Анализ динамических изменений
Применение метода наименьших квадратов при исследовании
Тенденции развития
Изучаемые биологией явления с течением времени часто меняют свою интенсивность; изменения эти отражаются на развитии явлений и при их изучении необходимо учитывать величину и направление изменений.
Методы статистики позволяют измерить размеры произошед-ших изменений и количественно охарактеризовать направление их развития. Количественное измерение изменений, наступающих с течением времени, можно провести при помощи следующих показателей.
1. Абсолютный уровень - фактический, количественный размер изучаемого явления. Ввиду того, что с течением времени эти размеры изменяются, абсолютный уровень обычно дается для каждого периода времени отдельно. Абсолютный уровень является основой для расчета производных показателей: абсолютный прирост, темп роста и темп прироста.
2. Абсолютный прирост - величина - разность абсолютного уровня в данный период времени и абсолютного уровня предыдущего периода. Эта разность может быть как положительной, так и отрицательной величиной.
3. Темп роста - процентное отношение между абсолютным уровнем данного периода и абсолютным уровнем предыдущего периода или какого-нибудь другого периода, принятого за исходный. В первом случае говорят о показателях темпа развития, вычисленных при цепном основании, а во втором - о показателях, вычисленных при постоянном основании. Показатели темпа развития, вычисленные при постоянном основании, носят также название показателей наглядности. Иногда показатели темпа развития, вычисленные при цепном основании, называются показателями динамики или коэффициентами роста.
4. Темп прироста - процентное отношение между абсолютным приростом данного периода и абсолютным уровнем предшествующего периода. Абсолютный прирост может быть отрицательным или положительным, отсюда и темп прироста может быть отрицательным или положительным.
Пример: Имеются данные о количестве отловленных бабочек с периода 2003 по 2005 гг.
| Год | Абсолютный уровень | Абсолютный прирост | Темп роста % | Темп прироста % | |
| при постоянном основании | при цепном основании | ||||
| 2003 | 30 | - | 100 | - | - |
| 2004 | 50 | +20 | 185 | 185 | +85 |
| 2004 | 60 | +10 | 200 | 120 | +20 |
В качестве недостатка показателей абсолютного прироста можно указать на то, что их значения приводятся в абсолютных именованных числах, а это затрудняет сравнение разных показателей абсолютного прироста.
Показатели абсолютного прироста не могут поэтому ответить на вопрос, в каком из рассматриваемых явлений процесс развития протекает более интенсивно и где он медленнее. Для большей наглядности пользуются показателями темпа роста и темпа прироста. Они позволяют проследить процесс изменения изучаемых явлений, выраженный в относительных величинах. Так как относительные величины не именованные числа, их можно сравнивать между собой.
Довольно часто имеется необходимость в обобщающей характеристике показателей динамики изучаемых явлений. Для этой цели используется целый ряд средних величин, называемых хронологическими, так как они вычисляются из динамических хронологических рядов. Известны так называемые показатели среднего уровня, среднего прироста, среднего темпа роста и среднего темпа прироста.
Показатель среднего уровня дает сведения о среднем размере или объеме изучаемых явлений и служит типичным представителем для всех периодов, представленных в динамическом ряду.
Техника вычисления показателей среднего уровня различна в зависимости от того, из какого динамического ряда будут вычисляться эти показатели - интервального или моментного.
В интервальном статистическом ряду показатель среднего уровня - средняя арифметическая величина, полученная путем усреднения отдельных показателей абсолютного уровня (пример). Показатель среднего уровня обозначается Y (в отличие от X - символа средней величины, вычисленной из вариационного ряда). Y=SY/n. Y - средняя хронологическая.
В моментном статистическом ряду техника вычисления показателя среднего уровня следующая: сначала вычисляют абсолютный уровень изучаемого явления, относящегося к середине каждого из интервалов. Полученные величины усредняют.
Пример:Имеются данные от численности зайцев на 31 декабря каждого года. Требуется найти среднегодовое число зайцев за весь рассматриваемый период.
| Год | на 31.12 | на 1.7 |
| 1990 | 100 | - |
| 1991 | 90 | 95 |
| 1992 | 80 | 85 |
| 1993 | 90 | 85 |
| 1994 | 100 | 95 |
| 360 |
Для этого сначала находят средние числа зайцев для каждого календарного года. Затем вычисляют среднюю из найденных величин, являющуюся показателем среднегодового уровня. Оба эти этапа работы по вычислению среднегодового уровня могут быть представлены в виде следующей формулы:
=(100+180+160+180+100)/8=720/8=90, где Yi - показатели абсолютного уровня изучаемого явления к концу каждого из интервалов времени; n - число интервалов.
Приведенная формула для вычисления хронологических средних моментного статистического ряда относится только к равновеликим интервалам времени. В противном случае хронологическую среднюю необходимо вычислять как среднюю взвешенную, где веса - длительность отдельных интервалов.
На практике часто применяют и другой обобщающий показатель, при помощи которого можно получить представление о динамике изучаемого явления. Это показатель среднего темпа роста. При помощи показателя среднего темпа роста получают сведения о средней величине темпа, с которым проходили изменения, отмеченные за определенное время. Показатели темпа роста являются отношением абсолютного уровня текущего периода к абсолютному уровню какого-нибудь другого базисного периода. Для измерения среднего темпа роста необходимо вычислять среднюю геометрическую 
, где Y - усредняемые величины, показывающие темп роста в отдельные интервалы времени; n - число этих интервалов, R - произведение.
| Год | на 31.12 | темп роста на цепном основании |
| - | ||
| 111.1 |
= 
=103 %. Приведенный способ вычисления Y затруднителен из-за большого объема вычисли-тельной работы. Поэтому рекомендуется пользоваться логариф-мами чисел темпов роста. Для этого логарифмируют исходную формулу и получают: logYг=SlogY/n. Развитие изучаемых явлений может быть охарактеризовано изменениями, наступающими в них с течением времени. Изменения в явлениях наступают в результате комбинированного действия многих разнообразных факторов. Их можно разделить на 2 основные группы: длительно действующие и временно действующие. Длительно действующие факторы определяют тенденцию развития, а временно действующие - затушевывают ее и вносят в нее элементы случайности.
Для определения воздействия названных двух групп факторов поступают следующим образом: исходя из известных теоретических предположений о тенденции развития, изолируют влияние временно действующих случайных причин и находят так называемые теоретические величины - Yt. Это те величины изучаемого явления, которые имелись бы в каждом из рассматриваемых интервалов времени, если бы было исключено действие случайно действующих факторов. Так как на фактические величины Y оказывали влияние наряду с длительно действующими факторами и временно действующие, разность фактически наблюдаемых величин и теоретически ожидаемых (Y-Yt) указывает на размер действия временно действующих случайных факторов. Таким образом, при помощи Yt количественно определяют действие длительно действующих, а при посредстве разности (Y-Yt) - действие временно действующих факторов.
Процесс расчета теоретически ожидаемых величин Yt носит название «выравнивание динамических рядов». В целях выравнивания пользуются следующими методами:
1. Графический метод.
2. Метод удлинения периодов.
3. Метод скользящей средней.
4. Метод наименьших квадратов.
Рассмотрим эти способы выравнивания, используя один общий пример. Имеются следующие данные о числе популяции сусликов с 1985 по 1995гг. Требуется выявить тенденцию колебания численности и количественно определить влияние длительно действующих и временно действующих факторов.
| Год | Число | Графический метод | Удлинение периодов | Скользящая средняя | |
| Yt | Y-Yt | ||||
| 1985 | 100 | 120 | -20 | ||
| 1986 | 110 | 111 | 1 | 105 | 105 |
| 1987 | 105 | 107 | 2 | 105 | |
| 1988 | 100 | 103 | 3 | 103 | 100 |
| 1989 | 95 | 95 | 0 | 91 | |
| 1990 | 87 | 90 | -3 | 91 | 87 |
| 1991 | 80 | 85 | -5 | 82 | |
| 1992 | 80 | 80 | 0 | 80 | 82 |
| 1993 | 75 | 75 | 0 | 72 | |
| 1994 | 60 | 70 | -15 | 67 |
Графический метод.Первоначально на линейной диаграмме изображают графически фактические числа количества сусликов. Получают ломаную линию, изображающую тенденцию изменения их численности. Затем от руки или при помощи линейки, лекала и т. п., следуя фактическим данным, вычерчивают прямую или кривую линию. Эта линия позволяет увидеть общую тенденцию развития. Определяя по этой линии величины соответствующих интервалов, находят теоретически ожидаемые величины Yt. Они характеризуют влияние длительно действующих факторов. Влияние временно действующих факторов можно выразить количественно разностью фактических и теоретически ожидаемых величин.
Преимущество описанного графического метода состоит в том, что его можно применять легко и быстро. Недостаток его в том, что в оценке тенденции развития сказывается некоторый субъективизм того, кто применял этот метод.
Метод удлинения периодов.В целях устранения резких отклонений в величинах динамических рядов в отдельные годы производится объединение, укрупнение периодов. Для объединенных периодов вычисляют средние хронологические величины, которые наносят на линейную диаграмму. Через них проводят линию, график которой дает возможность по ординате получить теоретически ожидаемые величины. Метод удлиненных периодов является попыткой улучшить графический метод выравнивания динамических рядов.
При использовании метода удлинения периодов возникает вопрос о количестве лет, объединяемых вместе. В рассматриваемом примере приняты двухлетние периоды. При определении того, какой должен быть укрупненный период, следует провести анализ изучаемых числовых величин и в соответствии с результатами подобрать наиболее подходящее укрупнение. Следует отметить, что при этом также сказывается субъективная оценка исследователя.
При пользовании методом удлинения периодов теряется часть сведений о теоретически ожидаемых величинах. Например при двухлетнем укрупнении теряются сведения о первом годе. При трехлетнем - о первом и двух последних и т. д.
Метод скользящей средней. При нем тенденция развития представлена последовательной серией сплетающихся средних. Эти средние представляют теоретически ожидаемые величины Yt и вычисляются следующим образом. Например, если приняты трехлетние периоды для усреднения, то первая средняя получается путем усреднения фактических чисел первого, второго и третьего годов, полученная величина будет относиться ко второму году. Вторая средняя получается путем усреднения второго, третьего и четвертого годов, полученная величина будет относиться к третьему году и т. д.
Легко заметить, что при методе скользящей средней теряется часть сведений, так же как при методе удлинения периодов. При определении числа лет для усреднения фактических чисел не малую роль играет и субъективизм исследователя.