Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы)
Вектор ¹
называется собственным вектором линейного оператора
(матрицы
), если выполняется равенство:
(
) =
(1)
Следовательно, , (т. е.
отображается на коллинеарный вектор
).
Число l называется собственным значением линейного оператора.
Запишем равенство (1) в матричном виде:
A·X = l·X; A·X ‒l·X = 0,
т. е.
(A ‒ l · E) · X = 0 (2)
– характеристическое уравнение.
Запишем матричное уравнение (2) в виде однородной системы линейных уравнений:
Эта система имеет ненулевое решение, если определитель системы равен нулю, т.е.
│A –l·E │= 0 или = 0 (3)
Левая часть уравнения (3) является многочленом n‒ степени относительно l.
Количество корней уравнения (3) равняется количеству собственных значений l оператора A, а, значит, и количеству собственных векторов этого оператора.
Пример:
Найти: собственные значения и собственные векторы этого оператора.
Решение:
Составим характеристический многочлен.
│A – l·E │=
=
. – собственные значения оператора A.
1) при
;
;
.
Пусть , тогда
– первый собственный вектор оператора A.
2) при
;
;
.
Пусть , тогда
Квадратичные формы.
Пусть L = ( ) ‒ симметричная матрица n‒ го порядка, т.е.
=
.
Определение. Выражение
называется квадратичной формой переменных x1, x2, …, xn.
Выражение (1) есть сумма всех квадратов переменных плюс сумма всех удвоенных произведений разных переменных, причем каждый член суммы взят с некоторым коэффициентом. Матрица L называется матрицей квадратичной формы.
Построим квадратичную форму. Введем матрицу ‒ столбец переменных
матрицу ‒ строку этих переменных Xm = (x1, x2, …, xn) и найдем произведение матриц:
После перемножения получим
Следовательно, в матричной форме квадратичная форма может быть представлена в виде
= XT ·L ·X .
Матрице ‒ столбцу переменных можно поставить в соответствие вектор х, координатами которого в ортобазисе e1, е2, …, еn, будут элементы матрицы ‒ столбца. Тогда выражение (1) можно интерпретировать как числовую функцию векторного аргумента х: (х).
Пример: Найти матрицу квадратичной формы
(x)= ‒
+6
‒ 3
+4
+
‒3
Решение: Общий вид заданной квадратичной формы
(x)=
+
+
+
+
+
Поэтому
=
.
Пусть оператор переводит вектор
в вектор
. Поскольку действие линейного оператора
на вектор
сводится к умножению некоторой матрицы P = (
) на матрицу ‒ столбец Y, составленную из координат вектора
, запишем линейное преобразование в матричном виде:
Х = P· Y.
Выясним, как изменяется матрица квадратичной формы при линейном преобразовании векторов х → у:
(x) =
где
=
.
Пусть дополнительно выполняется условие невырожденности матрицы оператора | Р| ¹ 0 и квадратичная форма является числовой функцией вектора :
(y) =
.
Найдем, как изменяется матрица квадратичной формы при линейном преобразовании векторов у → х. Решим матричное уравнение
Х = P · Y,
умножив обе части равенства слева на .
Тогда
(y) =
=
где .
Пример: Как изменится матрица квадратичной формы
(x) = ‒
+ 2
+ 3
при линейном преобразовании векторов
.
Решение:Матрица заданной квадратичной формы равна
матрица линейного оператора
при линейном преобразовании векторов х =
(у) имеет вид
.
Под действием линейного оператора матрица квадратичной формы станет равной ,
а квадратичная форма примет более простой вид:
(y) =
.