Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума
Рассмотрим функцию z=f(х, у) определенную в некоторой области.
Максимумомфункции z=f(x,y) называется такое ее значение f( 
, 
), которое больше всех других значений, принимаемых в точках М(х,у), достаточно близких к точке М1(х],у}) и отличных от нее, т. е.
f( 
, 
)> f(х, у)
Минимумом функции z=f(х, у) называется такое ее значение f(х2, у2), которое меньше всех других значений, принимаемых в точках М(х,у), достаточно близких к точке М2(х2,у2) и отличных от нее, т. е.
f(х2, у2)< f(х, у)
Максимум и минимум функции называют экстремумом. Точки, в которых достигается экстремум, называются точками экстремума.
Необходимые условия экстремума дифференцируемой функции нескольких переменных выражается следующими теоремами:
Теорема 1.
В точке экстремума дифференцируемой функции все ее первые частные производные равны нулю,если 
-экстремум ф-ции.
Теорема 2.
Пусть функция z=/(х,у) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно в некоторой окрестности точки М0(а, b).
Если ее первые частные производные в точке М0 равны нулю, а вторые принимают значения
(a,b)=A, 
(a,b)=B, 
(a,b)=C,
То при
-АС<0 и А>0
точка М0 является точкой минимума данной функции, а при
В2-АС<0, А<0
точкой максимума, при
В2-АС>0
в точке М0 экстремума нет.
47.Метод наименьших квадратов 
При обработке опытных данных часто встречаются с задачей об определении параметров функциональной зависимости между переменными величинами x и y посредством формулы y=f(x).Эта задача решается с помощью метода наименьших квадратов, сущность которого состоит в следующем. При измерении двух величин x и y получены следующие данные:
| x | Х1 | X2 | … | xn |
| y | Y1 | Y2 | … | yn |
Известен также вид функциональной зависимости, т.е.
y=f(x, 
, 
,…, 
)=φ(x) (1),
где f-заданная функция; 
, 
,…, 
— параметры, значения которых требуется определить. Значения у, полученные из формулы (1) при заданных значениях 
(i=1, 2,..., п), как правило, не совпадают с экспериментальными значениями 
,приведенными в указанной таблице, т.е. разность 
-φ( 
) отлична от нуля для всех или некоторых точек 
(i = 1, 2, ..., n). Для каждого i эту разность обозначим через ε 
, и назовем погрешностью:
-φ( 
)=ε 
(i = 1, 2,..., п) (2) .
Значения параметров 
(k = 0, 1,..., m) функции (1) требуется выбрать так, чтобы сумма квадратов погрешностей была наименьшей, т.е. так, чтобы функция
u= 
ε 
= 
( 
-φ( 
)) 
(3)
принимала наименьшее значение. Поскольку эта функция - сумма квадратов некоторых чисел, она принимает неотрицательные значении (каждое слагаемое суммы неотрицательно).
Функция (3) является функцией т+1 переменых 
, 
,..., ат ,т.е.
и=и( 
, 
, ...., ат)= 
( 
-f( 
, 
, 
,…, 
))2 (4).
Если функция и=и( 
, 
..., ат) имеет непрерывные частные производные по всем переменным, то необходимое условие ее минимума выражается системой уравнений
=0, 
=0, …, 
=0 (5)
Из этой системы т +1 уравнений находятся искомые значения параметров a0,a1 ,...,am.
Во многих случаях функция (1) определяется формулой
y= 
(x), (6)
где 
(x), 
(x),..., f т ( x )- известные функции, например, f 
(x)=x 
,f 
(x)=sin kx, f 
(x)=cos kx и т.д.
Функция (4) в таких случаях принимает вид
u= 
y 
- 
( 
)) 
(7),
а система (5) запишется так:
( 
- 
( 
))(- 
( 
))=0 
( 
- 
( 
))(- 
( 
))=0(8)
…………………………………….
( 
- 
( 
))(- 
( 
))=0
Решение этой системы может быть получено с помощью метода Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных).
Если 
(x)= 
(k = 0, 1, 2,..., m), то
f(x, 
, 
,…, 
)= 
+ 
x+ 
+…+
+ 
(9)
и система (8) принимает вид:
n+ 
+…+ 
= 
;
+ 
+…+ 
= 
; (10)
+ 
+…+ 
*
* 
= 
.