполним по примерной схеме, имеющейся в учебниках и практических руководствах. График можно строить либо по ходу исследования, либо конце исследования (рис.2).
| 1) Область определения функции . 2) Найдем точки пересечения графика функции с осями координат. Пусть , тогда . Пусть , тогда или . Значит, график функции проходит через начало координат. 3) Проверить является ли функция четной, нечетной, общего вида. . Функция общего вида. 4) Найти асимптоты графика функции (вертикальные, наклонные, горизонтальные). |
Вертикальная асимптота может быть в точке разрыва или на границе области определения. Здесь вертикальная асимптота . , - предел слева в точке ; - предел справа. Наклонные асимптоты вида Найдем, если существуют конечные пределы и .
Здесь
Итак, - уравнение наклонной асимптоты.
5) Найти интервалы монотонности (возрастания и убывания) функции и точки экстремума.
Найдем производную первого порядка.
Найдем критические точки первого рода и выясним знаки на полученных интервалах в окрестности критических точек. Критические точки: х1 = 0, х2 = 3, х3 = 1 - последняя н входит в область определения функции. Используя достаточные признаки экстремума, выясним, как меняет знак при переходе через критические точки слева направо. Возьмем непрерывный интервал , содержащий точку .
; . Так как при переходе через точку производная знак не имеет, то функция монотонно возрастает и не является точкой экстремума.
Возьмем интервал , содержащий точку х = 3.
; . Здесь производная меняет знак с «-» на «+», значит, х =3 – точка минимума функции .
Итак, функция возрастает на интервалах и , убывает на интервале (1;3).
6) Найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба.
Вычислим производную второго порядка и найдем критические точки второго рода.
Критические точки второго рода, при которых в нуль или существует, такие , , но эта последняя не входит в область определения функции. Остается точка х = 0. Проверим меняет ли знак при переходе через эту точку. Возьмем интервал (-1; ), содержащий точку х = 0. Вычислим , . Отсюда следует, что х = 0 – точка перегиба, . . Отсюда следует, что - интервал выпуклости; , - интервалы вогнутости кривой.
Задача 8.Три пункта А.В. и С расположены так, что угол АВС (рис.3) равен 600. Расстояние между пунктами А и В равно 200 км. Одновременно из пункта А выходит автомобиль, а из пункта В – поезд. Автомобиль движется по направлению к пункту В со скоростью 80 км/ч, а поезд движется по направлению к пункту С со скоростью 50 км/ч. Через скорость времени расстояние между автомобилем и поездом будет наименьшим?
Решение.
| Пусть t-время, через которое, поле начала движения автомобиля и поезда, расстоянием MN = s между ними будет наименьшими. По теореме косинусов для треугольника MBN запишем равенство H0 MB = 200 – 80t, NB = 50t, cos600 = . |
рис. 3.
Тогда получим уравнение ;
км.
Отсюда . Найдем первую производную по t:
. Приравнивая первую производную к нулю получим откуда или - критическая точка.
Квадратный трехчлен под корнем в знаменателе в ноль не обращается ни при каких действительных значениях t, поскольку его дискриминант Д .
Легко видеть, что при переходе через критическую точку t0 от меньших значений t к большим, например, от t = 1 до t = 2, первая производная меняет знак с минуса на плюс . Следовательно, t0 = 1.6279 часа – точка минимума функции s. А так как других экстремумов эта функция не имеет, то в точке минимума функция имеет наименьшее значение: .
Задача 11.Найти неопределенные интегралыа) , б) ,
В) , г) , д) .
Предлагаемые интегралы можно , применив основные методы
интегрирования; метод замены переменной подстановка, метод
интегрирования по частям.
Решение.
а) ;
Подстановка: . Найдем дифференциалы обеих частей подстановки
или . Произведем замену переменной в подынтегральном выражении и найдем интеграл .
Б) .
В первом из интегралов, стоящих справа, введем подстановку . откуда или . Таким образом, .
Второй интеграл справа является табличным .
Итак, , где , две произвольные постоянные суммы неопределенных интегралов объединяют в одну.
в)
Подстановка:
Получим табличный интеграл типа . Возвращаясь к прежней переменной, будем иметь .
г) .Найдем его методом интегрирования по частям по формуле .
Примем , .
В первом из этих двух равенств обе части дифференцируем, чтобы найти , а во втором интегрируем, чтобы найти . Получим , (здесь произвольную постоянную интегрирования принимаем равной нулю, поскольку достаточно хотя бы одного значения ).
Применив формулу интегрирования по частям, получим
.
д) .Это интеграл от рациональной функции. Разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби по известному правилу, предварительно разложив знаменатель дроби на множители . Тогда , где A, B, M, N – неопределенные коэффициенты, которые надо найти. Приведя обе части последнего равенства к общему знаменателю, найдем
.
Такое равенство отношений с одинаковыми знаменателями возможны только в случае равенства числителей, то есть .
Приравнивая коэффициенты при x в одинаковых степенях в левой и правой частях последнего равенства, получим систему уравнений
Решение системы:
Переходим к интегрированию
!! .
Приведем две задачи геометрического характера, связанные с вычислениями определенного интеграла.
Задача 12. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями ,
, (рис.2)
| Решение. Фигура ОМА (рис.4) ограниченная данными линиями, состоит из двух частей ОМВ и ВМА, представляющих собою частные случаи криволинейных трапеций, ограниченных сверху кривой на и примой на . Таким образом искомая площадь вычисляется с помощью определенного интеграла как сумма двух площадей по формуле |
рис. 4.
Определенные интегралы вычисляются по ф>рмуле Ньютона-Лейбница . Итак, площадь ОМА равна
.
Задача 13. Вычислить объем тела, полученного в результате вращения
вокруг оси фигуры, ограниченной линиями , ,
, . (рис. 5).
| Решение. Объем тела вращения находим по формуле |