Компенсирующая и эквивалентная вариации дохода

Теория излишка потребителя выглядит очень привлекательной в случае квазилинейной функции полезности. Даже если функция полезности не квазилинейна, излишек потребителя может по-прежнему служить разумной мерой благосостояния потребителя в целом ряде применений. Ошибки в измерении кривых спроса обычно перевешивают ошибки, связанные с приближенными подсчетами, сопутствующими использованию излишка потребителя в качестве меры благосостояния.

Может оказаться, однако, что для некоторых применений такой приближенный подсчет недостаточен. В настоящем параграфе мы в общих чертах охарактеризуем способ измерения "изменений полезности", при котором излишек потребителя не используется. На самом деле, речь пойдет о двух самостоятельных вопросах. Первый вопрос касается того, как вывести оценочную функцию полезности, если из наблюдений известен ряд вариантов потребительского выбора. Второй вопрос касается того, как можно измерить полезность в денежных единицах.

Проблема оценки вида функции полезности нами уже рассматривалась. В гл.5 мы привели пример того, как вывести оценочную функцию полезности Кобба-Дугласа. Как мы заметили в этом примере, в случае функции спроса Кобба-Дугласа доли расходов на каждый товар сравнительно постоянны и поэтому в качестве оценочного значения параметров функции полезности Кобба-Дугласа можно использовать среднюю долю расходов. Если бы поведению потребителя в отношении спроса не была присуща эта конкретная черта, нам бы пришлось выбрать более сложную функцию полезности, но принцип оставался бы тем же самым: если у нас имеется достаточно наблюдений за поведением в отношении спроса и это поведение согласуется с максимизацией чего-либо, то, как правило, мы можем вывести оценочную функцию, которая максимизируется.

Как только мы получаем оценочную функцию полезности, описывающую какое-то наблюдаемое поведение в отношении потребительского выбора, мы можем использовать ее для оценки влияния предлагаемых изменений в области цен и объемов потребления. Это — лучшее, на что мы можем рассчитывать на самом фундаментальном уровне анализа. Значение имеют лишь предпочтения потребителя; одна функция полезности, описывающая данные предпочтения потребителя, не хуже другой.

Однако, в некоторых применениях удобным оказывается использование определенных денежных меры полезности. Например, мы могли бы поставить вопрос следующим образом: сколько денег надо дать потребителю, чтобы компенсировать ему изменение структуры его потребления. Мерой этого типа измеряется, по существу, изменение полезности, но делается это в денежных единицах. Какими удобными способами можно это сделать?

Предположим, что мы рассматриваем ситуацию, изображенную на рис.14.4. Здесь потребителю первоначально заданы какие-то цены ( ), и он потребляет некий набор ( ). Затем цена товара 1 возрастает с до , и потребитель переходит к потреблению набора ( ). Насколько большой ущерб благосостоянию потребителя наносит это изменение цены?

A B

Рис.14.4 Компенсирующая и эквивалентная вариации дохода. На рис.A показана компенсирующая вариация дохода (CV), а на рис.B — эквивалентная вариация дохода (EV).

Один из способов ответа на данный вопрос состоит в том, чтобы спросить, сколько денег следует дать потребителю после изменения цены, чтобы его благосостояние осталось точно таким же, каким оно было до изменения цены. Применительно к графической иллюстрации, мы спрашиваем, как сильно вверх мы должны сдвинуть новую бюджетную линию, чтобы она стала касательной к кривой безразличия, проходящей через точку исходного потребления ( ). Изменение дохода, необходимое для того, чтобы потребитель вновь оказался на исходной кривой безразличия, называется компенсирующейвариацией дохода, так как оно представляет собой такое изменение дохода, которое как раз компенсирует потребителю влияние изменения цены. Компенсирующая вариация дохода показыет, сколько денег правительство должно было бы добавить потребителю, если бы хотело в точности компенсировать ему изменение цены.

Другой способ измерить влияние изменения цены в денежных единицах состоит в том, чтобы спросить, сколько денег следовало бы забрать у потребителя до изменения цены, чтобы его благосостояние было точно таким же, каким оно стало после изменения цены. Эта мера называется эквивалентной вариацией дохода, поскольку она представляет собой изменение дохода, которое, с точки зрения полезности, эквивалентно изменению цены. Применительно к рис.14.4 мы спрашиваем, как сильно вниз мы должны сдвинуть исходную бюджетную линию, чтобы как раз коснуться кривой безразличия, проходящей через новый потребительский набор. Эквивалентная вариация дохода показывает максимальную величину дохода, с которой потребитель готов был бы расстаться, чтобы избежать изменения цены.

Вообще, та сумма денег, которую потребитель был бы готов заплатить, чтобы избежать изменения цены, как правило, отличается от той суммы денег, которую следовало бы выплатить потребителю, чтобы компенсировать ему изменение цены. В конце концов, при разных комбинациях цен стоимость доллара для потребителя различна, поскольку на него он может приобрести разные величины потребления.

Выражаясь языком геометрии, компенсирующая и эквивалентная вариации дохода — не что иное как два различных способа измерить то, "как далеко отстоят друг от друга" две кривых безразличия. В каждом из случаев мы измеряем расстояние между двумя кривыми безразличия расстоянием между касательными к ним. Вообще, эта мера расстояния будет зависеть от наклона касательных — то есть, от выбранных нами цен, определяющих наклон бюджетных линий.

Однако, компенсирующая и эквивалентная вариации дохода одинаковы в одном важном случае — при квазилинейной функции полезности. В этом случае кривые безразличия параллельны, так что расстояние между кривыми безразличия, как показано на рис.14.4, остается одним и тем же, независимо от того, в какой точке его измеряют. В случае квазилинейной функции полезности компенсирующая вариация дохода, эквивалентная вариация дохода и изменение избытка потребителя дают одну и ту же меру денежной стоимости изменения цены.

ПРИМЕР: Компенсирующая и эквивалентная вариации дохода

Предположим, что потребитель имеет функцию полезности вида . Первоначально ему заданы цены (1,1), и доход его равен 100. Затем цена товара 1 возрастает до 2. Каковы компенсирующая и эквивалентная вариации дохода?

Нам известно, что функции спроса для данной функции полезности Кобба-Дугласа заданы формулами

.

Воспользовавшись этими формулами, мы увидим, что спрос потребителя изменяется с до .

Рис. 14.5 Излишек производителя. Чистый излишек производителя есть площадь треугольника слева от кривой предложения на рис. А, а изменение излишка производителя есть площадь трапеции на рис. В.

Чтобы подсчитать компенсирующую вариацию дохода, мы спрашиваем, сколько денег понадобится потребителю, чтобы при ценах (2,1) его благосостояние было точно таким же, как и при потреблении набора (50,50)? Если цены равны (2,1) и потребитель имеет доход m, мы можем подставить эти значения в функцию спроса и найти, что в оптимуме потребитель выбрал бы набор (m/4,m/2). Приравняв полезность этого набора к полезности набора (50,50), мы получаем

.

Решив это уравнение для m, получаем

.

Следовательно, потребителю потребовалось бы добавить примерно 141 — 100=41$ после изменения цены, чтобы его благосостояние стало точно таким же, как до изменения цены.

Чтобы подсчитать эквивалентную вариацию дохода, мы спрашиваем, сколько денег при ценах (1,1) потребовалось бы, чтобы благосостояние потребителя стало таким же, как если бы он потреблял набор (25,50). Обозначив эту сумму денег буквой m и следуя той же логике, что и ранее, получаем

.

Решив данное уравнение для m, получаем

.

Таким образом, если бы потребитель при исходных ценах имел доход в 70 долл., его благосостояние было бы точно таким же, как при новых ценах и доходе в 100 долл. Эквивалентная вариация дохода составляет, следовательно, примерно 100-70=30$.

ПРИМЕР: Компенсирующая и эквивалентная вариации дохода для случая квазилинейных предпочтений

Предположим, что потребитель имеет квазилинейную функцию полезности . Нам известно, что в этом случае спрос на товар 1 зависит только от цены товара 1, поэтому мы записываем его как . Предположим, что цена меняется от до . Чему равны компенсирующая и эквивалентная вариации дохода?

При цене потребитель выбирает и имеет полезность . При цене потребитель выбирает и имеет полезность .

Пусть C — компенсирующая вариация дохода. Это — та дополнительная сумма денег, которая потребовалась бы потребителю после изменения цены, чтобы его благосостояние стало таким же, каким оно было до изменения цены. Приравняв эти полезности, мы получаем

.

Решив это уравнение для C, получаем

.

Пусть E — эквивалентная вариация дохода. Это — та сумма денег, которую можно было бы отобрать у потребителя до изменения цены, чтобы оставить его с такой же полезностью, которая будет у него после изменения цены. Следовательно, эта величина должна удовлетворять уравнению

.

Решив это уравнение для E, мы получаем

.

Обратите внимание на то, что в случае квазилинейной функции полезности компенсирующая и эквивалентная вариации дохода одинаковы. Более того, обе они равны изменению излишка потребителя (чистого):

.

Излишек производителя

Кривая спроса показывает величину спроса при каждой цене; кривая предложения показывает величину предложения при каждой цене. Подобно тому, как площадь под кривой спроса измеряет излишек для покупателей товара, площадь над кривой предложения измеряет излишек для поставщиков товара.

Мы назвали площадь под кривой спроса излишком потребителя. По аналогии, площадь над кривой спроса известна как излишек производителя. Термины "излишек потребителя" и "излишек производителя" в какой-то степени вводят в заблуждение, так как то, кто именно осуществляет потребление и кто именно осуществляет производство, значения, на самом деле, не имеет. Лучше было бы пользоваться терминами "излишек покупателя" и "излишек поставщика", но мы склонимся перед традицией и будем пользоваться стандартной терминологией.

Предположим, что перед нами — кривая предложения товара. Эта кривая показывает просто количество товара, которое будет поставлено на рынок при каждой возможной цене. Товар может быть поставлен индивидом, который им владеет, или же фирмой, производящей данный товар. Мы примем последнее истолкование, с тем, чтобы не отходить от традиционной терминологии и представить на рис.14.6 кривую предложения производителя. Если производитель может продать на рынке единиц своего продукта по цене , то каков его излишек?

Удобнее всего проводить анализ с позиций обратной кривой предложения производителя, . Эта функция показывает, какова должна быть цена, чтобы побудить производителя поставить на рынок x единиц товара.

Рис.14.6 Излишек производителя. Чистый излишек производителя есть площадь треугольника слева от кривой предложения на рис.A, а изменение излишка производителя есть площадь трапеции на рис.B.

Задумайтесь над тем, что представляет собой обратная кривая предложения для дискретного товара. В этом случае производитель готов предложить первую единицу товара за цену , но фактически получает за нее рыночную цену . Аналогичным образом, он готов продать вторую единицу товара за цену , но получает за нее . Продолжая рассуждать подобным образом, мы видим, что производитель как раз готов будет продать последнюю единицу товара за цену .

Разность между той минимальной суммой, за которую он был бы готов продать единиц товара, и той суммой, за которую он фактически продает это количество единиц товара, и образует чистый излишек производителя. Это — площадь треугольника, представленная на рис.14.6A.

Как и в случае излишка потребителя, мы можем спросить, как изменяется излишек производителя при возрастании цены с до . Вообще, излишек производителя есть разность площадей двух треугольников и поэтому, как правило, имеет примерную форму трапеции, изображенную на рис.14.6B. Как и в случае излишка потребителя, эта трапециевидная область будет состоять из прямоугольной области R и примерно треугольной области T. Площадь прямоугольника измеряет выигрыш от продажи тех единиц товара, которые раньше продавались по , по более высокой цене . Площадь примерно треугольной формы измеряет выигрыш от продажи дополнительных единиц товара по цене . Это аналогично изменению излишка потребителя, рассмотренному ранее.

Хотя изменение этого рода принято называть возрастанием излишка производителя, в более глубоком смысле оно представляет собой, на самом деле, возрастание излишка потребителя, достающееся тем потребителям, которые владеют фирмой, породившей данную кривую предложения. Излишек производителя тесно связан с идеей прибыли, но, прежде чем раскрыть эту взаимосвязь, нам придется подождать, пока мы не изучим поведение фирмы более детально.

Подсчет выигрышей и потерь

Имея оценки кривых рыночного спроса и предложения для данного товара, нетрудно, в принципе, подсчитать потерю излишка потребителей, вызванную изменениями правительственной политики. Предположим, например, что правительство принимает решение об изменении налогообложения какого-нибудь товара. Это приведет к изменению цен для потребителей и поэтому к изменению количества товара, которое они захотят потреблять. Можно подсчитать излишек потребителей, связанный с различными предложениями в отношении налогообложения, и увидеть, какого рода налоговые реформы вызывают наименьшую его потерю.

Эта информация часто может быть полезной для вынесения суждений о различных методах налогообложения, но она страдает двумя недостатками. Во-первых, как мы указывали ранее, подсчет излишка потребителя имеет силу только для особых видов предпочтений — а именно, предпочтений, которые можно представить с помощью квазилинейной функции полезности. Как мы утверждали ранее, функция полезности этого рода может быть разумным приближенным описанием предпочтений для тех товаров, для которых изменения дохода ведут к малым изменениям спроса, однако, для товаров, потребление которых тесно связано с доходом, использование излишка потребителей может быть непригодным.

Во-вторых, при подсчете этой потери фактически смешиваются все потребители и продавцы и рождается оценка "издержек" социальной политики для некоего мифического "представительного потребителя". Во многих случаях желательно знать не только то, каковы средние издержки социальной политики для населения, но и то. кто именно несет эти издержки. Политический успех или провал экономической политики того или иного рода часто в большей степени зависит от распределения выигрышей и потерь, нежели от величины среднего выигрыша или потери.

Возможно, излишек потребителя и нетрудно подсчитать, но мы видели, что ненамного труднее подсчитать и истинную компенисирующую или эквивалентную вариацию дохода, связанную с изменением цены. Имея оценки функций спроса для каждого домохозяйства — или, по крайней мере, функций спроса для выборки представительных домохозяйств — мы можем количественно оценить воздействие изменений в политике на каждое домохозяйство с помощью компенсирующей или эквивалентной вариации дохода. Таким образом, мы получим меру "выгод" или "издержек" предлагаемых изменений в политике или "издержек", налагаемых ими, для каждого домохозяйства.

Мервин Кинг, экономист Лондонской школы экономики, привел удачный пример данного подхода к исследованию последствий реформы налогообложения жилищных услуг в Великобритании в своей статье "Анализ воздействия налоговых реформ на благосостояние с использованием данных по домохозяйствам", опубликованной в 1983 г. в журнале "Джернл оф паблик экономикс".

Сначала Кинг исследовал расходы на жилищные услуги по 5895 домохозяйствам и вывел оценочную функцию спроса, которая точнее всего описывала покупку ими жилищных услуг. Затем он применил эту функцию спроса, чтобы определить функцию полезности для каждого домохозяйства. И наконец, он применил оценочную функцию полезности для посчета того, сколько выиграет или потеряет каждое домохозяйство от определенных изменений в налогообложении жилищных услуг в Великобритании. При этом им использовалась мера, сходная с эквивалентной вариацией дохода, описанной ранее в настоящей главе. Суть изучавшейся им налоговой реформы сводилась к отмене налоговых скидок на проживание владельцев в принадлежащих им домах и к увеличению арендной платы за проживание в муниципальных домах. Выручка, полученная в результате этих изменений, подлежала возврату домохозяйствам в форме безвозмездных социальных выплат, пропорциональных доходу домохозяйства.

Кинг установил, что для 4888 из 5895 домохозяйств такого рода реформа оказалась бы выгодной. Что более важно, он смог точно идентифицировать те домохозяйства, которые понесли бы от данной налоговой реформы существенный урон. Кинг обнаружил, например, что от реформы выигрывало 94 процента домохозяйств с наивысшим доходом и лишь 58 процентов домохозяйств с самым низким доходом. Информация этого рода позволяла принять специальные меры, которые могли бы помочь разработать налоговую реформу таким образом, чтобы при этом удовлетворялись поставленные цели распределения социальных выгод от нее.

Краткие выводы

1. В случае дискретного товара и квазилинейной функции полезности полезность, связываемая с потреблением n единиц дискретного товара, есть просто сумма первых n резервных цен.

2. Эта сумма представляет собой валовую выручку от потребления данного товара. Вычтя из нее сумму, затраченную на покупку товара, мы получаем излишек потребителя.

3. Изменение излишка потребителя, связываемое с изменением цены, представлено площадью, по форме близкой к трапеции. Его можно трактовать как изменение полезности, связываемое с изменением цены.

4. В общем случае, для измерения в денежных единицах воздействия изменения цены на полезность можно использовать компенсирующую и эквивалентную вариации дохода.

5. При квазилинейной функции полезности компенсирующая вариация дохода, эквивалентная вариация дохода и изменение излишка потребителя равны между собой. Даже если функция полезности не является квазилинейной, изменение излишка потребителя может служить неплохой приблизительной мерой влияния изменения цены на полезность, получаемую потребителем.

6. При изучении поведения со стороны предложения мы можем определить излишек производителя как меру чистой выгоды для поставщика от производства данного объема продукции.

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

1. Предположим, что кривая спроса задана функцией D(p)=10-p. Какова валовая выгода от потребления 6 единиц товара?

2. Чему будет равно изменение излишка потребителя, если в приведенном выше примере цена изменится с 4 до 6?

3. Предположим, что потребитель потребляет 10 единиц дискретного товара и что цена товара возрастает с 5 до 6 долл. за единицу. Однако, после того, как произошло изменение цены, потребитель продолжает потреблять 10 единиц дискретного товара. Какова потеря излишка потребителя от данного изменения цены?

ПРИЛОЖЕНИЕ

Обратимся к некоторым примерам использования дифференциального исчисления для строгого подсчета излишка потребителя. Начнем с задачи нахождения максимума квазилинейной функции полезности:

max v(x)+y

x,y

при px+y=m.

После подстановки из бюджетного ограничения выражения для y получаем

max v(x)+m-px.

x

Условие первого порядка для данной задачи имеет вид

.

Это означает, что обратная функция спроса p(x) определяется уравнением

(14.2)

Обратите внимание на аналогию с описанным в тексте решением подобной задачи для случая дискретного товара: цена, при которой потребитель как раз готов потребить x единиц товара, равна предельной полезности.

Однако, поскольку обратная функция спроса дает нам величину производной функции полезности, чтобы найти функцию полезности, можно просто проинтегрировать обратную функцию спроса.

Производя интегрирование, мы получаем:

.

Следовательно, полезность, связываемая с потреблением товара x, есть не что иное как площадь под кривой спроса.

ПРИМЕР: Несколько функций спроса

Предположим, что функция спроса линейна, так что x(p)=a-bp. Тогда изменение излишка потребителя при движении цены от p до q задано выражением

.

Другая широко используемая функция спроса, которую мы более детально изучим в следующей главе, имеет вид , где и A — некая положительная константа. При изменении цены от p до q связанное с этим изменение излишка потребителя составляет

,

для .

При эта функция спроса имеет вид x(p)=A/p,что очень похоже на хорошо известную нам функцию спроса Кобба-Дугласа, x(p)=am/p. Изменение излишка потребителя для функции спроса Кобба-Дугласа есть

.

Табл.14.1 Сравнение CV, CS и EV.

	CV	CS	EV
	0,00	0,00	0,00
	7,18	6,93	6,70
	11,61	10,99	10,40
	14,87	13,86	12,94
	17,46	16,09	14,87

ПРИМЕР: CV, EV и излишек потребителя

В тексте нами были подсчитаны компенсирующие и эквивалентные вариации дохода для функции полезности Кобба-Дугласа. В предыдущем примере мы подсчитали изменение излишка потребителя для функции полезности Кобба-Дугласа. Здесь мы сравниваем между собой эти три денежных меры влияния, оказываемого на полезность изменением цены.

Допустим, что цена товара 1 изменяется от 1 до 2, 3 и т.д., в то время как цена товара 2 остается без изменений на уровне 1, а величина дохода неизменна и равна 100. В табл.14.1 показаны эквивалентная вариация дохода (EV), компенсирующая вариация дохода (CV) и изменение излишка потребителя (CS) для функции полезности Кобба-Дугласа .

Обратите внимание на то, что величина изменения излишка потребителя всегда находится между величинами CV и EV и что разница между этими тремя числами относительно мала. Можно показать, что оба указанных факта наблюдаются при достаточно общих условиях.

Глава 15 - РЫНОЧНЫЙ СПРОС

В предыдущих главах мы показали, как моделировать индивидуальный потребительский выбор. Здесь же мы объясним, как складывать результаты индивидуального выбора, чтобы получить общий рыночный спрос. Когда мы выведем кривую рыночного спроса, то обратимся к изучению ряда ее свойств, таких, как взаимосвязь между спросом и доходом.