Вопрос 4.4. Разложение определителя по строке или столбцу

Определение 4.4.Минором элемента Вопрос 4.4. Разложение определителя по строке или столбцу - student2.ru определителя называется определитель, полученный из данного путем вычеркивания строки и столбца, в котором находится данный элемент.

Обозначается минор элемента Вопрос 4.4. Разложение определителя по строке или столбцу - student2.ru символом Вопрос 4.4. Разложение определителя по строке или столбцу - student2.ru .

Пример 4.3. Минор элемента Вопрос 4.4. Разложение определителя по строке или столбцу - student2.ru

Вопрос 4.4. Разложение определителя по строке или столбцу - student2.ru

Определение 4.5. Алгебраическим дополнением элемента Вопрос 4.4. Разложение определителя по строке или столбцу - student2.ru называется следующая величина

Вопрос 4.4. Разложение определителя по строке или столбцу - student2.ru .

Теорема Лапласа. Величина определителя равна сумме произведений элементов некоторой строки (столбца) на их алгебраические дополнения

Вопрос 4.4. Разложение определителя по строке или столбцу - student2.ru (разложение по i-й строке),

или

Вопрос 4.4. Разложение определителя по строке или столбцу - student2.ru (разложение по i-у столбцу),

где n - порядок определителя.

Сумма произведений элементов строки (столбца) на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) равна 0.

Доказательство.

Пусть дан определитель 3-го порядка Вопрос 4.4. Разложение определителя по строке или столбцу - student2.ru .

Вычислим следующие определители по правилу Саррюса:

Вопрос 4.4. Разложение определителя по строке или столбцу - student2.ru

Вопрос 4.4. Разложение определителя по строке или столбцу - student2.ru

Вопрос 4.4. Разложение определителя по строке или столбцу - student2.ru

Но

Вопрос 4.4. Разложение определителя по строке или столбцу - student2.ru , Вопрос 4.4. Разложение определителя по строке или столбцу - student2.ru

Вопрос 4.4. Разложение определителя по строке или столбцу - student2.ru

Поэтому Вопрос 4.4. Разложение определителя по строке или столбцу - student2.ru . Так как Вопрос 4.4. Разложение определителя по строке или столбцу - student2.ru , то

Вопрос 4.4. Разложение определителя по строке или столбцу - student2.ru

Аналогично доказывается разложение по любой другой строке или столбцу. Докажем теперь вторую часть теоремы. Пусть дана сумма произведений элементов второй строки на алгебраические дополнения элементов первой строки:

Вопрос 4.4. Разложение определителя по строке или столбцу - student2.ru

Согласно первой части доказательства, эта сумма равна определителю Вопрос 4.4. Разложение определителя по строке или столбцу - student2.ru , равного 0 в силу равенства двух строк.

Конец доказательства.

Пример 4.4.

Вопрос 4.4. Разложение определителя по строке или столбцу - student2.ru

Конец примера.

Здесь Вопрос 4.4. Разложение определителя по строке или столбцу - student2.ru ‑ алгебраические дополнения, которые выражаются через миноры Вопрос 4.4. Разложение определителя по строке или столбцу - student2.ru порядка по формуле

Вопрос 4.4. Разложение определителя по строке или столбцу - student2.ru .

В свою очередь, минор Вопрос 4.4. Разложение определителя по строке или столбцу - student2.ru порядка является определителем Вопрос 4.4. Разложение определителя по строке или столбцу - student2.ru ‑ го порядка. Поэтому определитель n – го порядка определяется через определитель Вопрос 4.4. Разложение определителя по строке или столбцу - student2.ru порядка.

Можно доказать, что свойства определителя, рассмотренные ранее, не зависят от порядка определителя.

Пример 5.1. Вычислить определитель

Вопрос 4.4. Разложение определителя по строке или столбцу - student2.ru .

Вычтем из второй строки первую, а из третей ‑ четвертую, получим определитель с двумя одинаковыми строками, следовательно, его величина равна 0.

Конец примера.

Вопрос 5.2. Обратная матрица.

Определение 5.1. Квадратная матрица B n ‑ го порядка называется обратной к квадратной матрице A, если

Вопрос 4.4. Разложение определителя по строке или столбцу - student2.ru .

Обратную матрицу будем обозначать символом Вопрос 4.4. Разложение определителя по строке или столбцу - student2.ru .

Теорема 5.1. Если матрица A имеет обратную матрицу, то

Вопрос 4.4. Разложение определителя по строке или столбцу - student2.ru .

Доказательство. Так как Вопрос 4.4. Разложение определителя по строке или столбцу - student2.ru , то, вычисляя определитель, получим

Вопрос 4.4. Разложение определителя по строке или столбцу - student2.ru

или

Вопрос 4.4. Разложение определителя по строке или столбцу - student2.ru

Конец доказательства.

Теорема 5.2. Если матрица A имеет отличный от нуля определитель, то она имеет обратную матрицу.

Доказательство. Приведем доказательство для матриц третьего порядка. Пусть матрица A

Вопрос 4.4. Разложение определителя по строке или столбцу - student2.ru

имеет отличный от нуля определитель. Рассмотрим матрицу B

Вопрос 4.4. Разложение определителя по строке или столбцу - student2.ru

Перемножим две матрицы

Вопрос 4.4. Разложение определителя по строке или столбцу - student2.ru

Здесь использованы обозначения (значения сумм вычислены по теореме Лапласа)

Вопрос 4.4. Разложение определителя по строке или столбцу - student2.ru

Аналогично доказывается, что Вопрос 4.4. Разложение определителя по строке или столбцу - student2.ru . Таким образом, матрица B является обратной для A.

Конец доказательства.

Теорема 5.3. Если матрица имеет обратную, то обратная матрица единственна.

Доказательство. Пусть матрица A имеет две обратные матрицы B и C, тогда

Вопрос 4.4. Разложение определителя по строке или столбцу - student2.ru и Вопрос 4.4. Разложение определителя по строке или столбцу - student2.ru .

Умножим первое равенство на C слева

Вопрос 4.4. Разложение определителя по строке или столбцу - student2.ru

Конец доказательства.

Пример 5.2. Вычислить обратную матрицу

Вопрос 4.4. Разложение определителя по строке или столбцу - student2.ru

Вопрос 4.4. Разложение определителя по строке или столбцу - student2.ru , алгебраические дополнения

Вопрос 4.4. Разложение определителя по строке или столбцу - student2.ru

Тогда получим обратную матрицу

Вопрос 4.4. Разложение определителя по строке или столбцу - student2.ru

Коней примера.

Наши рекомендации