Лабораторная работа №3. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений

Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений

1. Решить СЛАУ методами Якоби и Гаусса–Зейделя с заданной точностью: e=0,01. Проанализировать результаты решения (в зависимости от других значений e.)

2. Сравнить результаты решения, полученные двумя методами, сделать соответствующие выводы.

Для расчета использовать СЛАУ , заданную в соответствием с вариантом.

1). 3,5х1 - 1,7х2 + 2,8х3 = 1,7 5,7х1 + 3,3х2 + 1,3х3 = 2,1 2,1х1 + 5,8х2 + 2,8х3 = 0,8	2). 2,1х1 + 4,4х2 + 1,8х3 = 1,1 0,7х1 - 2,8х2 + 3,9х3 = 0,7 4,2х1 - 1,7х2 + 1,3х3 = 2,8
3). 3,1х1 + 2,8х2 + 1,9х3 = 0, 1,9х1 + 3,1х2 + 2,1х3 = 2,1 7,5х1 + 3,8х2 + 4,8х3 = 5,6	4). 4,1х1 + 5,7х2 + 1,2х3 = 5,8 0,8х1 + 1,1х2 - 2,8х3 = 6,7 9,1х1 - 3,6х2 + 2,8х3 = 9,8
5). 2,7х1 - 0,8х2 + 4,1х3 = 3,2 1,1х1 + 3,7х2 + 1,8х3 = 5,7 3,3х1 + 2,1х2 - 2,8х3 = 0,8	6). 1,9х1 + 1,1х2 + 3,8х3 = 7,8 7,6х1 + 5,8х2 - 4,7х3 = 10,1 1,8х1 - 4,1х2 + 2,1х3 = 9,7
7) 3,2х1 - 8,5х2 + 3,7х3 = 6,5 0,5х1 + 0,34х2 +3,7х3 = -0,24 4,6х1 + 2,3х2 - 1,5х3 = 4,3.	8). 4,2х1 + 6,7х2 - 2,3х3 = 2,7; 5,4х1 - 2,3х2 + 1,4х3 = - 3,5; 3,4х1 + 2,4х2 + 7,4х3 = 1,9.
9). 1,5х1 + 4,5х2 + 1,3х3 = -1,7 2,7х1 - 3,6х2 + 6,9х3 = 0,4 6,6х1 + 1,8х2 - 4,7х3 = 3,8	10). 3,4х1 - 3,6х2 - 7,7х3 = -2,4 5,6х1 + 2,7х2 - 1,7х3 = 1,9 -3,8х1 + 1,3х2 +3,7х3 = 1,2
11). -2,7х1 + 0,9х2 - 1,5х3 = 3,5 3,5х1 - 1,8х2 + 6,7х3 = 2,6 5,1х1 + 2,7х2 + 1,4х3 = -0,1	12). 0,8х1 + 7,4х2 - 0,5х3 = 6,4. 3,1х1 - 0,6х2 - 5,3х3 = -1,5; 4,5х1 - 2,5х2 + 1,4х3 = 2,5.
13). 5,4х1 - 6,2х2 - 0,5х3 = 0,52 3,4х1 + 2,3х2 + 0,8х3 = -0,8 2,4х1 - 1,1х2 + 3,8х3 = 1,8	14). 3,8х1 + 6,7х2 + 2,2х3 = 5,2 6,4х1 + 1,3х2 - 2,7х3 = 3,8 -2,4х1 - 4,5х2 + 3,5х3 = -0,6
15). -3,3х1 + 1,1х2 + 5,8х3 = 2,3 7,8х1 + 5,3х2 + 1,8х3 = 1,8 4,5х1 + 3,3х2 - 3,8х3 = 3,4	16). 3,8х1 + 7,1х2 - 2,3х3 = 4,8 -2,1х1 + 3,9х2 - 6,8х3 = 3,3 8,8х1 + 1,1х2 - 2,1х3 = 5,8
17). 1,7х1 - 2,2х2 - 4,0х3 = 1,8 2,1х1 + 1,9х2 - 2,3х3 = 2,8 4,2х1 + 1,9х2 - 0,1х3 = 5,1	18). 2,8х1 + 3,8х2 – 8,2х3 = 4,5 2,5х1 - 7,8х2 + 3,3х3 = 7,1 6,5х1 - 1,1х2 + 4,8х3 = 6,3
19). 2,3х1 + 0,7х2 + 4,2х3 = 5,8 -2,7х1 + 2,3х2 - 2,9х3 = 6,1 9,1х1 + 4,8х2 - 5,0х3 = 7,0	20). 3,1х1 + 6,8х2 + 2,1х3 = 7,0 -5,0х1 - 4,8х2 + 5,3х3 = 6,1 8,2х1 + 1,8х2 + 5,1х3 = 5,8

Указания к выполнению работы

1. Привести полученную систему к нормальному виду .

2. Решить систему методами Якоби и Гаусса–Зейделя, используя приложение Excel.

3. Проследить сходимость итерационного процесса, построив графики изменения каждой компоненты решения в зависимости от номера итерации (см. рис.7).

Метод Якоби (метод простых итераций)

Задана система линейных алгебраических уравнений

.

Или в матричной форме . Полагая, что диагональные коэффициенты

a_ii ¹ 0 (i = 1, 2, … n) ,

разрешим первое уравнение системы относительно х₁, второе – относительно х₂ и т.д. Тогда получим эквивалентную систему

где , и (i, j = 1, 2, … n).

Введя матрицы и , исходную систему можно записать в матричной форме

,

а любое (k + 1) приближение вычисляется по формуле

.

За начальное приближение решения можно взять столбец свободных членов т.е.

Строим последовательность приближений (итераций)

.

Если эта последовательность имеет предел , то он является точным решением системы. На практике итерационный процесс продолжается до тех пор, пока два соседних приближения не станут достаточно близкими.

Критерий близости двух приближений может быть определен следующим образом:

Если условие выполнено, то итерационный процесс прекращается и за приближенное решение системы с заданной точностью e принимается последнее найденное приближение, т.е.

.

Метод Гаусса-Зейделя

Метод Гаусса-Зейделя представляет собой модификацию метода Якоби. Основная идеяметода заключается в том, что при вычислении (k+1)-ой итерации неизвестное вычисляется с учетом уже найденных значений

.

Проиллюстрируем метод для n=3. Пусть система линейных алгебраических уравнений уже приведена к нормальному виду:

Выбираем произвольное начальное приближение и подставляем в первое уравнение системы

Полученное первое приближение подставляем во второе уравнение системы (2.8)

Используя , находим из третьего уравнения

Этим заканчивается построение первой итерации

Используя значения первого приближения можно таким же способом построить следующие итерации. Итерацию с номером (k+1) можно представить следующим образом

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока два соседних приближения не станут достаточно близкими. Критерий близости может быть задан так же, как и в методе Якоби.