Разложение определителя по строке или столбцу

Заочной формы получения образования

1. Даны множества: , , , .

Задайте списками множества:

а) ; б) ; в) ; г) , д) ; e) .

2.С помощью таблицы истинности выяснить является ли формула тавтологией

(ответ обосновать):

а)

б)

3.

Даны матрицы , .

Найти: А + В, В−А, А∙В‌, , . Определители вычислить двумя способами:

1) непосредственно (правилом треугольника);

2) разложением по элементам какой-либо строки (столбца).

4.Решить систему уравненийметодом Крамера:

Приложения

Правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:

Находим главный определитель системы:

Если , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса.

Если , то система имеет единственное решение и для нахождения корней мы должны вычислить еще три определителя:
, , .

(Столбец свободных членов последовательно «прогуливается» слева направо по столбцам главного определителя) .

И, наконец, ответ рассчитывается по формулам:

Пример :

Решить систему методом Крамера.

Решение: Решим систему по формулам Крамера.

, значит, система имеет единственное решение.

Ответ: .

Вычисление определителей основывается на их известных свойствах, которые относятся к определителям всех порядков.

Свойства определителей:

1. Если переставить две строки (или два столбца) определителя, то определитель изменит знак.

2. Если соответствующие элементы двух столбцов (или двух строк) определителя равны или пропорциональны, то определитель равен нулю.

3. Значение определителя не изменится, если поменять местами строки и столбцы, сохранив их порядок.

4. Если все элементы какой-либо строки (или столбца) имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.

5. Значение определителя не изменится, если к элементам одной строки (или столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и то же число. Для определителей третьего порядка это свойство может быть записано, например, так:

6. Определитель второго порядка вычисляется по формуле

(1)

7. Определитель третьего порядка вычисляется по формуле

(2)

Существует удобная схема для вычисления определителя третьего порядка (см. рис. 1 и рис. 2).

По схеме, приведенной на рис. 1, произведения соединеных элементов берутся со своим знаком, а по схеме рис. 2 - с обратным. Величина определителя равна алгебраической сумме полученных шести произведений.

Задание. Вычислить определитель второго порядка

Решение.

Ответ.

Задание. Вычислить определитель методом треугольников.

Решение.

Ответ.

Разложение определителя по строке или столбцу

Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения. Обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом есть нули. Строку или столбец, по которой/ому ведется разложение, будет обозначать стрелкой.

Задание. Разложив по первой строке, вычислить определитель

Решение.

Ответ.

Произведение матриц.

Пусть заданы две матрицы AиB, причем число столбцов первой из них равно числу строк второй:

Произведением матриц A и B называется матрица

элементы которой вычисляются по формуле

,

Произведение матриц AиBобозначается AB: C = AB.

Можно указать порядки матриц: A_mnB_nk = C_mk.

У произведения двух матриц столько строк, сколько их у левого сомножителя, и столько столбцов,

сколько их у правого сомножителя. Элемент произведения, расположенный в i-й строке и в j-м

столбце, равен сумме произведений элементов i-й строки левого сомножителя на соответствующие

элементы j-го столбца правого сомножителя.

Произведение матриц некоммутативно: A·B ≠ B·A.

Однако, для любой квадратной матрицы и единичной матицы I справедливо: A·I =I·A.

Пример:

Произведение двух квадратных матриц. У левого сомножителя 3 строки и 3 столбца,

у правого сомножителя 3 строки и 3 столбца, у произведения — 3 строки и 3 столбца: