И конечного числа требований

Пусть необходимо обслужить множество требований. Любое требование требует для обслуживания единиц времени. Требуется составить такое расписание, которое сокращает среднее время пребывания требования в очереди. Критерий такого расписания имеет вид:

, (6.1)

где S – расписание (порядок обслуживания требований),

- время пребывания i-го требования в очереди.

Очевидно, что , .

Рассмотрим два расписания :

и , полученное из перестановкой -го и -го элементов

.

Распишем критерий оптимальности для этих последовательностей.

, (6.2)

. (6.3)

Расписание предпочтительнее расписания , если /

Из принципа построения расписаний и выражений (6.1) и (6.2) видно, что , если выполнено условие

. (6.4)

Рассмотрим отдельно левую и правую части неравенства (6.4).

Подставляя полученные выражения в (6.4) и учитывая принцип построения расписаний, получим

.

Образом показано, что , т.е. вперед пропускается требование с наименьшим временем обслуживания.

Для построения оптимального расписания, позволяющего сократить среднее время обслуживания требований с учетом их пребывания в очереди необходимо упорядочить требования по не убыванию времени их обслуживания В случае одинаковых значений выбираем любое требование. Полученная последовательность обслуживания требований будет оптимальной.

Пример. Пусть в системе обслуживаются 10 требований. Время их обслуживания , а также расчетные характеристики приведены в таблице.

При этом , а , следовательно, расписание

является лучше расписания .

Задания для самостоятельной работы

Задача. На прием к директору записалось несколько человек. Зная время приема каждого и степень важности обсуждаемого вопроса , требуется в таком порядке принимать посетителей, чтобы среднее время проведенное посетителями на приеме было минимально .

Разработать критерий построения оптимального расписания и решить задачу для случая требований. Время обслуживания требования и степень важности задать самостоятельно.

Задача о двух станках

Имеется 2 станка, на которых должны пройти обработку деталей ( ). Известно время - обработки -й детали на -м станке. Для каждой детали задан свой маршрут обработки на станках.

Требуется составить такое расписание обработки деталей, чтобы длина производственного цикла была минимальной.

Определение. Длиной производственного цикла T назовем время от начала обработки первой детали на первом станке до конца обработки последней детали на последнем станке.

Задача поиска оптимального расписания сводится к определению последовательности , где - перестановка чисел от 1 до , такой, чтобы (длина производственного цикла) было минимальным. Существует возможных последовательностей.

Введем следующие обозначения:

- время обработки -й детали на 1-м станке

- время обработки -й детали на 2-м станке

Покажем одну из последовательностей обработки деталей для =5 на диаграмме Ганта (рис. 6.1).

Рисунок 6.1 – Последовательность обработки деталей

Как видно из диаграммы, 2-й станок в любой момент времени или работает или протаивает. Обозначим - время простоя 2-го станка от момента окончания обработки детали до момента начала обработки -й детали. Общее время работы 2-го станка равно ; оно определяется технологией производства а не последовательностью. Очевидно, что

. (6.5)

Требуется минимизировать , но так как - постоянная величина, то задача сводится к минимизации .

Из рис.1 видно, что

если

, если

Выражение для можно переписать в виде

.

Используя те же обозначения, заметим, что

.

Аналогично

,

Обозначим

,

где есть функция от последовательности . В общем виде

(6.6)

Таким образом можно положить

,

откуда

.

Теперь задачу можно сформулировать следующим образом: выбрать такой порядок обработки деталей, чтобы минимизировать .

Пусть теперь имеется порядок :

:

и порядок , полученный из перестановкой -го и ( )-го элементов

: .

Значения и , получаемые для порядков следования и , одинаковы при всех , кроме, быть может и .

Тогда имеем

,

если

.

Если же

,

то какой-то из двух порядков следования и предпочтительнее. Порядок , в котором следует за , будет лучше, чем , в котором предшествует , если

. (6.7)

Но

(6.8)

и

. (6.9)

Вычитая из правых частей выражений (6.8) и (6.9), получим следующий результат:

,

или иначе

. (6.10)

Отсюда следует, что порядок предпочтительнее порядка , если .

Рассмотрим тогда порядок

,

которого всегда можно достичь перестановками. Менять местами элементы и не нужно, если

; (6.11)

последнее выполняется, если не превосходит , что можно также записать в виде

.

Следовательно, если в таблице времен можно найти время, не превосходящее всех прочих или , то искомый порядок должен будет начинаться с ; если время будучи по-прежнему наименьшим, равно некоторым другим или , искомый порядок можно будет также начинать с .

Соотношение (6.11) выполняется еще в том случае, когда не превосходит , что можно также записать в виде

.

Следовательно, если в таблице времен можно отыскать время , не превосходящее всех прочих или , то искомый порядок должен завершиться элементом ; если время , будучи по-прежнему наименьшим, равно некоторым другим или , искомый порядок можно с таким же правом завершать элементом .