Предельные издержки и переменные издержки

Между различными кривыми издержек существуют и некоторые другие взаимосвязи. Вот одна из них, не столь уж очевидная: оказывается, площадь под кривой предельных издержек вплоть до точки y дает нам величину переменных издержек производства y единиц выпуска. Почему это так?

Кривая предельных издержек показывает издержки производства каждой дополнительной единицы выпуска. Сложив друг с другом издержки производства каждой единицы выпуска, получим общие издержки производства за вычетом постоянных издержек.

Эту аргументацию можно сделать строгой для случая, когда выпускаемый товар производится в дискретных (состоящих из отдельных неделимых единиц) количествах. Во-первых, отметим, что

c_v(y) = [c_v(y) — c_v(y — 1)] + [c_v(y — 1) — c_v(y — 2)] +

L + [c_v(1) — c_v(0)].

Это справедливо, поскольку c_v(0) = 0 и все средние члены сокращаются: второй член взаимно уничтожается с третьим, четвертый член с пятым и т.д. Но каждый член этой суммы представляет собой предельные издержки при различных объемах выпуска:

c_v(y) = MC(y — 1) + MC(y — 2) + L + MC(0)

Таким образом, каждый член этой суммы представляет собой площадь прямоугольника с высотой MC(y) и основанием 1. Суммирование всех этих прямоугольников дает, как показано на рис.20.3, площадь под кривой предельных издержек.

Рис. 20.3

Предельные издержки и средние переменные издержки. Площадь под кривой предельных издержек дает переменные издержки.

ПРИМЕР: Конкретные виды кривых издержек

Рассмотрим функцию издержек c(y) = у² + 1. Имеем следующие производные от нее кривые издержек:

· кривая переменных издержек: c_v(y) = у²

· кривая постоянных издержек: c_f(y) = 1

· кривая средних переменных издержек: AVC(y) = у²/y = y

· кривая средних постоянных издержек: AFC(y) = 1/y

· кривая средних издержек:

· кривая предельных издержек: MC(y) = 2у.

Все эти формулы очевидны, за исключением последней, которая тоже очевидна, если вы знакомы с дифференциальным исчислением. Если функция издержек есть c(y) = у² + F, то функция предельных издержек задана выражением MC(y) = 2y. Если вам этот факт еще не известен, то запомните его, поскольку придется его использовать в упражнениях.

Как выглядят эти кривые? Самый легкий способ их изобразить состоит в том, чтобы вначале нарисовать кривую средних переменных издержек, представляющую собой прямую линию с наклоном 1. Нетрудно нарисовать также кривую предельных издержек, которая является прямой линией с наклоном 2.

Кривая средних издержек достигает минимума в точке, где средние издержки равны предельным, что записывается в виде уравнения

,

решив которое, получаем y_min = 1. При y = 1 средние издержки равны 2, и этому равны также и предельные издержки. Итоговый результат показан на рис.20.4.

Кривые издержек. Кривые издержек для функции c(y) = у2 + 1.

Рис. 20.4

ПРИМЕР: Кривые предельных издержек для двух заводов

Предположим, что у вас имеются два завода с двумя различными функциями издержек c₁(y₁) и c₂(y₂). Вы хотите произвести y единиц выпуска самым дешевым способом. Вообще говоря, вы хотите произвести одинаковый объем выпуска на каждом заводе. Вопрос: какой именно объем выпуска вы должны произвести на каждом заводе?

Сформулируем задачу минимизации:

min c₁(y₁) + c₂(y₂)

y₁, y₂

при y₁ + y₂ = y.

Как можно ее решить? Оказывается, при оптимальном разделении выпуска между двумя заводами должно соблюдаться равенство предельных издержек производства выпуска на заводе 1 предельным издержкам производства выпуска на заводе 2. Чтобы доказать это, допустим, что предельные издержки не равны; тогда выгодно перебросить небольшой объем производства с завода с более высокими предельными издержками на завод с более низкими предельными издержками. Если разделение выпуска оптимально, то переключение выпуска с одного завода на другой не может снизить издержки.

A B C

Рис. 20.5

Предельные издержки для фирмы с двумя заводами. Кривая совокупных предельных издержек, показанная справа, есть результат суммирования по горизонтали кривых предельных издержек для двух заводов, показанных слева.

Обозначим через c(y) функцию издержек, соответствующую самому дешевому способу производства y единиц выпуска, а именно, издержки производства y единиц выпуска при условии оптимального разделения выпуска между двумя заводами. Предельные издержки производства добавочной единицы выпуска должны быть одинаковы независимо от того, на каком из заводов ее производят.

На рис.20.5 изображены две кривые предельных издержек MC₁(y₁) и MC₂(y₂). Кривая предельных издержек для двух заводов, взятых вместе, как показано на рис.20.5C, есть просто результат суммирования по горизонтали этих двух кривых предельных издержек.

При любом постоянном уровне предельных издержек, скажем c, мы будем производить такие объемы выпуска и , которые соответствуют равенству MC₁( ) = MC₁( ) = c, и, таким образом, мы произведем + единиц выпуска. Следовательно, объем выпуска, произведенный при любых предельных издержках c, есть просто сумма выпусков, произведенных при условии, что и предельные издержки завода 1, и предельные издержки завода 2 равны c, т.е.,результату суммирования по горизонтали кривых предельных издержек.

Долгосрочные издержки

В проведенном выше анализе мы рассматривали в качестве постоянных издержек фирмы издержки, связанные с оплатой факторов, не подлежащих изменению в краткосрочном периоде. В длительном периоде фирма может выбирать количество используемых ею "постоянных" факторов — они более уже не являются постоянными.

Разумеется, в длительном периоде по-прежнему могут иметься квазипостоянные факторы. Иными словами, данная технология может обладать тем свойством, что некоторые издержки придется оплачивать, чтобы произвести любой положительный объем выпуска. Однако в длительном периоде не существует постоянных издержек в том смысле, что всегда есть возможность произвести ноль единиц выпуска при нулевых издержках, иными словами, всегда существует возможность прекратить деятельность. Если в длительном периоде имеются квазипостоянные факторы, то кривая средних издержек будет иметь, как и в коротком периоде, U-образную форму. Но в длительном периоде, по самому его определению, всегда будет существовать возможность производства нулевого выпуска при нулевых издержках.

Конечно, какой именно период следует считать длительным, зависит от исследуемой задачи. Если в качестве постоянного фактора мы рассматриваем размеры завода (здесь и далее под размером завода понимаются производственные мощности — прим. научн.ред.), то продолжительность длительного периода будет определяться тем, сколько времени потребуется фирме, чтобы изменить размеры своего завода. Если мы рассматриваем в качестве постоянного фактора контрактные обязательства по выплате заработной платы, то продолжительность длительного периода будет зависеть от того, сколько времени потребуется фирме, чтобы изменить количество используемой ею рабочей силы.

Чтобы быть конкретнее, будем считать постоянным фактором размер завода и обозначим его размер буквой k. Функцию краткосрочных издержек фирмы при условии, что фирма имеет завод площадью k квадратных футов, обозначим через c_s(y, k), где нижний индекс s обозначает "краткосрочный период" (k здесь играет такую же роль, какую в гл. 19 играет ).

Для любого данного объема выпуска всегда существует какой-то размер завода, который оптимален для производства этого объема выпуска. Обозначим этот размер завода через k(y). Это условный спрос фирмы на фактор (в роли которого выступает размер завода) как функция выпуска. (Разумеется, он также зависит от цены размера завода и от цен других факторов производства, но эти аспекты аргументации мы оставляем в стороне). Тогда, как мы видели в гл. 19, функция долгосрочных издержек фирмы будет задана выражением c_s(y, k(y)). Это общие издержки производства объема выпуска y при условии, что фирма имеет возможность оптимально изменять размеры своего завода. Функция долгосрочных издержек фирмы есть не что иное, как функция ее краткосрочных издержек, оцененная в точке оптимального выбора постоянных факторов:

c(y) = c_s(y, k(y)).

Посмотрим, как это выглядит на графике. Выберем какой-то объем выпуска y* и обозначим через k* = k(y*) оптимальный размер завода для данного объема выпуска. Функция краткосрочных издержек для завода размером k* задается выражением c_s(y, k*), а функция долгосрочных издержек — выражением c(y) = c_s(y, k(y)), как показано выше.

Теперь обратите внимание на тот важный факт, что краткосрочные издержки производства выпуска y должны всегда быть по крайней мере не меньше, чем долгосрочные издержки производства y. Почему? В краткосрочном периоде размер завода фирмы постоянен, в то время как в долгосрочном периоде фирма вольна изменять размер своего завода. Поскольку одним из возможных вариантов выбора фирмы в длительном периоде является выбор завода размером k*, оптимальному выбору производства y единиц выпуска должны соответствовать издержки по крайней мере не большие, чем c(y, k*). Это означает, что при изменении размера завода дела фирмы должны идти по крайней мере не хуже, чем при постоянном размере завода. Поэтому

c(y) ≤c_s(y, k*)

для всех объемов выпуска y.

На самом деле мы знаем, что для одного конкретного объема y, а именно для y*,

c(y*) = c_s(y*, k*).

Почему это так? Потому что при y*оптимальным выбором размера завода является k*. Поэтому при y* долгосрочные и краткосрочные издержки производства оказываются одинаковыми.

Если краткосрочные издержки всегда больше долгосрочных и они равны при равном объеме выпуска, это означает, что краткосрочные и долгосрочные издержки обладают одним и тем же свойством: AC(y) ≤AC_s(y, k*) и AC(y*) = AC_s(y*, k*). Это подразумевает, что кривая краткосрочных средних издержек всегда лежит над кривой долгосрочных средних издержек и они касаются друг друга в одной точке y*. Поэтому кривая долгосрочных средних издержек (LAC) и кривая краткосрочных средних издержек (SAC) в этой точке должны касаться друг друга, как показано на рис.20.6.

Краткосрочные и долгосрочные средние издержки. Кривая краткосрочных средних издержек должна касаться кривой долгосрочных средних издержек.

Рис. 20.6

Мы можем проделать такого же рода построения для объемов выпуска, отличных от y*. Предположим, что мы выбираем объемы выпуска y₁, y₂, ..., y_nи соответствующие им размеры завода k₁ = k(y₁), k₂ = k(y₂), ..., k_n = k(y_n). Тогда получаем картину, подобную изображенной на рис.20.7. Суть рис.20.7 заключается в утверждении, что кривая долгосрочных средних издержек огибает кривые краткосрочных средних издержек снизу.