Модель потребительского выбора. Вопрос 4

Вопрос 11. Методы многоуровневой оптимизации. Центральная задача в методе Корнаи-Липтака. Экономическое содержание двойственных оценок в этой задаче.

Необходимость планирования и управления на нескольких уровнях возникает из-за необх-ти сократить непроизв потери, распределить ресурсы, повысить эфф-ть использ-я централизованных ресурсов. Такие задачи возникают в разл-х сферах соц и эконом жизни на страновом уровне (распределение бюджета между сферами экономики), на региональном (распределение ресурсов), на отраслевом (холдинговом) (распр. ответственность, риск и пр.). Для уровня предприятия (n подразделений, m централизованных ресурсов) известны методы оптимизации:

Точные: Корнаи-Липтака и Данцига-Вулфа, Приближенные: метод аппроксимации Пугачева(что-то в интернете нет ничего про метод пугачева, хз откуда он вообще).

Особенность - направленность информационных потоков. Например, в методе К-Л уровень эфф-ти централизованного ресурса j для предприятия с индексом i (1,n) определяется на нижнем уровне (уровне подразделения), а цель центральной задачи – перераспр-ть централиз ресурсы в те сектора, двойственная оценка которых выше. Идея: «бери, сколько хочешь, но верни адекватно взятому». В методе Д-В идея: «передай нам всё, что ты имеешь, и мы скажем, что ты будешь делать» (здесь выше транзакционные издержки, но и ниже риск).

Постановка задачи: Модель потребительского выбора. Вопрос 4 - student2.ru , ,

u_i – дв. оц i-го подразделения, r_i – ресурс, выделенный i-му подразделению

Центральная задача решается отдельно для каждого ресурса.

Особенность метода К-Л: мы перераспределяем ресурсы с учетом центральной задачи:

1) Учитываем центральную задачу

2) обеспечиваем сходимость алгоритма за конечное количество итераций

Пример. Объединение, состоящее из двух предприятий, производит 4 вида продукции. Нормы затрат ресурсов на производство отдельных продуктов, прибыль от их реализации и наличие ресурсов представлены в табл.

Вилы ресурсов	Нормы затрат ресурсов (т/шт.)	Наличие ресурсов (т)
	Предприятие 1	Предприятие 2
	Продукция А	Продукция Б	Продукция В	Продукция Г
			—	—
			—	—
	—	—
	—	-


Прибыль (р./шт.)

Обозначим через хj-объем производства j-го продукта. Тогда модель в численном виде будет выглядеть следующим образом:

· расход собственных ресурсов на предприятиях I и II не превосходит их наличия

· суммарный расход общих ресурсов не превосходит лимитов этих ресурсов

· выпуски продукции должны быть неотрицательны

· общий объем прибыли по объединению должен быть максимальным

t — индекс предприятия, jt,— индекс вида продукции, производимой t-м предприятием

it, — индекс ресурса, «собственного» для предприятия t

i — индекс вида ресурса общих ресурсов объединения (i = 1,2.....т)

Xt, — вектор выпуска продукции предприятием / (размерностью nt х1);

Вt, — вектор лимитов локальных ресурсов i, , потребляемых предприятием t (размерностью 1 x nt);

В — вектор лимитов общих ресурсов i (размерностью т х 1); Рt, — вектор удельной прибыли от выпуска продукции предприятием t (размерностью 1 х п,);

At,— матрица коэффициентов (норм) затрат локальных ресурсов на выпуск продукции предприятием t (размерностью тt х пt): At — матрица коэффициентов (норм) затрат общих ресурсов на выпуск продукции предприятием t (размерностью т х п,).

А₁X₁ ≤ В₁

АtХt ≤ B_t

…

А_TХ_T ≤ В_T

Р1Х1 + ... + РtХt + ... + Р_ТХ_Т à max.

Блочная структура задачи текущего планирования на уровне объединения делает возможным ее расчленение на ряд подзадач существенно меньшей размерности и их взаимосвязанное решение в рамках итеративного процесса. Методы решения могут быть различны.

Метод планирования на двух уровнях Корнаи -Липтака

В этом методе итеративный процесс двухступенчатой оптимизации планов развития объединения и отдельных предприятий основан на корректировке выделяемых предприятиям лимитов ресурсов и заданий по выпуску продукции в натуральном выражении в соответствии с анализом и сравнением предельных эффективностей их использования на предприятиях.

Пусть исходная задача объединения по-прежнему имеет вид блочной задачи как в примере.

Разделим оба общих ресурса поровну (первый шаг)между двумя предприятиями:

9 + 9= 18; 15+ 15 = 30.

Получаем для первого шага две секторные задачи, их планы, значения прибыли и секторные оценки общих ресурсов .

Решаем 2 задачи симплекс методом отдельно.

Эти сведения передаются в объединение, где формируется его план, как механическая сумма планов секторов (предприятий), и проверяется оптимальность этого плана.

Прибыль отрасли равна 45,75 р. Эта сумма значений секторных критериев оптимальности, она будет не больше, чем истинное значение функционала исходной задачи. При неоптимальном распределении общих ресурсов между секторами сумма секторных функционалов будет меньше истинного оптимума. Наша цель — найти такое распределение ресурсов, при котором сумма секторных функционалов будет равна истинному оптимуму. Для этого достаточно, чтобы двойственные оценки одноименного общего ресурса в различных секторах были равны между собой. При равенстве оценок эффект от использования ресурсов во всех секторах одинаков и перераспределять их не нужно, т.е. план оптимален.

Теперь надо перераспределить ресурсы не поровну, а оптимальным способом. Для этого решается новая задача. Ищем вектор Модель потребительского выбора. Вопрос 4 - student2.ru (это лимит ресурсов, выделенных предприятию для объединения). Ограничения - вектор (вектор лимитов общих ресурсов).