Двойственность в теории спроса

Рациональный выбор потребителя может быть представлен с использованием принципа двойственности. Совместный анализ прямой задачи максимизации полезности при заданном бюджетном ограничении и двойственной по отношению к ней задачи минимизации расходов потребителя на достижение определенного уровня полезности открывает целый ряд дополнительных возможностей. Важным связующим звеном между этими задачами является известное уравнение Слуцкого.

В микроэкономике уравнение Слуцкого — уравнение, смысл которого состоит в том, что изменение спроса на некоторый товар при повышении или снижении его цены складывается из влияния непосредственного изменения спроса и косвенного влияния в результате переключения спроса на другие товары. Данное уравнение показывает, что изменение в спросе на i-й товар при изменении цены j-го товара является результатом двух эффектов: эффекта замещения и эффекта дохода.

Сравнение:

-поХиксу, разные уровни денежного дохода, обеспечивающие один и тот же уровень удовлетворения, представляют одинаковый уровень реального дохода

-у Слуцкого - лишь тот уровень денежного дохода, который достаточен для приобретения одного и того же набора товаров, обеспечивает и неизменный уровень реального дохода.

Графическая модель представлена на рис1.

Пусть KL - исходная бюджетная линия. Ей соответствует исходная равновесная точка потребителя Q₀. Количество потребляемой хурмы (товар X) в точке Q₀ равно x₀. Снижение цены на хурму приведет к повороту бюджетной линии и она займет положение KL₁, которой соответствует новая равновесная точка Q₁. Количество потребляемой хурмы в точке Q₁ равно x₁. Реальное увеличение потребления хурмы в результате снижения ее цены составит x₁ - x₀. Этот отрезок надо разделить на две части, чтобы показать, какая его часть связана с эффектом замены, а какая - с эффектом дохода.

Хикс определяет, каким должен быть денежный доход потребителя, чтобы при изменившемся соотношении цен обеспечить ему прежний уровень удовлетворения. Для этого он строит вспомогательную бюджетную линию K^'L^' (линия Хикса), которая параллельна новой бюджетной линии KL₁ и одновременно является касательной к исходной кривой безразличия i₀ в точке Q₂. Количество потребляемой хурмы в точке Q₂ равно x₂. Поскольку K^'L^' отражает новое соотношение цен и в то же время наборы фруктов Q₀ и Q₂ обеспечивают одинаковый уровень удовлетворения (находятся на одной кривой безразличия), то увеличение потребления хурмы, равное x₂ - x₀, представляет собой эффект замены.

Рис.1 Графическая модель разложения общего эффекта изменения цены на эффект замещения и эффект дохода по версии Дж.Хикса

Переход от точки вспомогательного оптимума Q₂ к точке нового оптимума Q₁ означает рост потребления и апельсинов, и хурмы. При этом увеличение спроса на хурму происходит исключительно в силу роста реального дохода, поскольку оба оптимума (Q₂ и Q₁) характеризуются одинаковым соотношением цен товаров.

Слуцкий определяет, каким должен быть денежный доход потребителя, который обеспечил бы ему возможность приобрести после изменения цен тот же самый набор товаров, что и до изменения. Для этого надо через точку Q₀ провести вспомогательную бюджетную линию K^'L^' (линия Слуцкого), параллельную новой бюджетной линии KL₁. Линия Слуцкого окажется касательной к более высокой, чем i₀, кривой безразличия i^' в точке Q₂. Поскольку Q₀ и Q₂ принадлежат одной бюджетной линии K^'L^', то реальный доход по Слуцкому остается неизменным. Hо так как K^'L^' параллельна KL₁, то она тоже отражает новое соотношение цен на хурму и апельсины. Значит, увеличение потребления хурмы, равное x₂ - x₀, - есть эффект замены.

Графическая модель разложения общего эффекта изменения цены на эффект замещения и эффект дохода по версии Е.Слуцкого

Hовая равновесная точка Q₁ принадлежит более высокой бюджетной линии, чем точка вспомогательного оптимума Q₂. Hо в то же время соотношение цен на хурму и апельсины в точках Q₁ и Q₂ одинаково. Следовательно, увеличение потребления хурмы, равное x₁ - x₂, есть эффект дохода.

Сравнив два подхода к решению проблемы, можно сделать следующие выводы.

1. Линия Слуцкого всегда выше линии Хикса, так как первая является секущей к исходной кривой безразличия, а вторая - касательной к ней. Поэтому эффект замещения по Слуцкому всегда больше эффекта замещения по Хиксу, а эффект дохода по Слуцкому всегда меньше эффекта дохода по Хиксу.

2. Метод Хикса в большей мере соответствует основным положениям порядковой теории полезности, предполагает знание потребительских предпочтений, кривых безразличия, тогда как метод Слуцкого этого не требует и позволяет дать количественное решение задачи на основе наблюдаемых и регистрируемых фактов поведения потребителя на рынке.

УРАВНЕНИЕ СЛУЦКОГО

Рациональный выбор потребителя может быть представлен с использованием принципа двойственности. Совместный анализ прямой задачи максимизации полезности при заданном бюджетном ограничении и двойственной по отношению к ней задачи минимизации расходов потребителя на достижение определенного уровня полезности открывает целый ряд дополнительных возможностей. Важным связующим звеном между этими задачами является известное уравнение Слуцкого.

В микроэкономике уравнение Слуцкого — уравнение, смысл которого состоит в том, что изменение спроса на некоторый товар при повышении или снижении его цены складывается из влияния непосредственного изменения спроса и косвенного влияния в результате переключения спроса на другие товары. Данное уравнение показывает, что изменение в спросе на i-й товар при изменении цены j-го товара является результатом двух эффектов: эффекта замещения и эффекта дохода.

Математически уравнение Слуцкого выводится из дифференцирования маршалловского спроса на i-й товар по цене j-го товара с использованием того факта, что маршалловский спрос выражается через компенсированный спрос:

где — заданные уровни цен, дохода и полезности. Корректность последнего перехода в уравнении Слуцкого объясняется леммой Шепарда.

Первое слагаемое в уравнении Слуцкого показывает реакцию на изменение относительных цен и носит название эффекта замещения; второе слагаемое показывает реакцию на изменение дохода и носит название эффекта дохода.

Матрица Слуцкого

Частные производные могут быть сведены вматрицу Слуцкого коэффициентов замещенияS(p, I), обладающую следующими свойствами:

1. Симметричность: (следует из леммы Шепарда и теоремы Юнга);

2. Отрицательная полуопределенность;

3. Равенство нулю при умножении на вектор цен: .

Матричное представление полезно тем, что свойства матрицы позволяют не вычислять непосредственно все частные производные.

Идея разложения общего эффекта изменения цены на эффект замены и эффект дохода принадлежит российскому экономисту и математику Е.Е.Слуцкому, опубликовавшему в 1915 г. в итальянском журнале статью по этому поводу. Hо эта статья осталась для мировой науки незамеченной. Только благодаря работам Хикса и Аллена, опубликованным значительно позднее, мир ознакомился с решением этой проблемы.

Версии Хикса и Слуцкого отличаются разными подходами к определению реального дохода. Согласно Хиксу, разные уровни денежного дохода, обеспечивающие один и тот же уровень удовлетворения, представляют одинаковый уровень реального дохода. А у Слуцкого - лишь тот уровень денежного дохода, который достаточен для приобретения одного и того же набора товаров, обеспечивает и неизменный уровень реального дохода.

Рассмотрим графическую модель разложения общего эффекта изменения цены на эффект замещения и эффект дохода по версии Дж.Хикса (рис.5.1).

Пусть KL - исходная бюджетная линия. Ей соответствует исходная равновесная точка потребителя Q₀. Количество потребляемой хурмы (товар X) в точке Q₀ равно x₀. Снижение цены на хурму приведет к повороту бюджетной линии и она займет положение KL₁, которой соответствует новая равновесная точка Q₁. Количество потребляемой хурмы в точке Q₁ равно x₁. Реальное увеличение потребления хурмы в результате снижения ее цены составит x₁ - x₀. Этот отрезок надо разделить на две части, чтобы показать, какая его часть связана с эффектом замены, а какая - с эффектом дохода.

Хикс определяет, каким должен быть денежный доход потребителя, чтобы при изменившемся соотношении цен обеспечить ему прежний уровень удовлетворения. Для этого он строит вспомогательную бюджетную линию K^'L^' (линия Хикса), которая параллельна новой бюджетной линии KL₁ и одновременно является касательной к исходной кривой безразличия i₀ в точке Q₂. Количество потребляемой хурмы в точке Q₂ равно x₂. Поскольку K^'L^' отражает новое соотношение цен и в то же время наборы фруктов Q₀ и Q₂ обеспечивают одинаковый уровень удовлетворения (находятся на одной кривой безразличия), то увеличение потребления хурмы, равное x₂ - x₀, представляет собой эффект замены.

Рис.5.1. Графическая модель разложения общего эффекта изменения цены на эффект замещения и эффект дохода по версии Дж.Хикса

Переход от точки вспомогательного оптимума Q₂ к точке нового оптимума Q₁ означает рост потребления и апельсинов, и хурмы. При этом увеличение спроса на хурму происходит исключительно в силу роста реального дохода, поскольку оба оптимума (Q₂ и Q₁) характеризуются одинаковым соотношением цен товаров.

Подход Е.Слуцкого к проблеме разложения общего эффекта изменения цены на эффект замены и эффект дохода существенно отличается от подхода Дж.Хикса (рис.5.2).

Слуцкий определяет, каким должен быть денежный доход потребителя, который обеспечил бы ему возможность приобрести после изменения цен тот же самый набор товаров, что и до изменения. Для этого надо через точку Q₀ провести вспомогательную бюджетную линию K^'L^' (линия Слуцкого), параллельную новой бюджетной линии KL₁. Линия Слуцкого окажется касательной к более высокой, чем i₀, кривой безразличия i^' в точке Q₂. Поскольку Q₀ и Q₂ принадлежат одной бюджетной линии K^'L^', то реальный доход по Слуцкому остается неизменным. Hо так как K^'L^' параллельна KL₁, то она тоже отражает новое соотношение цен на хурму и апельсины. Значит, увеличение потребления хурмы, равное x₂ - x₀, - есть эффект замены.

Рис.5.2. Графическая модель разложения общего эффекта изменения цены на эффект замещения и эффект дохода по версии Е.Слуцкого

Hовая равновесная точка Q₁ принадлежит более высокой бюджетной линии, чем точка вспомогательного оптимума Q₂. Hо в то же время соотношение цен на хурму и апельсины в точках Q₁ и Q₂ одинаково. Следовательно, увеличение потребления хурмы, равное x₁ - x₂, есть эффект дохода.

Сравнив два подхода к решению проблемы, можно сделать следующие выводы.

1. Линия Слуцкого всегда выше линии Хикса, так как первая является секущей к исходной кривой безразличия, а вторая - касательной к ней. Поэтому эффект замещения по Слуцкому всегда больше эффекта замещения по Хиксу, а эффект дохода по Слуцкому всегда меньше эффекта дохода по Хиксу.

2. Метод Хикса в большей мере соответствует основным положениям порядковой теории полезности, предполагает знание потребительских предпочтений, кривых безразличия, тогда как метод Слуцкого этого не требует и позволяет дать количественное решение задачи на основе наблюдаемых и регистрируемых фактов поведения потребителя на рынке.

ФИРМА И ЕЕ ЦЕЛИ

Предприниматели создают в рыночной экономике сектор предприятий. Предприятия (фирмы), составляющие основу этого сектора, представляют собой самостоятельные хозяйственные единицы разных форм собственности, объединившие экономические ресурсы для осуществления коммерческой деятельности. Под последней понимается деятельность по производству товаров и оказанию услуг для третьих лиц, физических и юридических, которая должна приносить предприятию коммерческую выгоду, а именно прибыль.

Конечной целью деятельности фирмы является упрочение ее позиций на рынке, прежде всего за счет максимизации прибыли. Цель максимизации денежной прибыли является безусловно определяющей в условиях совершенной конкуренции, когда на рынке действует достаточно фирм и нет препятствий для появления новых.

В условиях несовершенной конкуренции извлечение максимальной прибыли дополняется, уточняется, ограничивается или даже иногда замещается другими целевыми установками фирмы, прежде всего такими, как максимизация валовой выручки (продаж) при обеспечении удовлетворительного объема чистой выручки (прибыли); максимизация темпов роста валовой выручки (продаж); выход на новый рынок; сохранение или увеличение имеющейся доли рынка.

Характер целевых установок предприятия определяется состоянием экономики в целом, тенденциями развития конкретной отрасли, к которой относится его деятельность, и характером конкуренции в ней, а также стадией цикла жизни самого предприятия.

Цикл жизни предприятия (фирмы) — это определенный период времени, в течение которого оно обладает жизнеспособностью на рынке. Типичная модель жизненного цикла предприятия представлена четырьмя стадиями (выход на рынок, рост, зрелость, упадок), каждая из которых характеризуется определенным соотношением объема продаж и прибыли. Первая стадия характеризует собственно процесс .создания и становления предприятия, за которым стоят определенные начальные вложения капитала. Целевая установка на этой стадии — выход на рынок, обеспечение стартового уровня продаж. На второй стадии цикла жизни предприятие проводит активную рыночную экспансию, наращивает темпы роста продаж. Целевой установкой является расширение производственных мощностей, захват рынков. На третьей стадии в центре стоит максимизация валовой выручки, рост прибылей. Целевая установка — борьба за удержание своей доли рынка, рост производственных мощностей отходит на второй план по сравнению с сокращением издержек. На четвертой стадии происходит снижение объемов продаж и вместе с ним сокращение прибыли вплоть до возникновения убытков (результаты коммерческой деятельности предприятия становятся отрицательными). На этой стадии единственной целью предприятия становится либо продолжение его операций в течение определенного периода времени для минимизации убытков, либо выживание на рынке (сохранение его жизнеспособности) с последующим использованием его ресурсной базы для новой рыночной экспансии.

Минимизация убытков является оборотной стороной максимизации прибыли как одной из целей деятельности предприятия. Эти два понятия неразрывно связаны между собой. Однако следует отметить, что, будучи ориентированной на высокий положительный результат, в краткосрочном плане фирма может переживать менее успешные периоды своей деятельности. Речь идет о финансовых потерях, возникновение которых напрямую связано с рисками, сопровождающими предпринимательскую деятельность. Предпринимательский риск, собственно, и определяется как вероятность возникновения у фирмы финансовых потерь, к которым относится и недополучение прибыли по сравнению с прогнозируемой величиной, и возникновение убытков.