Динамическая задача управления производством и запасами

Предприятие производит партиями некоторые изделия. Предположим, что оно получило заказы на n месяцев. Размеры заказов значительно меняются от месяца к месяцу. Поэтому иногда лучше выполнять одной партией заказы нескольких месяцев, а затем хранить изделия, пока они не потребуются, чем выполнять заказ в тот именно месяц, когда этот заказ должен быть отправлен. Необходимо составить план производства на указанные n месяцев с учетом затрат на производство и хранение изделий. Обозначим:

xj - число изделий, производимых в j -й месяц;

yj - величина запаса к началу j го месяца (это число не содержит изделий, произведенных в j -м месяце);

dj - число изделий, которые должны быть отгружены в j -й месяц;

fj (xj,yj+1) - затраты на хранение и производство изделий в j -м месяце.

Будем считать, что величины запасов к началу первого месяца y1 и к концу последнего yn+1 заданы.

Задача состоит в том, чтобы найти план производства (x1, x2, ..., xn)

Динамическая задача управления производством и запасами - student2.ru компоненты которого удовлетворяют условиям материального баланса

xj + yj - dj = yj+1 j = 1,n

и минимизируют суммарные затраты за весь планируемый период

Динамическая задача управления производством и запасами - student2.ru

Пусть спрос (заявки) потребителей на нашу продукцию составляют: на первый этап d1=3 единицы, на второй – d2=2, на третий - d3=4 единицы. К началу первого этапа на складе имеется только 2 единицы продукции, т.е. начальный уровень запаса равен y1=2. Затраты на хранение единицы продукции на разных этапах различны и составляют соответственно h1=5, h2=4, h3=0. Затраты на производство xj единиц продукции на j-м этапе определяются функцией

jj(xj) = 4xj2 + 5xj Динамическая задача управления производством и запасами - student2.ru , т.е. а=4; b=5; с=0.

Требуется указать, сколько единиц продукции на отдельных этапах следует производить, чтобы заявки потребителей были удовлетворены, а наши общие затраты на производство и хранение за все три этапа были наименьшими.

Исходные данные задачи можно кратко записать одной строкой:

d1 d2 d3 a b c h1 h2 h3 y1

3 2 1 4 5 0 5 4 0 2

Воспользовавшись рекуррентными соотношениями, последовательно вычисляем F1 (x = y2), F2 (x = y3), ..., Fk (x = yk+1), ... и соответственно находим

Динамическая задача управления производством и запасами - student2.ru 1 (x= y2), Динамическая задача управления производством и запасами - student2.ru 2 (x = y3 ), ..., ` Динамическая задача управления производством и запасами - student2.ru k (x = yk+1), ...

Положим k = 1. Тогда Динамическая задача управления производством и запасами - student2.ru

Параметр состояния x = у2 может принимать целые значения на отрезке

0 Динамическая задача управления производством и запасами - student2.ru у2 Динамическая задача управления производством и запасами - student2.ru d2 + d3 0 Динамическая задача управления производством и запасами - student2.ru y2 Динамическая задача управления производством и запасами - student2.ru 2 + 1 т.е. у2 = 0, 1, 2, 3.

При этом каждому значению параметра состояния должна отвечать определенная область изменения переменной x1, 0 Динамическая задача управления производством и запасами - student2.ru х1 Динамическая задача управления производством и запасами - student2.ru 3 + у2

Однако, на первом этапе объем производства х1 не может быть меньше единицы, так как спрос d1 = 3, а исходный запас у1 = 2. Более того, из балансового уравнения х1 + у1 - d1 = у2 непосредственно следует, что объем производства связан со значением параметра состояния x= у2 соотношением x1 = y2 + d1 - y1 = y2 + 3 - 2 = y2 +1

Если задан уровень запаса к началу первого этапа, то каждому значению у2 отвечает единственное значение х1 и потому F1(x = y2) = W1 (x1, y2)

Придавая у2 различные целые значения от 0 до 3, находим

y2 = 0, x1 = 0+1 = 1, W1 (1;0) = 4×12 + 5×1 + 1×0 = 10

y2 = 1, x1 = 1+1 = 2, W1 (2;1) = 4×22 + 5×2 + 1×1 = 27

y2 = 2, x1 = 2+1 = 3, W1 (3;2) = 4×32 + 5×3 + 1×2 = 53

y2 = 3, x1 = 3+1 = 4, W1 (4;3) = 4×42 + 5×4 + 1×3 = 87

Переходим ко второму этапу. Полагаем k = 2 и табулируем функцию F2(x = y3)

Динамическая задача управления производством и запасами - student2.ru

Здесь минимум берется по единственной переменной х2, которая может изменяться в пределах 0 £ x2 £ d2 + y3 или 0 £ x2 £ 2 + y3, где верхняя граница зависит от параметра состояния x = у3, который принимает значения на отрезке 0 £ y3 £ d3 , т.е. 0 £ y3 £ 1,

а аргумент у2 связан с х2 и у3 балансовым уравнением x2 + y2 - d2 = y3 ,

откуда следует y2 = y3 + d2 - x2 = y3 + 2 - x2

Придавая параметру состояния значения 0 и 1, будем последовательно вычислять W2 (x2, x), а затем определять F2(x ) и Динамическая задача управления производством и запасами - student2.ru 2(x ).

Пусть x = у3 = 0. Тогда 0 £ x2 £ 2, т.е. переменная х2 может принимать значения: 0, 1, 2, а каждому значению х2 отвечает определенное значение у2, вычисляемое по формуле у2 = 0 + 2 - х2

Последовательно находим:

если x2 = 0, то y2 = 2 – 0 = 2, W2 (0,0) = 4×02 + 5×0 + F1(2) = 53,

x2 = 1, y2 = 2 – 1 = 1, W2 (1,0) = 4×12 + 5×1 + F1(1) = 9 + 27 = 36,

x2 = 2, y2 = 2 – 2 = 0, W2 (2,0) = 4×22 + 5×2 + F1(0) = 26 + 10 = 36,

Наименьшее из полученных значений W2 есть F2 (0), т.е.

F2 (x = y3 = 0) = min W2 (x2,0) = min (53, 36, 36) = 36,

x2

причем минимум достигается при двух значениях х2, равных ` Динамическая задача управления производством и запасами - student2.ru 2 (x = y3 = 0) = 1 или 2.

Пусть x = у3 = 1. Тогда 0 £ x2 £ 3, т.е. переменная х2 может принимать значения: 0, 1, 2, 3.

Последовательно находим:

если x2 = 0, то y2 = 3 – 0 = 3, W2 (0,1) = 4×02 + 5×0 + 4×1 + F1(3) = 4 + 87,

x2 = 1, y2 = 3 – 1 = 2, W2 (1,1) = 4×12 + 5×1 + 4×1 + F1(2) = 13 + 53 = 66,

x2 = 2, y2 = 3 – 2 = 1, W2 (2,1) = 4×22 + 5×2 + 4×1 + F1(1) = 30 + 27 = 57,

x2 = 3, y2 = 3 – 3 = 0, W2 (3,1) = 4×32 + 5×3 + 4×1 + F1(0) = 51 + 10 = 61

Наименьшее из полученных значений W2 есть F2 (1), т.е.

F2 (x = y3 = 1) = min W2 (x2,1) = min (87, 66, 57, 61) = 57,

x2

причем минимум достигается при значении х2, равном ` Динамическая задача управления производством и запасами - student2.ru 2 (x = y3 = 1) = 2.

Переходим к следующему этапу. Полагаем k=3 и табулируем функцию F3 (x = y4):

Динамическая задача управления производством и запасами - student2.ru

Вычисляем значение функции состояния только для одного значения аргумента x = у4 = 0, так как не хотим оставлять продукцию в запас в конце исследуемого периода.

0 £ x3 £ d3 + y4 или 0 £ x3 £ 1 + y4, 0 £ x3 £ 1 , y3 = y4 + d3 – x3 = 1 – x3

Пусть x3 = 0, y3 = 1 – 0 = 1: W3 (0,0) = 4×02 + 5×0 + F2(1) = 36,

x3 = 1, y3 = 1 – 1 = 0, W3 (1,0) = 4×12 + 5×1 + F2(0) = 9 + 36 = 45,

Получаем F3 (x = y4 =0) = min W3 (x3,0) = min (36, 45) = 36, минимум достигается при значении переменной х3, равной ` Динамическая задача управления производством и запасами - student2.ru 3 (x = y4 = 0) = 0.

Таким образом, мы получили не только минимальные общие затраты на производство и хранение продукции, но и последнюю компоненту оптимального решения. Она равна Динамическая задача управления производством и запасами - student2.ru = 0.

Чтобы найти предпоследнюю компоненту, учтем, что х3 + у3 - d3 = y4 или 0 + у3 - 1 = 0,

oткуда у3 = 1. Находим Динамическая задача управления производством и запасами - student2.ru

Учитывая, что x2 + y2 – d2 = y3 или 0 + y2 – 2 = 1, y2 = 3 , Динамическая задача управления производством и запасами - student2.ru

Таким образом, оптимальный план производства имеет вид х1 = 4, х2 = 0, х3 = 0, а минимальные общие

затраты составляют 36 единиц.

Полезна самопроверка полученного результата. Для этого по исходным данным и найденному плану производства заполняем таблицу 5 и убеждаемся, что заявки потребителей на каждом этапе выполняются

у1 + х1 ³ d1 у2 + х2 ³ d2 у3 + х3 ³ d3

2 + 4 ³ 3 3 + 0 ³ 2 1 + 0 ³ 1

и что суммарный объем производства и имевшегося к началу первого этапа запаса продукции равен суммарной потребности

у1 + х1 + х2 + х3 = d1 + d2 + d3

2 + 4 + 0 + 0 = 3 + 2 + 1

Наши рекомендации