Проверка согласованности суждений ЛПР.

При заполнении матриц попарных сравнений человек может совершать ошибки. Одной из них может быть нарушение транзитивности: . Возможны нарушения согласованности численных суждений: .

Для обнаружения несогласованностей предложен подсчет т.н. «индекса согласованности сравнений», осуществляемый по матрице парных сравнений. Алгоритм его таков:

1. В матрице парных сравнений для всех суммируются элементы -го столбца.

2. Сумма элементов каждого столбца умножается на соответствующие нормализованные компоненты вектора весов, определенного по этой же матрице.

3. Полученные числа суммируются в показатель .

4. Вычисляется индекс согласованности , где – размерность матрицы. Для кососимметрической матрицы .

5. Подсчитывается среднее значение индекса согласованности R для кососимметрических матриц, заполненных случайным образом. Для =7 R 1,32; для =8 R 1,41.

6. Вычисляется отношение транзитивности: . Считается, что если T 0,1, то мнение ЛПР согласовано. При превышении следует провести расчеты заново.

Контрпримеры и противоречия. Метод AHP возник как эвристический прием. Хотя предпринимались аксиоматические основания метода AHP, но пока они не увенчались успехом. Метод апеллирует к здравому смыслу пользователя. Найдено, что введение новой альтернативы может в общем случае привести к изменению отношений между двумя имеющимися альтернативами.

Пример: пусть имеются 2 критерия и 2 альтернативы:

Критерий	C1	C2	Собственный вектор	Вес
C1			1,732	0,75
C2	0,333		0,577	0,25

Сравнение по критерию С1:

Альтернативы	A1	A2	Собственный вектор	Вес
A1			1,732	0,75
A2	0,333		0,577	0,25

Сравнение по критерию С2:

Альтернативы	A1	A2	Собственный вектор	Вес
A1			0,577	0,25
A2	0,333		1,732	0,75

0,75 0,75+0,25 0,25 = 0,625; 0,75 0,25+0,25 0,75 = 0,325.

Таким образом, оптимальной является альтернатива . Вводим третью альтернативу . Тогда сравнение по критерию С1 примет вид:

Альтернативы	A1	A2	A3	Собственный вектор	Вес
A1			0,14	0,754	0,15
A2	0,333		0,14	0,333	0,066
A3				3,98	0,784

Сравнение по критерию С2:

Альтернативы	A1	A2	A3	Собственный вектор	Вес
A1		0,333			0,23
A2					0,69
A3	0,333	0,11		0,333	0,08

15. Мультипликативный метод аналитической иерархии

Он предложен проф. Ф. Лутсма. В его основе два положения:

1) Если ЛПР определяет отношение (а не абсолютные значения) двух элементов соответствующего уровня иерархии, то более логично перемножить такие отношения, а не суммировать значения, полученные из сравнений.

2) Переход от вербальных сравнений к числам должен происходить на основе некоторых предположений о поведении человека при сравнительных измерениях.

Рассмотрим второе положение. В психофизике изучается, как человек без приборов производит измерения объективных физических величин (вес, громкость звука и т. д.). Результаты экспериментов показывают, что связь между субъективными измерениями двух стимулов могут быть выражены универсальным степенным законом: , где S1, S2 – стимулы (воздействия на человека), - субъективное измерение стимула (величины воздействия), - определенная положительная константа.

В качестве одного из примеров Ф. Лутсма приводит измерение громкости звука в децибелах. Пусть - интенсивность звука, взятая в качестве опорной: ; где — интенсивность звука в децибелах по отношению к базовой интенсивности . Разность в 10 децибел между интенсивностями звуков и может быть записана как . Отсюда следует, что , .

Иначе говоря, при увеличении интенсивности звука в 10 раз расстояние на шкале удваивается. Лутсма предлагает аналогично строить шкалы для субъективного измерения различных факторов при принятии решений. Так при покупке автомобиля одним из важных критериев является цена. Предлагается установить значение и – диапазон цен, реальных для покупателя. Интуитивно мы делим этот диапазон на несколько интервалов, определяющих существенные для покупателя различия в уровнях цен.

Известный в психофизике закон Вебера утверждает, что субъективное расстояние между двумя стимулами пропорционально величине стимула: , где ; - субъективное восприятие различных цен; - некий коэффициент. Таким образом, .

Мы получили шкалу, являющуюся геометрической прогрессией со знаменателем . Удобно ввести параметр шкалы , что позволяет определить деление шкалы как .

Можно представить, что для цен на автомобили используется вербальная шкала следующего вида: дешевый немного более дорогой более дорогой существенно более дорогой. К этим четырем категориям можно добавить промежуточные и получить шкалу из 6-9 категорий со знаменателем прогрессии .

В общем случае переход от вербальных сравнений к числовым задается шкалой, приведенной в таблице, отражающей шкалу относительной важности:

Уровень важности	Количественные значения
намного превосходит	-6
строго превосходит	-4
превосходит	-2
примерно равно
превосходит
строго превосходит
намного превосходит

Процедура выполнения метода AHP такова:

1. Первичное измерение с помощью словесной (вербальной) шкалы, осуществление сравнения на всех уровнях иерархии.

2. Перевод результатов в количественный вид с помощью геометрической шкалы, обозначение результата измерения при сравнении элементов и по критерию как .

3. Определение баллов, отражающих сравнительные оценки важности альтернатив по сравнению с альтернативой по критерию t, для этого используется преобразование . Таким образом, осуществляется переход от матрицы попарных сравнений, заполненной с использованием геометрической шкалы, к матрице субъективной важности иерархической схемы.

4. Подсчет коэффициентов важности альтернатив по критерию . Сначала определяется геометрическое среднее каждой из строк в матрице субъективной относительной важности элементов иерархии , где j=1,2,…,n. Затем эти показатели нормализуются: .

5. Определение аналогичным способом нормализованных весов на других уровнях иерархической схемы.

6. определение ценности каждой из альтернатив с использованием мультипликативной формулы:

Пример: пусть имеется четыре альтернативы – A, B, C и D варианта постройки аэропорта. Пусть предпочтение между альтернативами оценивается по вербальной шкале с 6-ю значениями, причем =0,7. Коэффициенты важности альтернатив по критериям приведены в таблицах.

Сравнение по критерию C1:

Альтернатива	A	B	C	D	Среднее	Вес
A			-4		-6		-8		0,043	0,003
			0,06		0,014		0,004
B					-2		-4		0,7	0,05
	16,44				0,25		0.06
C							-2		2,87	0,19
	66,69		4,06				0,25
D									11,59	0,757
	27,04		16,44		4,06

Сравнение по критерию C2:

Альтернатива	A	B	C	D	Среднее	Вес
A			-8		-4		-6		0,043	0,004
			0,004		0,06		0,014
B							1,5		7,48	0,65
	270,4				4,06		2,85
C			-2				-1,5		1,1	0,096
	16,44		0,25				0,35
D			-1,5		1,5				2,86	0,25
	66,69		0,35		2,85

Сравнение по критерию C3:

Альтернатива	A	B	C	D	Среднее	Вес
A									11,59	0,757
			4,06		16,44		270,4
B	-2								2,87	0,19
	0,25				4,06		66,69
C	-4		-2						0,7	0,05
	0,06		0,25				16,44
D	-8		-6		-4				0,043	0,03
	0,004		0,014		0,06

В клетках таблиц представлены численные выражения вербальной сравнительной оценки (левое значение) и значения (правое значение).

Сравнение критериев по важности:

Критерий	С1	С2	С3	Вес
С1				0,8
С2	-4			0,12
С3	-2	-2		0,08

Веса критериев вычисляются аналогичным образом. Определяем ценность альтернатив:

;

;

;

.

Итог: – упорядочивание альтернатив по ценности; – лучшая альтернатива.

Коллективные решения

Парадокс Кондорсе

Одним из первых, кто заинтересовался системами голосования, был французский ученый маркиз де Кондорсе (1743-1794). Он сформулировал принцип (критерий), позволяющий определить победителя в демократических выборах. Принцип состоит в следующем. «Кандидат, который побеждает при сравнении один на один с любым из других кандидатов, является победителем на выборах». Система де Кондорсе такова: каждый из голосующих упорядочивает кандидатов по степени своего желания видеть каждого из них победителем. При этом справедливое определение победителя возможно путем попарного сравнения кандидатов по числу голосов, поданных за них. Однако вскоре обнаружился парадокс, получивший имя Кондорсе.

Пусть, например, голосование выставлено 3 кандидата: , и . Голоса шестидесяти голосовавших распределились следующим образом:

Число голосовавших	Предпочтения

Сравним предпочтения в парах кандидатов:

1) и ; из них предпочитают человек; – человек. Следовательно, по мнению большинства, .

2) и ; за – 33 человека, за – 27 .

3) и ; за – 42 человека, за – 18 .

Пришли к противоречию: .