Закон больших чисел и теория вероятностей - научная основа анализа статистических данных

В решении важнейшей задачи — установления и количествен­ного выражения закономерностей и взаимозависимости соци­альных явлений статистическая наука опирается на закон больших чисел (ЗБЧ), смысл которого состоит в том, что правильности и за­кономерности социальных явлений могут быть обнаружены только при их массовом наблюдении.

Конечно, всякая наука, каждая в своей области, имеет дело с мас­совыми явлениями, ибо в законе отражается массовидное, суще­ственное, необходимое. И хотя любая закономерность носит об­щий, а потому массовый характер, но в статистике, как мы уже убедились (гл. I), понятие массовости специфично. Оно становит­ся очевидным, если вспомнить деление закономерностей на ди­намические и статистические (гл. XIV). Статистика оперирует не родовыми, а групповыми понятиями, в которых речь идет о сред­них результатах, в то время как в родовых — о каждой входящей в него единице. Поэтому в правовой статистике знание о правонарушаемости как статистической совокупности не есть одновре­менно знание о конкретных преступлениях, входящих в нее. Хо­тя в данном случае статистик имеет дело не с чисто случайными явлениями, а с индивидуальными, которым присущи случайные отклонения.

В этом и заключается специфика статистического количественного анализа социальных процессов, в котором проявляется смысл закона больших чисел: сделанные на его основе выводы, обнаруженная тенденция, закономерность относятся к совокупности («большому числу») как таковой. То есть ЗБЧ лежит в основе самой логики статистического умозаключения; на основе ЗБЧ вы­является массовая закономерность.

Для статистических закономерностей весьма характерно слож­ное переплетение внутренних и внешних причин, необходимого и случайного.

И эти закономерности образуются отнюдь не в ходе «игры слу­чая», а прежде всего в результате действия внутренних необходи­мых причин. Множество вариаций и случайных отклонений, как отмечалось (гл. X), сглаживаются (элиминируют) именно в массе, что приводит к образованию статистических закономерностей. Проявление такой закономерности и есть результат действия за­кона больших чисел, которое состоит в том, что совокупность боль­шого числа случайных явлений имеет определенные, не завися­щие от случая характеристики, выражаемые количественными показателями. То есть представление о ЗБЧ и его действии нель­зя отрывать от представления о статистической закономерности как формы, в которую облекается закономерность массового яв­ления, изучаемая статистикой с количественной стороны. При­чем ЗБЧ проявляется тем отчетливее, чем крупнее статистичес­кая совокупность.

Массовые закономерности, а вместе с ними и ЗБЧ проявля­ются в самых различных областях действительности. Особенно на­глядны они в демографии, в криминальной статистике. Так, в странах с рыночной экономикой в рабочей среде рождаемость и смертность обратно пропорциональны уровню заработной пла­ты; во всех странах с высокой продолжительностью жизни жен­щины долговечнее мужчин; смертность мужчин во всех возраст­ных когортах, начиная с детской и кончая самой пожилой, в 2— 3 раза превышает смертность женщин (что для многих явилось не­ожиданным выводом); рождаемость девочек и мальчиков посто­янно соответствует пропорции 51:49; постоянную величину состав­ляют число браков, половое распределение преступников, мотивов, орудий убийств и т.д. при данных условиях и т.д.; обнаруживает­ся значительная устойчивость несчастных случаев в отдельные периоды года и часы суток; по данным русской почтово-телеграфной статистики, констатировалась значительная устойчивость вы­нутых на каждый миллион из почтовых ящиков писем (1906—1910 гг.) без указания адресата (25—27) или без указания места назначе­ния (21-29) и др.

В малом числе наблюдений (например, отдельные преступле­ния) случайные факторы не дают возможности обнаружить зако­номерность. Напротив, при суммировании большого числа еди­ничных явлений случайности парализуют друг друга, что позво­ляет установить законы, которые при малых масштабах маскиру­ются индивидуальными отклонениями.

Статистическая закономерность — это не особая форма дви­жения материи, а лишь внешнее проявление этого движения в статистических распределениях и обобщающих статистических характеристиках. Статистически установленные правильности в изменениях количественных показателей, повторяемость и ус­тойчивость фактов свидетельствуют лишь о том, что в исследуе­мом массовом явлении заложена известная закономерность, вскрытие которой составляет задачу соответствующей науки (на­пример, криминологии).

Закономерность массового явления, объективные связи, зало­женные в этом явлении, находят свое выражение не в отдельных показателях, а в средней величине, в характере распределения. Сред­няя арифметическая большого числа случайных величин — прак­тически величина не случайная, а необходимая, закономерная (см. гл. X). В этом-то и состоит действие ЗБЧ, если подходить к его трактовке с философско-методологических позиций. Поэтому иногда ЗБЧ называют еще законом средних величин.

Рассмотрение ЗБЧ как одного из законов объективной дейст­вительности вместе с тем исключает его отношение к уровню кон­статированных им обобщающих статистических характеристик. Этот уровень определяется условиями, вытекающими из самой при­роды массового явления. Правильно отмечается, что ЗБЧ не со­здает уровней, а лишь регулирует случайные отклонения от задан­ных природой данного явления уровней.

Из сказанного ясно, что ЗБЧ основывается на понятии случай­ности и вероятности — уменьшение степени случайности и возрас­тание степени вероятности наличия определенного признака проис­ходит по мере увеличения статистической совокупности. Это может быть проиллюстрировано таким примером: если известно, что на­селение города представлено соотношением 48% мужчин и 52% жен­щин, то небольшая совокупность людей (например, посетителей театра, футбольного матча и т.д.) может значительно отклониться от этих характеристик; если же увеличивать исследуемую совокуп­ность, то последует приближение к указанным характеристикам.

Естественнонаучное обоснование, точная формулировка и ус­ловия применимости ЗБЧ даются в теории вероятностей. Други­ми словами, теория вероятностей является математическим обос­нованием ЗБЧ. Объект теории вероятностей — измерение объек­тивной возможности результатов, возникающих в массе одно­родных случайных событий, и выведение на этом основании ко­личественных закономерностей, которым они подчиняются. Сра­зу оговоримся, что детальное рассмотрение теории вероятностей выходит за пределы изучаемого курса.

С ее помощью вычисляются шансы возможного наступления случайного события. Случайный характер варьирующих от едини­цы к единице совокупности признаков позволяет оценивать, на­сколько велика вероятность появления того или иного признака в ней. Отношение количества фактически появившихся интере­сующих нас фактов к общему количеству всех возможных фактов, выраженное в виде процента или десятичной дроби, называется частостью, или опытной (эмпирической) вероятностью. Например, если при 50-кратном бросании монеты 30 раз выпал орел, а 20 реш­ка, то частость орла будет равна 0,6 (30:50), а частость решки — 0,4(20:50).

Вероятность — «математическая, числовая характеристика сте­пени возможности появления какого-либо определенного собы­тия в тех или иных определенных, могущих повторяться неогра­ниченное число раз условиях»².

Вероятность обычно обозначается буквой Р. Например, выра­жение Р(А) = 0,5 означает, что вероятность наступления события А равна 0,5.

Вероятность принято классифицировать по следующей шкале:

0,00 — полностью исключено

0,10 — в высшей степени неопределенно

0,20 – весьма неправдоподобно

0,30-0,40 - неправдоподобно

0,60 - вероятно

0,70 - весьма вероятно

0,80 - 0,90 - в высшей степени вероятно

1,0 - полностью достоверно.

Таким образом, вероятность получает определенное количественное выражение, несмотря на то, что наличие того или иного признака или его колебания является случайным.

Если в урну поместить черный и белый шары, то при выемке одинаково можно обнаружить любой из них. При этом проявляется альтернативная изменчивость, которая заключается в возможности лишь двух исходов: из урны можно вынуть только белый шар либо только черный шар. То же происходит и при подбрасывании монеты. Это обстоятельство одинаковой возможности выпадения любой стороны монеты называется равновозможностью. Событие называется равновозможным, если нет причин, делающих одно из этих событий более возможным, чем другое. Событие называется несовместимым в том случае, когда появление одного делает появление другого невозможным.

При многократном подбрасывании монеты или при многократ­ной выемке шаров из урны образуется совокупность единичных опытов, которая обладает свойствами статистической совокупно­сти. В отдельном опыте результат может быть различным — орел или решка, черный или белый шар, а в совокупности опытов про­является определенная закономерность в соотношении между числом выпавших гербов и решек или числом вынутых черных и бе­лых шаров.

Результат каждого единичного опыта с монетой или шарами также зависит от двух групп факторов: основных, связанных со свой­ствами явления, и случайных, не связанных с этими свойствами. Однако удобством монетной или урновой модели является, во-пер­вых, то, что в ней легко отделить основные причины и свойства явления от побочных; во-вторых, на этой модели легко просле­дить, как действует каждая группа причин и что является резуль­татом действия каждой из них.

В рассматриваемых примерах главное свойство монеты — ее симметричность, в силу чего при подбрасывании шансы на вы­падение герба или решки совершенно равны; главное свойство ур­ны с шарами — соотношение между числом черных и белых ша­ров. Если, например, в урне 100 черных и 100 белых шаров, то при выемке одного шара шансы на появление черного или белого шара совершенно одинаковы, а если в урне в два раза больше черных, чем белых, то соответственно больше и шансов выемки черного шара.

Чтобы априори, т.е. до опыта, определить вероятность наступ­ления какого-либо случайного явления, нужно знать число шан­сов, благоприятствующих его наступлению, а также число всех воз­можных шансов (как благоприятствующих, так и неблагоприятст­вующих). Отношение первой величины ко второй называется математической вероятностью. Она выражается в виде дроби, где в числителе указывается число благоприятствующих шансов, а в знаменателе – число всех возможных шансов. Например, при подбрасывании монеты возможны два исхода. Если считать выпадение орла благоприятным исходом, то вероятность его равна ½. Если считать благоприятным исходом появление черного шара из урны, в которой находится 70 черных шаров и 30 белых шаров, то вероятность благоприятного исхода при выемке одного шара равна 70/100, а вероятность неблагоприятного исхода равна 30/100.

Если вероятность благоприятного исхода обозначить р, а вероятность неблагоприятного исхода q, то во всех случаях альтернативной изменчивости, т.е. когда возможны лишь два исхода, р + q = 1, в опыте с монетой 1/2 +1/2=1.

Вероятность – основное понятие теории вероятностей, которая, по образному выражению П.С. Лапласса (1749-1827), есть здравый смысл, переложенный на вычисление. Если придать ей математическое выражение, то в общем виде она может быть определена так: если число шансов, благоприятствующих данному событию А, обозначить буквой М, а число всех равновозможных и несовместимых шансов – N, то pA= M/N. Число же шансов, не благоприятствующих событию А, обозначаемому А*, равно N – M, и, следовательно, вероятность противоположного исхода qA = (N – M) /N, откуда pA + qA* = 1.

В числовом выражении вероятность равна доле признака во всей совокупности, как, например, доле черных или белых шаров в урне. Но доля характеризует состав совокупности, а вероятность является оценкой степени объективной возможности того или иного результата при отборе наудачу одной единицы из всей совокупности.

Это определение вероятности, данное П.С. Лаплассом, является определением простейшей, так называемой классической веро­ятности, приложимой к весьма узкому кругу явлений. Для мас­совых (например, правонарушений) более подходит статистиче­ское или частотное понятие вероятности, определяемое как по­стоянное число, вокруг которого колеблются частости.

Сопоставляя эмпирическую (опытную) частость с априор­ной (математической) вероятностью, легко убедиться, насколь­ко правильны наши теоретические рассуждения. Оказывается, при малом числе наблюдений частость может значительно откло­ниться от математической вероятности, что наглядно видно из при­веденного примера, где частость орла при 50-кратном бросании монеты равна 0,6 при вероятности 0,5, а частость решки — 0,4 при той же вероятности. Но, как свидетельствует теорема П.Л. Чебы-шева (1821 — 1894), с вероятностью, сколь угодно близкой к еди­нице (достоверности), можно утверждать, что если х, у,..., w суть независимые случайные величины, имеющие определенные ма­тематические ожидания и равномерно ограниченные дисперсии, то при достаточно большом числе этих случайных величин их сред­няя арифметическая будет как угодно мало отличаться от средней арифметической их математических ожиданий.

Но мы уже знаем, что чем больше число наблюдений (опы­тов с монетой или шарами), тем меньше случайности маскиру­ют действие основной причины. Так, французский натуралист Ж.Л. Бюффон (1707—1788) проделал эксперимент с бросанием 4040 раз монеты; соотношение выпавших сторон оказалось рав­но 2028 и 2012, что соответствовало частости герба — 0,5069. Ан­глийский ученый К. Пирсон при бросании монеты 12 000 раз по­лучил частость в 0,5016, а при 24 000 — 0,5005.

В малом числе бросаний случайные причины (потоки воздуха, разная сила бросания и пр.) парализовали действие постоянных при­чин (симметричность монеты). Только в большом числе опытов эти постоянные причины проявлялись, что и подтверждалось почти совпадением частности и вероятности. Все это, кстати говоря, является прекрасной математической иллюстрацией тезиса Ф. Энгельса о том, что «необходимость прокладывает себе дорогу сквозь бесконечное множество случайностей», и вполне достаточным основанием для эмпирического доказательства закона больших чисел.

Вероятность органически связана с категориями причины и следствия. В самом деле, наблюдаемые на поверхности процес­сов частости — не что иное, как следствие тех или иных внутрен­них причин, определяющих вероятность явления. Таким обра­зом, вероятность выражает объективную меру связи причины со следствием, становится мощным средством исследования причин­ности в массовых явлениях. Теория вероятностей показывает, что при достаточно большом (но не исчерпывающем) числе на­блюдений могут быть выявлены и измерены правильности и за­кономерности, которые присущи изучаемой совокупности. На этом основано выборочное, или, как его иногда называют, репрезен­тативное обследование (см. гл. IX).

На основе применения теоретико-вероятностных схем изучают­ся многие явления общественной жизни: покупательный спрос, ин­дивидуальные вкусы и желания, покупательная способность семьи, грузовые перевозки и поток пассажиров и т.д., где случайности и ва­риации (независимые события) сглаживаются именно в массе, что приводит к образованию статистических закономерностей.

Применение теории вероятностей к социальным явлениям, в ча­стности к преступности, обусловлено наряду с независимостью от­дельных событий (иррегулярностью преступлений) еще и их из­вестной устойчивостью.

Преступность представляет типичную статистическую сово­купность, обладающую относительно устойчивыми характерис­тиками, позволяющими конкретно изучать ее и даже прогнозиро­вать ее изменения. Поэтому «невозможно говорить об определен­ной вероятности преступления как о «незыблемой закономерно­сти». Она меняется вместе с изменением условий. Но пока дей­ствуют данные определенные условия, действует и та или иная оп­ределенная вероятность. Это и дает возможность изучения этих явлений на основе методов математической статистики». Если условия в си­лу определенных причин остаются неизменными, то в среднем ус­тойчиво и число преступлений, что позволяет установить вероят­ность, с которой они совершаются. На этом, как отмечалось, ос­новано криминологическое прогнозирование. Обнаруживается за­кономерность: преступность уменьшается тогда, когда общество, государство активизируют свою борьбу с ней.