Критические значения коэффициентов корреляции для различных степеней свободы (n-2) и разных вероятностей допустимых ошибок

Число степеней свободы	Уровень значимости
	0,05	0,01	0,001
	0,9500	0,9900	0,9900
	0,7545	0,8745	,0,9509
	0,5760	0,7079	0,8233
	0,4821	0,6055	0,7247
	0,4227	0,5368	0,6524
	0,3809	0,4869	0,5974
	0,3494	0,4487	0,5541
	0,3338	0,4297	0,5322
	0,3246	0,4182	0,5189
	0,3044	0,3932	0,4896

Метод множественных корреляций в отличие от метода парных корреляций позволяет выявить общую структуру корреляционных зависимостей, существующих внутри многомерного экспериментального материала, включающего более двух переменных, и представить эти корреляционные зависимости в виде некоторой системы.

Один из наиболее распространенных вариантов этого метода — факторный анализ — позволяет определить совокупность внутренних взаимосвязей, возможных причинно-следственных связей, существующих в экспериментальном материале. В результате факторного анализа обнаруживаются так называемые факторы - причины, объясняющие множество частных (парных) корреляционных зависимостей.

Фактор — математико-статистическое понятие. Будучи переведенным на язык психологии (эта процедура называется содержательной или психологической интерпретацией факторов), он становится психологическим понятием. Например, в известном 16-факторном личностном тесте Р. Кеттела, который подробно рассматривается во второй части книги, каждый фактор взаимно однозначно связан с определенными чертами личности человека.

С помощью выявленных факторов объясняют взаимозависимость психологических явлений. Поясним сказанное на примере. Допустим, что в некотором психолого-педагогическом эксперименте изучалось взаимовлияние таких переменных, как характер, способности, потребности и успеваемость учащихся. Предположим далее, что, оценив каждую из этих переменных у достаточно представительной выборки испытуемых и подсчитав коэффициенты парных корреляций между всевозможными парами данных переменных, мы получили следующую матрицу интеркорреляций (в ней справа и сверху цифрами обозначены в перечисленном выше порядке изученные в эксперименте переменные, а внутри самого квадрата показаны их корреляции друг с другом; поскольку всевозможных пар в данном случае меньше, чем клеток в матрице, то заполнена только верхняя часть матрицы, расположенная выше ее главной диагонали).

Анализ корреляционной матрицы показывает, что переменная 1 (характер) значимо коррелирует с переменными 2 и 3 (способности и потребности). Переменная 2 (способности) достоверно коррелирует с переменной 3 (потребности), а переменная 3 (потребности) — с переменной 4 (успеваемость). Фактически из шести имеющихся в матрице коэффициентов корреляции четыре являются достаточно высокими и, если предположить, что они определялись на совокупности испытуемых, превышающей 10 человек, — значимыми.

Зададим некоторое правило умножения столбцов цифр на строки матрицы: каждая цифра столбца последовательно умножается на каждую цифру строки и результаты парных произведений записываются в строку аналогичной матрицы. Пример: если по этому правилу умножить друг на друга три цифры столбца и строки представленные в левой части матричного равенства, то получим матрицу, находящуюся в правой части этого же равенства:

Задача факторного анализа по отношению к только что рассмотренной является как бы противоположной. Она сводится к тому, чтобы по уже имеющейся матрице парных корреляций, аналогичной представленной в правой части показанного выше матричного равенства, отыскать одинаковые по включенным в них цифрам столбец и строку, умножение которых друг на друга по заданному правилу порождает корреляционную матрицу. Иллюстрация:

Здесь x₁, х₂, х₃ и х₄ — искомые числа. Для их точного и быстрого определения существуют специальные математические процедуры и программы для ЭВМ.

Допустим, что мы уже нашли эти цифры: x₁ = 0,45, х₂ = 0,36, х₃ = 1,12, х₄ = 0,67. Совокупность найденных цифр и называется фактором, а сами эти цифры — факторными весами или нагрузками.

Эти цифры соответствуют тем психологическим переменным, между которыми вычислялись парные корреляции. х₁ — характер, х₂ — способности, х₃ — потребности, х₄ — успеваемость. Поскольку наблюдаемые в эксперименте корреляции между переменными можно рассматривать как следствие влияния на них общих причин — факторов, а факторы интерпретируются в психологических терминах, мы можем теперь от факторов перейти к содержательной психологической интерпретации обнаруженных статистических закономерностей. Фактор содержит в себе ту же самую информацию, что и вся корреляционная матрица, а факторные нагрузки соответствуют коэффициентам корреляции. В нашем примере х3 (потребности) имеет наибольшую факторную нагрузку (1,12), а х₂ (способности) — наименьшую (0,36). Следовательно, наиболее значимой причиной, влияющей на все остальные психологические переменные, в нашем случае являются потребности, а наименее значимой — способности. Из корреляционной матрицы видно, что связи переменной х₃ со всеми остальными являются наиболее сильными (от 0,40 до 0,75), а корреляции переменной х₂ — самыми слабыми (от 0,16 до 0,40).

Чаще всего в итоге факторного анализа определяется не один, а несколько факторов, по-разному объясняющих матрицу интеркорреляций переменных. В таком случае факторы делят на генеральные, общие и единичные. Генеральными называются факторы, все факторные нагрузки которых значительно отличаются от нуля (нуль нагрузки свидетельствует о том, что данная переменная никак не связана с остальными и не оказывает на них никакого влияния в жизни). Общие — это факторы, у которых часть факторных нагрузок отличны от нуля. Единичные — это факторы, в которых существенно отличается от нуля только одна из нагрузок. На рис. 5 схематически представлена структура факторного отображения переменных в факторах различной степени общности.

Рис. 5. Структура факторного отображения взаимосвязей переменных. Отрезки, соединяющие факторы с переменными, указывают на высокие факторные нагрузки.