Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы)

Вектор ¹ называется собственным вектором линейного оператора (матрицы ), если выполняется равенство:

( ) = (1)

Следовательно, , (т. е. отображается на коллинеарный вектор ).

Число l называется собственным значением линейного оператора.

Запишем равенство (1) в матричном виде:

A·X = l·X; A·X ‒l·X = 0,

т. е.

(A ‒ l · E) · X = 0 (2)

– характеристическое уравнение.

Запишем матричное уравнение (2) в виде однородной системы линейных уравнений:

Эта система имеет ненулевое решение, если определитель системы равен нулю, т.е.

│A –l·E │= 0 или = 0 (3)

Левая часть уравнения (3) является многочленом n‒ степени относительно l.

Количество корней уравнения (3) равняется количеству собственных значений l оператора A, а, значит, и количеству собственных векторов этого оператора.

Пример:

Найти: собственные значения и собственные векторы этого оператора.

Решение:

Составим характеристический многочлен.

│A – l·E │=

=

. – собственные значения оператора A.

1) при

;

;

.

Пусть , тогда – первый собственный вектор оператора A.

2) при

;

;

.

Пусть , тогда

Квадратичные формы.

Пусть L = ( ) ‒ симметричная матрица n‒ го порядка, т.е. = .

Определение. Выражение

называется квадратичной формой переменных x₁, x₂, …, x_n.

Выра­жение (1) есть сумма всех квадратов переменных плюс сумма всех удвоенных произведений разных переменных, причем каждый член суммы взят с некоторым коэффициентом. Матрица L назы­вается матрицей квадратичной формы.

Построим квадратичную форму. Введем матрицу ‒ столбец переменных

матрицу ‒ строку этих переменных X^m = (x₁, x₂, …, x_n) и найдем произведение матриц:

После перемножения получим

Следовательно, в матричной форме квадратичная форма может быть представлена в виде

= X^T ·L ·X .

Матрице ‒ столбцу переменных можно поставить в соответствие вектор х, координатами которого в ортобазисе e₁, е₂, …, е_n, будут элементы матрицы ‒ столбца. Тогда выражение (1) можно интерпретировать как числовую функцию векторного аргумента х: (х).

Пример: Найти матрицу квадратичной формы

(x)= ‒ +6 ‒ 3 +4 + ‒3

Решение: Общий вид заданной квадратичной формы

(x)= + + + + +

Поэтому

= .

Пусть оператор переводит вектор в вектор . Поскольку действие линейного оператора на вектор сводится к умножению некоторой матрицы P = ( ) на матрицу ‒ столбец Y, составленную из координат вектора , запишем линейное преобразование в матричном виде:

Х = P· Y.

Выясним, как изменяется матрица квадратичной формы при линейном преобразовании векторов х → у:

(x) = где = .

Пусть дополнительно выполняется условие невырожденности матрицы оператора | Р| ¹ 0 и квадратичная форма является числовой функцией вектора : (y) = .

Найдем, как изменяется матрица квадратичной формы при линейном преобразовании векторов у → х. Решим матричное уравнение

Х = P · Y,

умножив обе части равенства слева на .

Тогда

(y) = =

где .

Пример: Как изменится матрица квадратичной формы

(x) = ‒ + 2 + 3 при линейном преобразовании векторов

.

Решение:Матрица заданной квадратичной формы равна

матрица линейного оператора при линейном преобразовании векторов х = (у) имеет вид .

Под действием линейного оператора матрица квадратичной формы станет равной ,

а квадратичная форма примет более простой вид:

(y) = .