Traduisez les mots sans consulter le dictionnaire. La caractéristique – le système – à priori – la phase – l’évolution – la fonction – l’aspect déterministe – l’implication –

La caractéristique – le système – à priori – la phase – l’évolution – la fonction – l’aspect déterministe – l’implication – se concrétiser – mathématiquement – le théorème – ordinaire – le processus – vectoriel (le) - la forme – l’intervalle – la classe – la constante – réel (le) – la physique.

3. Lisez le texte et nommez les caractéristiques générales d’un système régi par une équation différentielle.

Les caractéristiques d’un système régi par une équation différentielle sont les suivantes:

Les états à priori possibles pour le système forment un espace de dimension finie, c’est-à-dire peuvent être décrits par un nombre fini de variables. Cet espace est l’espace des phases. Par exemple, pour décrire le mouvement d’une particule dans l’espace usuel, il faut trois variables. Pour le mouvement d’un solide, six sont nécessaires.

Les lois qui gouvernent l’évolution temporelle sont des fonctions au moins dérivables.

L’évolution du système est déterministe: connaissant les conditions initiales, c’est-à-dire l’état du système au temps présent, on peut en déduire l’état du système à n’importe quel temps du futur ou du passé.

L’aspect déterministe des équations différentielles a des implications particulièrement fortes, et se concrétise mathématiquement par le théorème de Cauchy-Lipschitz.

Les équations différentielles ordinaires (parfois représentées par le sigle EDO) doivent être distinguées des équations aux dérivées partielles (EDP), où y est fonction de plusieurs variables et où interviennent des dérivées partielles. Ces dernières ont un espace d’état de dimension infinie et ne sont plus nécessairement des processus d’évolution déterministes.

Définition générale

Soit E un espace vectoriel de dimension finie.

Par définition, une équation différentielle (parfois: équation différentielle ordinaire) est une équation de la forme suivante:

où F est une fonction continue sur un ouvert U de , appelé domaine.

L’ordre de cette équation différentielle est l’ordre n de la plus haute dérivée y apparaissant. Soient y une fonction de x définie d’un intervalle I dans E et les dérivées successives de la fonction y. Cette fonction y est dite solution si elle est de classe et si

Résoudre une équation différentielle revient à trouver les fonctions solutions y. Par exemple, l’équation différentielle y ‘ ‘ + y = 0 a une solution générale de la forme: y(x) = A.cos x + B. sin x, où A, B sont des constantes (qu’on peut déterminer si on ajoute des conditions initiales).

Dans une équation différentielle, la fonction y peut être à valeurs réelles, ou à valeurs dans un espace vectoriel de dimension finie, ainsi si y a pour composantes y1 et y2:

L’usage en physique est de parler alors de système d’équations différentielles couplées. Mais le point de vue fécond en mathématiques est de n’y voir qu’une seule équation, pour une fonction à valeurs vectorielles.

On peut encore élargir la définition, en considérant des équations différentielles sur des variétés différentielles.

4. Associez pour compléter les phrases.

1.	Les états à priori possibles pour le système	a.	.
	L’évolution du système est déterministe:	b.	d’équations différentielles couplées.
3.	L’aspect déterministe des équations différentielles se concrétise mathématiquement par	c.	le théorème de Cauchy-Lipschitz.
4.	Par définition, une équation différentielle est une équation de la forme suivante	d.	pour une fonction à valeurs vectorielles.
5.	Dans une équation différentielle, la fonction y peut être à valeurs réelles, ou	e.	peuvent être décrits par un nombre fini de variables.
6.	L’usage en physique est de parler alors de système	f.	à valeurs dans un espace vectoriel de dimension finie
7.	Le point de vue fécond en mathématiques est de n’y voir qu’une seule équation,	g.	connaissant les conditions initiales.