Методические рекомендации к выполнению

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Таблица для определения номера варианта контрольных работ

Начальная буква фамилии	Последняя цифра номера зачетной книжки	Номер варианта		Начальная буква фамилии	Последняя цифра номера зачетной книжки	Номер варианта
А	0,1,2,3,4 5,6,7,8,9		Р	0,1,2,3,4 5,6,7,8,9
Б	0,1,2,3,4 5,6,7,8,9		С	0,1,2,3,4 5,6,7,8,9
В	0,1,2,3,4 5,6,7,8,9		Т	0,1,2,3,4 5,6,7,8,9
Г	0,1,2,3,4 5,6,7,8,9		У	0,1,2,3,4 5,6,7,8,9
Д	0,1,2,3,4 5,6,7,8,9		Ф	0,1,2,3,4 5,6,7,8,9
Е	0,1,2,3,4 5,6,7,8,9		Х	0,1,2,3,4 5,6,7,8,9
Ж	0,1,2,3,4 5,6,7,8,9		Ц	0,1,2,3,4 5,6,7,8,9
З	0,1,2,3,4 5,6,7,8,9		Ч	0,1,2,3,4 5,6,7,8,9
И	0,1,2,3,4 5,6,7,8,9		Ш	0,1,2,3,4 5,6,7,8,9
К	0,1,2,3,4 5,6,7,8,9		Щ	0,1,2,3,4 5,6,7,8,9
Л	0,1,2,3,4 5,6,7,8,9		Э	0,1,2,3,4 5,6,7,8,9
М	0,1,2,3,4 5,6,7,8,9		Ю	0,1,2,3,4 5,6,7,8,9
Н	0,1,2,3,4 5,6,7,8,9		Я	0,1,2,3,4 5,6,7,8,9
О	0,1,2,3,4 5,6,7,8,9
П	0,1,2,3,4 5,6,7,8,9

Задание 1

По 30 единицам совокупности (предприятиям, банкам, домохозяйствам) имеются данные по двум признакам. (См. Приложение 1, по Вашему варианту).

1)Постройте интервальный ряд распределения по факторному признаку (Х), образовав 4 группы предприятий с равными интервалами. Для каждой группы определите число единиц совокупности, накопленные частоты и частости. Представьте результаты в таблице.

Таблица – Интервальный ряд распределения

№ группы	Интервалы по Х*	Число единиц (частоты)	Накопленные частоты	Частости
Итого	х		х	1,000

2)Изучите наличие связи между представленными признаками методом аналитической группировки, результаты представьте в таблице. Сделайте вывод.

Таблица – Аналитическая группировка

№ группы	Интервалы по Х*	Число единиц	В целом по группе	В среднем на одно предприятие (банк, домохозяйство)
Х*	У*
Итого ( в среднем)	х

* Вместо У и Х записывать названия признаков и их единицы измерения, указанные в Приложении по соответствующему варианту.

3) По результатам аналитической группировки измерить тесноту связи между признаками, вычислив коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение. Промежуточные расчеты можно представить в таблицах.

Таблица - Данные для расчета межгрупповой дисперсии

№ группы	Интервалы по Х*
Итого

Таблица – Данные для расчета общей дисперсии

№ п/п

…

…

Итого

Уi

х

Задание 2

Проведена 10% случайная бесповторная выборка работников предприятия по размеру их заработной платы, тыс. руб.:

№ группы	Группы работников по размеру среднемесячной заработной платы, тыс. руб.	Число работников, чел.*
	До 3,0 3,0-5,0 5,0-7,0 7,0-9,0 9,0-11,0 11,0-13,0 13,0-15,0 св. 15,0	А Б В Г Д Е Ж З
Итого	Х

/* - В графу число работников подставляются следующие данные:

А – месяц Вашего рождения,

Б – число рождения,

В – 14

Г – число полных лет,

Д – последние две цифры года Вашего рождения,

Е – количество букв в имени,

Ж – количество букв в фамилии,

З – количество букв в отчестве

Вычислите:

1)Среднюю заработную плату работников, попавших в выборку. Какую среднюю применили? Почему?

2)Моду и медиану (методом интерполяции и графически);

3)Первый и последний: квартили, квинтили, децили;

4)Коэффициент вариации заработной платы;

5)Пределы, в которых будет находиться средняя заработная плата в целом по предприятию:

а) с вероятностью 0,95;

б) с вероятностью 0,997.

6)Пределы, в которых будет находиться доля работников, получающих заработную плату свыше 7,0, тыс. руб. в целом по предприятию, с вероятностью 0,997

7)Какой должна быть численность выборки, чтобы с вероятностью 0,95 предельная ошибка выборочной средней не превышала:

а) 100 руб.,

б) 1000 руб.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ

КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

К заданию 1

1) Упорядоченная статистическая совокупность, где значения вариант расположены в порядке возрастания или убывания (по ранжиру) и указаны их частоты, называется вариационным рядом распределения. Вариационные ряды распределения могут быть дискретными или интервальными.

Вариационный ряд называется интервальным (непрерывным), если значения признака могут отличаться один от другого на сколь угодно малую величину.

При построении интервального ряда, прежде всего, решается вопрос о числе групп (n). В данном случае оно оговорено, по заданию n = 4.

Затем рассчитывается величина (шаг) интервала (h) по формуле:

где - максимальное значение признака,

- минимальное значение признака.

Далее определяются границы интервалов:

.

Подсчитывается число единиц, входящих в каждый интервал (частота f_i).

Накопленные частоты (s_i) получают суммированием частот по вариантам либо в нисходящем (сверху вниз), либо в восходящем (снизу вверх) порядке.

Иногда удобнее абсолютные значения частот выражать в долях от общей численности совокупности ( ). Такая величина называется частостью. При достаточно большом числе наблюдений, согласно закону больших чисел, наблюдаемая в распределении частость данной варианты может сколь угодно мало отличаться от вероятности. Поэтому частость события при достаточно большом числе наблюдений называют статистической вероятностью.

2)Аналитическая группировка позволяет установить наличие и направление взаимосвязи между факторным и результативным признаками. Результаты аналитической группировки оформляются в таблице.

3) Методика измерения тесноты связи по результатам аналитической группировки вытекает из правила сложения дисперсий: ( Общая дисперсия равна сумме межгрупповой и внутригрупповой дисперсий).

Общая дисперсия признака У не зависит от группировки, и ее удобно вычислить по индивидуальным значениям признака У:

где - индивидуальные значения результативного признака в совокупности;

- среднее значение результативного признака по совокупности.

Межгрупповая дисперсия:

где - средние значения результативного признака в выделенных группах,

- частоты в группах.

Внутригрупповую дисперсию можно вычислить, используя правило сложения дисперсий: ( не принимает участие в расчете показателей связи).

Общая дисперсия отражает различия в результате действия всех существующих факторов. Межгрупповая – характеризует вариацию результативного признака, связанную с вариацией признака, положенного в основание группировки. Внутригрупповая – характеризует вариацию результативного признака, связанную с вариацией всех факторных признаков, кроме признака, по которому построена группировка.

Правило сложения дисперсий приобретает, таким образом, в аналитической группировке следующий смысл. Из общей дисперсии выделяются две составные части, одна из которых (межгрупповая дисперсия) связана с группировочным признаком, а вторая (внутригрупповая) не связана с ним. Показатель, характеризующий тесноту связи, определяется как отношение вариации, связанной с действием группировочного признака и общей вариации, возникающей под действием всех причин. Этот показатель называется эмпирический коэффициент детерминации (η²).

Квадратный корень из эмпирического коэффициента детерминации – эмпирическое корреляционное отношение( η).

Если связь отсутствует, то η=0. В данном случае все групповые средние будут равны между собой и межгрупповой вариации не будет.

Когда η=1, связь между признаками функциональная. В этом случае не будет внутригрупповой вариации.

Чем значения корреляционного отношения ближе к единице, тем теснее связь между признаками.

К заданию 2

1)В данном случае при определении средней заработной платы работников попавших выборку используется средняя арифметическая взвешенная: .

Когда значения осредняемого признака заданы в виде интервалов («от» - «до»), то при расчете средней арифметической в качестве значений признаков в группах принимают середины интервалов. При этом величины открытых интервалов (первый и последний) условно приравниваются к интервалам, примыкающим к ним (второй и предпоследний). При таком исчислении допускается некоторая неточность, поскольку делается предположение о равномерности распределения единиц признака внутри группы. Ошибка будет тем меньше, чем уже интервал и чем больше единиц в интервале.

2)Мода – это значение которое имеет наибольшую частоту в ряду распределения.

В интервальном ряду может быть определена по формуле (метод интерполяции):

,

где Х₀ – начало модального интервала (модальным является интервал с наибольшей частотой),

h – величина интервала,

f_мо (f_мо-1, f_мо+1) - частота модального (домодального, послемодального) интервалов.

Графически значение моды определяется по гистограмме. При построении гистограммы на оси О_х откладывают границы интервалов, на оси О_у частоты.

Медиана, это значение, расположенное в середине ряда распределения и делит его на две равные части, может быть определена по формуле (метод интерполяции):

,

где Х₀ – начало медианного интервала (медианным является интервал, в который входит значение под номером ),

N –численность совокупности (в данном примере численность работников в выборке),

- накопленная частота интервала, предшествующего медианному,

f_ме – частота медианного интервала.

Графически значение медианы определяется по кумуляте. При построении кумуляты на оси О_х откладывают значение признака, на оси О_у накопленные частоты.

На условном примере покажем графическое определение моды и медианы:

3)Аналогично медиане вычисляют значения признака, которые делят все единицы распределения на равные численности – которые называются квантилями или градиентами. К ним относятся:

-квартили (К): делят ряд в соотношении к четырем (1/4, 2/4, 3/4),

-квинтили (Q): делят ряд в соотношении к пяти (1/5, 2/5, 3/5, 4/5),

-децили(D): делят ряд в соотношении к десяти (1/10,2/10,….., 9/10),

-процентели(P): делят ряд в соотношении к ста (1/1002/100,….., 99/100).

Например, первый квартиль определяется: ,

где Х₀ – начало первого квартильного интервала (первым квартильным интервалом будет интервал, куда входит значение под номером ).

последний (третий) квартиль определяется:

где Х₀ – начало третьего квартильного интервала (первым квартильным интервалом будет интервал, куда входит значение под номером ).

4).Коэффициент вариации.

Используется для характеристики однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33%.

σ – среднее квадратическое отклонение, ,

- дисперсия, или средний квадрат отклонений

σ ²= .

5)Средняя заработная плата в целом по предприятию, т.е. генеральная средняя ( ) будет находиться в пределах:

,

где - средняя заработная плата в выборке (определена в пункте 1 данного задания),

- предельная ошибка, это максимальная ошибка выборки при заданном уровне вероятности: ,

где t_p – коэффициент доверия, зависящий от вероятности, с которым можно гарантировать определенные размеры предельной ошибки. С увеличением вероятности (р), увеличивается и коэффициент доверия (t_p), но увеличивается и предельная ошибка ( ).

Величины t и p находят по таблице «Значение интеграла вероятностей при разных значениях t».

Наиболее часто используемая вероятность: p=0,95; 0,954; 0,997; 0,999. Вероятность 0,95 показывает, что в 5 случаях из 100 ошибка может выйти за установленную границу.

Коэффициент доверия при указанных уровнях вероятности составит: .

- средняя ошибка выборочной средней, при случайном бесповторном способе отбора определяется: ,

где n – число единиц в выборке,

N – число единиц в генеральной совокупности.

6)Пределы генеральной доли ( )определяются:

Выборочная доля ( ) определяется в данном случае как отношение численности работников, получающих заработную плату свыше 7,0 тыс. руб. в выборке, к общей численности выборки.

7) Необходимая численность выборки при случайном бесповторном способе отбора определяется: .

Приложение 1

Варианты: 1; 24; 47;

№ предприятия
Среднегодовая стоимость основных производственных фондов, млн. руб. Х	34,7	24,4	41,6	50,2	38,3	27,4	60,9	47,2	38,0	30,2	38,6	52,5	45,7	34,4	16,0
Выпуск продукции, млн. руб. У	36,5	23,4	46,5	59,8	41,4	26,9	79,2	54,7	40,4	30,2	42,4	64,6	51,6	35,4	14,4

34,8	46,4	38,3	47,6	19,4	31,2	37,0	48,4	28,7	39,4	55,3	38,4	55,5	34,5	44,8
36,9	53,4	41,0	55,7	18,2	31,8	39,2	57,1	28,4	43,3	70,7	41,8	69,3	35,9	50,2

Варианты: 2; 25; 48;

№ предприятия
Нераспределенная прибыль, млн. руб. У	2,7	4,8	6,0	4,7	4,4	4,3	5,0	3,4	2,3	4,5	4,7	5,4	5,8	3,9	4,2
Инвестиции в основные фонды, млн. руб. Х	0,37	0,90	0,96	0,68	0,60	0,61	0,65	0,51	0,35	0,70	0,80	0,74	0,92	0,58	0,57

5,6	4,5	3,8	2,0	4,8	5,2	2,2	3,6	4,1	3,3	4,9	5,4	2,7	5,4	2,1
0,78	0,65	0,59	0,16	0,72	0,63	0,24	0,45	0,57	0,45	0,63	0,70	0,41	0,75	0,27

Варианты: 3; 26; 49;

№ предприятия
Выпуск продукции, млн. руб. У	36,5	23,4	46,5	59,8	41,4	26,9	79,2	54,7	40,4	30,2	42,4	64,6	51,6	35,4	14,4
Среднегодовая стоимость основных производственных фондов, млн. руб. Х	34,7	24,4	41,6	50,2	38,3	27,4	60,9	47,2	38,0	30,2	38,6	52,5	45,7	34,4	16,0

36,9	53,4	41,0	55,7	18,2	31,8	39,2	57,1	28,4	43,3	40,7	41,8	69,3	35,9	50,2
34,8	46,4	38,3	47,6	16,4	31,1	37,0	48,4	28,7	39,4	55,3	38,4	55,5	34,5	44,8

Варианты: 4; 27; 50;

№ предприятия
Среднегодовая стоимость материальных оборотных средств, млн. руб. Х	24,7	19,8	18,3	28,0	24,9	19,0	15,0	27,0	22,8	20,7	13,0	12,0	23,5	17,0	17,0
Выпуск продукции, млн. руб. У

23,1	21,7	26,0	27,0	30,0	23,7	19,9	22,9	29,0	29,0	18,0	23,8	10,0	14,0	11,0

Варианты: 5; 28; 51;

№ домохозяйства
Валовой доход на 1 члена домохозяйства, тыс. руб. Х	35,8	62,1	22,1	26,3	39,0	40,0	46,2	42,0	82,1	75,0	68,8	67,0	41,0	57,0	46,7
Расходы на продукты питания на 1 члена домохозяйства, тыс. руб. У	14,9	22,2	10,2	12,4	16,1	16,6	18,4	17,4	25,2	24,3	22,2	23,0	17,1	20,5	18,6

53,8	67,8	54,5	37,9	48,3	29,9	56,0	50,6	48,0	34,5	45,0	58,4	48,6	46,8	26,5
20,5	23,2	19,9	17,7	19,3	13,4	20,0	20,3	18,6	14,8	18,0	21,0	17,8	18,4	11,6

Варианты: 6; 29; 52;

№домохозяйства
Денежный доход на 1 члена домохозяйства, тыс. руб. Х	28,8	55,8	17,1	20,4	31,2	32,2	37,3	33,3	77,1	66,0	60,9	59,1	33,0	48,2	38,0
Расходы на продукты питания на 1 члена домохозяйства, тыс. руб. У	14,9	22,2	10,2	12,4	16,1	16,6	18,4	17,4	25,2	24,3	22,2	23,0	17,1	20,5	18,6

44,3	58,1	44,7	34,4	39,8	24,3	47,5	40,8	38,8	28,0	36,7	49,4	40,4	37,8	20,5
20,5	23,2	19,9	17,7	19,3	13,4	20,0	20,3	18,6	14,8	18,0	21,0	17,8	18,4	11,6

Варианты: 7; 30; 53;

№ предприятия
Выручка от продажи, млн. руб. Х	28,8	50,0	17,0	24,4	42,0	33,1	39,5	34,2	77,0	57,3	55,1	53,4	33,8	46,5	38,9
Чистая прибыль, млн. руб. У	3,4	10,5	1,6	2,8	8,1	5,3	4,6	5,3	21,4	13,2	11,4	10,2	5,5	7,4	4,3

42,6	52,5	43,0	35,3	38,1	28,2	46,1	39,2	39,7	28,8	37,6	54,1	56,8	65,7	24,4
6,8	9,3	7,3	5,4	3,0	3,7	8,7	3,4	7,2	3,3	5,0	15,7	10,5	18,6	2,0

Варианты: 8; 31; 54;

№ предприятия
Фонд заработной платы, млн. руб. У	11,3	8,1	15,0	19,0	13,0	8,5	26,4	17,1	12,1	9,5	13,7	21,3	16,1	10,5	4,3
Среднесписочная численность работников, чел. Х

11,5	16,4	12,8	17,5	5,9	9,9	11,8	18,1	8,8	13,9	23,9	13,3	22,4	10,9	15,8

Варианты: 9; 32; 55;

№ банка
Пассивы банка, млрд. руб. Х	31,6	29,4	6,1	11,8	16,4	4,9	8,8	12,8	9,5	15,4	17,7	14,8	16,6	31,0	10,6
Работающие активы банка, млрд. руб. У	25,9	26,1	5,7	10,1	17,2	4,4	6,4	11,9	7,6	14,4	15,7	14,3	15,1	28,1	10,1

5,8	8,7	11,4	7,5	17,0	15,0	31,8	13,3	25,0	10,8	29,2	23,3	22,1	14,8	19,0
4,8	7,0	10,7	6,6	14,3	14,7	29,2	12,0	21,9	10,2	24,9	21,3	21,0	14,1	18,0

Варианты: 10; 33; 56;

№ банка
Кредиты, млрд. руб. Х	10,7	4,7	4,3	5,8	7,5	6,0	4,1	5,1	10,2	7,9	9,2	6,2	6,1	5,4	9,6
Прибыль, млн. руб. У

5,4	11,3	12,2	13,2	7,8	5,9	9,2	10,2	12,7	10,5	8,0	9,6	5,6	5,7	7,1

Варианты: 11; 34;

№ предприятия
Выпуск продукции, тыс. ед. У
Затраты на производство продукции, млн. руб. Х	18,2	17,1	13,4	17,9	18,2	19,2	17,9	19,6	19,4	18,9	17,8	17,0	15,0	13,0	19,4

17,6	14,0	17,7	18,0	19,3	17,9	16,3	15,3	15,9	21,0	15,3	17,8	19,0	14,5	20,0

Варианты: 12; 35;

№ предприятия
Выпуск продукции, млн. руб. У	36,5	23,4	46,5	59,8	41,4	26,9	79,2	54,7	40,4	30,2	42,4	64,6	51,6	35,4	14,4
Затраты на производство продукции, млн. руб. Х	30,3	20,1	38,2	47,2	33,5	22,8	61,0	46,8	33,1	25,4	34,6	51,0	41,8	29,8	12,5

36,9	53,4	41,0	55,7	18,2	31,8	39,2	57,1	28,4	43,3	70,7	41,8	69,3	35,9	50,2
31,0	42,7	33,6	44,0	15,6	26,4	32,5	45,7	23,9	35,5	54,5	34,3	54,1	30,2	40,7

Варианты: 13; 36;

№ региона
Доходы бюджета, млн. руб. Х	4,2	3,8	6,4	2,1	2,4	2,0	0,7	3,9	8,0	4,2	2,5	3,9	7,6	4,1	0,5
Расходы бюджета, млн. руб. У	5,4	5,2	8,7	3,2	4,6	3,5	2,0	5,0	7,4	6,0	4,6	4,9	8,6	5,8	1,8

1,2	3,6	2,2	0,9	2,3	3,5	4,4	4,8	7,5	0,8	3,5	4,1	6,3	5,3	5,2
3,1	4,5	3,8	1,9	3,1	4,6	6,2	7,2	8,0	1,7	4,7	6,5	8,6	6,8	7,1

Варианты: 14; 37;

№банка
Работающие активы, млрд. руб. Х	25,9	26,1	5,7	10,1	17,2	9,7	9,4	11,9	7,6	14,4	15,7	14,4	15,1	24,1	10,1
Прибыль, млн. руб. У

4,8	7,0	10,7	6,6	14,3	14,7	19,2	12,0	21,9	10,2	24,9	21,3	21,0	14,1	18,0

Варианты: 15; 38;

№ банка
Привлеченные средства, млрд. руб. Х	15,3	20,7	8,7	17,7	4,2	23,6	17,6	11,8	4,1	22,2	7,1	13,8	26,8	18,1	17,7
Прибыль, млн. руб. У