Наглядное пояснение основной концепции ФА с помощью
Числового примера
По факторной матрице A, как это показано в табл.2, вычисляются общности. Общность hi2 первой переменной равна: 0,902 + 0,102 = 0,82. Тогда характерность определяется: 1-0,82 = 0,18. Таким же образом могут быть определены эти величины для всех переменных.
На рис. 12 единичная дисперсия каждой переменной изображена в виде прямоугольника, площадь которого равна единице. Единичная дисперсия с помощью методов факторного анализа разбивается на составляющие, одна из которых является дисперсией характерного фактора (затушевано), а другая - ее общностью (остальная часть площади прямоугольника). Общность каждой переменной далее расчленяется на доли дисперсии, связанные с отдельными факторами.
Таблица 2
Вычисление долей дисперсии по матрице А
| А= (аij) | А2= (аij2) | hi2 | ui2 | ||
| 0.90 | 0.10 | 0.81 | 0.01 | 0.82 | 0.18 |
| 0.80 | 0.05 | 0.64 | 0.0025 | 0.6425 | 0.3575 |
| 0.70 | 0.10 | 0.49 | 0.01 | 0.50 | 0.50 |
| 0.05 | 0.80 | 0.0025 | 0.64 | 0.6425 | 0.3575 |
| 0.10 | 0.70 | 0.01 | 0.49 | 0.50 | 0.50 |
| 0.05 | 0.50 | 0.0025 | 0.25 | 0.2525 | 0.7475 |
| Суммы столбцов hi2 = | 1.9550 + 1.4025 = | 3.3575 2.6425 | |||
| Полная дисперсия = hi2 + ui2 = 3.3575 + 2.6425 | = 6.0000 |
Изобразим для наглядности структуру факторной матрицы A из табл.2 графически (рис.12).
Рис.12. Распределение долей единичных дисперсий переменных по факторам.
(доли соответствуют численным значениям табл.2)
В данном примере выделены два фактора. Доля дисперсии первого фактора изображена косой штриховкой, дисперсии второго фактора соответствует чистая площадка. Количественные соотношения между долями дисперсии взяты из табл.2. Например, единичная дисперсия первой переменной на 81% состоит из дисперсии первого фактора, на 1% – из дисперсии второго фактора и на 18% – из дисперсии характерного фактора. Аналогично из табл.2 берется распределение долей дисперсии других переменных.
По рис.12 можно оценить, какая часть дисперсии каждой переменной объясняется факторами, выделенными в процессе анализа, и какая доля приходится на характерность. Также легко видеть, какие переменные с какими факторами связаны.
Если рассматривать лишь заштрихованные области, то видно, откуда первый фактор получает свою дисперсию.
Рассматривая только пустые клетки в прямоугольниках, определяем источники дисперсии второго фактора.
На рис.13 сопоставляются друг с другом доли дисперсии обоих факторов и суммарной характерности. В табл. 3 показано, как определяют доли дисперсии обоих факторов в процентах от полной дисперсии.
Таблица 3.
Доли дисперсии факторов в процентах от полной дисперсии
| Вид дисперсии | Абс. значение | % |
| Полная дисперсия | 6,0 | |
| Дисперсия 1 фактора | 1,9550 | 32,58 |
| Дисперсия второго фактора | 1,4025 | 23,37 |
| Суммарная общность | 3,3575 | 55,95 |
| Суммарная характерность | 2,6425 | 44,04 |
Рис. 13. Процент полной дисперсии
Сумм. общность=55,95% Сумм. харак.=44,05
На рис.14 за 100% принята суммарная общность (сумма hi2 ) и показано соотношение дисперсий обоих факторов, отнесенных к Shi2.
Рис. 14. Процент суммарной общности
переменные 4,5, 6 переменные 1,2,3
- дисперсия характерного фактора
- дисперсия первого фактора
- дисперсия второго фактора
Дисперсию каждого фактора в свою очередь можно расчленить на доли, связанные с дисперсиями всех переменных. Эти доли, выраженные в процентах, легко определяются по схеме таблицы.
Итак, исходя матрицы А, можно сделать следующие выводы (которые графически изображены на рис. 12):
1) два фактора «объясняют» почти всю общую дисперсию, которая даже немного превышает половину полной дисперсии;
2) первые три переменные связаны с первым фактором, последние три – со вторым.
На рис. 12 наглядно демонстрируется сущность проблемы общности, которая состоит в определении границ между затушеванными, заштрихованными и чистыми областями для каждой переменной.
Проблема факторов касается установления количества факторов, обусловливающих корреляции и определения их связей с переменными. Вполне очевидно, что обе проблемы взаимосвязаны. Чем дальше налево распространяется затушеванная область на рис. 12, тем меньше факторов можно осмысленно выделить, и обратно.
Если популярно объяснять проблему вращения, то можно сказать, что она состоит в установлении внутри фиксированных общностей границ между заштрихованными и чистыми участками для всех переменных таким образом, чтобы факторы по возможности однозначно определялись переменными.