Вопрос 32. Прямые методы оптимизации решений при многих критериях

Метод аналитической иерархии. Для принятия решений при многих критериях.

Общая схема МАИ. Постановка задачи:

1.Задана общая цель (n), назначена соответствующая система, которая должна оптимизироваться.

2. Задано произвольное число альтернатив, из которых нужно выбрать лучшее

3. Задано произвольное число частных критериев, по которым анализируются эти альтернативы.

Требуется найти наилучшую альтернативу. Атрибуты:

4. На первом шаге задача оптимизации структурируется в виде соответствующей иерархии ( цели, критерии и альтернативы).

Сумма показателей равна 1.

Va=8*0,6+5*0,1+9*0,3=8

5. Реализация попарных сравнений для элементов каждого уровня с учетом специфики требований элементов более высокого уровня иерархии. При этом результаты попарных сравнений реализуются в виде матрицы, по которым затем определяется веса важности этих элементов

6. Определяются количественные индикаторы альтернативы, называемые приоритетами.

Шкала сравнений: 1.Эквивалентны (1) 2.Умеренное превосходство (3-1) 3.Существенное превосходство (5-1) 4.….(7-1) 5.….(9-1)

Матрица сравнений сравнивает каждый элемент с каждым:

	А	Б	С	Д	сумма	Нормируем	Итог
А						1/2	1*1/2+2*1/4+3*1/6+6*1/12=2
Б	1/2		3/2		12/2	1/4
С	1/3	2/3			12/3	1/6	4/6
Д	1/6	1/3	1/2		12/6	1/12	4/12
сумма

Свойства матрицы:

· a_ii=1, для любых i

· aij=1/aji =>aij*1/aji=1 – обратно симметричная матрица

· aik*akj=aij

· vi/vk*vk/vj=vi/vj – согласованная матрица

2. Перед нами несколько функций: одну нужно максимизировать, другую минимизировать и т.п.

Множество Парето – общее у всех. Как его найти?

4. g⁽¹⁾(x)->max => 1/ g⁽¹⁾(x)->min (все задачи необходимо сводить на мин.)

5. g⁽²⁾(x)->min

6. …

Нужно найти наилучшее решение х1…хn, которое минимизирует все эти функции.

Частный случай: Абсолютное решение. Ситуация, когда все функции можно минимизировать.Решение наз-ся абсолютным, когда оно оптимизирует одновременно все частные критерии.

Решение называется Парето оптимальным, если нельзя улучшить показатель хотя бы одного критерия, при этом чтобы не ухудшились показатели другого критерия. Необходимо использовать прямые методы: задача должна сводиться к однокритериальной.

Критерии оптимальности.

Оптимизация основного частного критерия

Среди частных критериев , выделяется один, который принимается как основной. Для остальных критериев указываются допустимые приемлемые значения. Например, . Тогда исходная задача многокритериальной оптимизации (на минимум) сводится к однокритериальной задаче следующим образом:

при ограничениях

где — задаваемые допустимые значения для каждого критерия.

Например

g1 g2 g3 A B C D E Мин. g(3) g(1)≤10 g(2)≤8 Поэтому убираем B,C,D