Обобщенный E-критерий Титьена-Мура.

Применяется при предположении, что выбросы распределены симметрично в нижней и верхней частях вариационного ряда .

· расчет среднего для всей выборки

· расчет отклонений

· ряд упорядочиваем по значению . Полученный ряд обозначим , ,

· расчет среднего усеченного по k нетипичным значениям

· расчет статистики критерия

Полученное значение сравнивается с критическим значением аналогично критерию Граббса.

2. Устойчивое оценивание

Если предварительный анализ указывает на наличие грубых ошибок в выборке, то далее возможны два подхода: исключить объекты с грубыми ошибками или модифицировать их.

В многомерном случае устранение объекта из исследуемой совокупности зачастую неприемлемо. При этом может возникнуть необходимость определить устойчивые усеченные интегральные характеристики (мат. ожидания и т.д.). Для этого используют следующие методы:

1. Метод Пуанкаре расчета устойчивого среднего (режет распределение с двух сторон, т.к. 2k).

Это пример наиболее простого варианта устойчивого оценивания статистических характеристик, путем оценки по усеченной совокупности данных, в которой устранены грубые выбросы.

,

где k - число грубых ошибок, равное целой части от (т.е. k=[ ;

n - объем совокупности;

- специальный параметр, зависящий от теоретической частоты e ошибочных данных. Например, если по предыдущему опыту известно, что 1% данных ненадежен, то е принимается равным 1%. Значение при выбранном уровне е можно определить по таблице.

2. Метод Винзора.

Получаем не усеченное, а новое математическое ожидание. Применяется к симметричным распределениям. По сути метод Винзора в одномерном случае заключается в замене первых k значений вариационного ряда на , последних – на .

Устойчивое среднее значение по Винзору определяется по следующей формуле:

где k вычисляется таким же образом как в методе Пуанкаре.

Метод Хубера.

Последовательное приближение ϴjустойчивого среднего до тех пор, пока знач-я ϴj не перестанут существенно меняться.

На кажд шаге рассчитыв-ся:

-D - это max допустимое расстояние от центра выборки, нормир. на СКО;

-n+ это число наблюдений в интервале (ϴj+D*сигма; беск);

-n-это число наблюдений в интервале (-беск; ϴj-D*сигма);

-ϴj+1 - j+1 итерация уст. среднего.

Равно 1/n(сумм (xi) + (n+ - n-)*D*сигма)

Критерий Хоттелинга

В случае многомерного засорения данных, когда выбросами являются не отдельные значения признаков, а векторы можно использовать для проверки значения вектора xна нетипичность:

где n – количество объектов;

m – количество признаков;

x – нетипичный вектор;

S – ковариационно-дисперсионная матрица.

, где F – квантиль F-распределения

ЕслиТ>T_табл, то вектор признается аномальным.

Вопрос 30. Основные понятия системного анализа. Свойств систем. Особенности сложных систем. Классификация методов моделирования. Иерархия моделей. Методы формализоанногопредсавления систем.

1. Основные понятия.

Системныйанализ – теория, задачей к-й явл-ся описание сложных организационных систем, выявление закономерностей их развития и построение теории и практических методов для решения задач управления.

Система – это совокупность элементов, объединённых общей функциональной средой и целью функционирования.

К основным особенностям систем можно отнести:

Ø Система обладает новыми свойствами по сравнению с элементами

Ø Системы обладают свойствами оптимальности, то есть проектируется по критериям оптимальности

Ø Система создаётся для достижения какой-то цели

Элемент системы – это условно неделимая самостоятельно функционирующая часть системы.

Подсистема – это синоним термина «компонент системы», только данный компонент сам рассматривается как сложная система.

Структура системы – это совокупность связей, по которым обеспечивается энерго-, массо-, инфо- обмен между элементами системы, определяющая функционирование системы в целом и способа её взаимодействия с внешней средой.

2. свойства системы

· Эмерджентность (целостность) – Наличие у системы свойств, не присущих ее подсистемам, эл-там, сумм эл-тов, не связанных особыми системообразующими связями.

· Взаимосвязь среды и системы следует считать одним из основных свойств в значительной степени определяющих её внутренние характеристики. По степени взаимодействия с внешней средой различают открытые и закрытые системы.

· Информационное взаимодействие элементов. Оно необходимо для того, чтобы реализовывалось функциональное предназначение системы.

· Иерархичность предполагает существование в системе нескольких уровней, подчинённых по нисходящей со своими законами, ресурсами и локальными целями.

· Наличие обратных связей и использование их для саморегулирования. Обратная связь предполагает информационное взаимодействие выхода и входа системы. Часть выходной информации возвращается на её вход и используется для выработки управленческих воздействий.

· Эквифинальность отражает предельные возможности системы У каждой системы есть некоторое предельное состояние и предельный уровень, к которому она стремится, независимо от начальных условий. Так эквифинальность промышленного предприятия определяется производственными мощностями.

· Адаптивность

· Разнообразие эл-тов

3. Понятие сложной системы

Она строится для решения многоцелевой и многоаспектной задачи.

признаки:

Ø Неопределённость и большое число элементов

Ø Эмерджентность

Ø Иерархия

Ø Агрегатирование – объединение нескольких параметров системы в параметры более высокого уровня

Ø Многофункциональность – это способность сложной системы к реализации множества функций на заданной структуре

Ø Гибкость – способность системы изменять цель функционирования в зависимости от условий функционирования и состояния подсистем

Ø Адаптация – изменение целей функционирования при изменении условий функционирования

Ø Надежность – это свойство системы реализовывать заданные функции в течение определённого времени, заданными параметрами качества

Ø Безопасность –способность не наносить недопустимые воздействия техническим объектам, персоналу и среде

Ø Стойкость–свойство выполнять свои функции при выходе параметров среды за определённые допуски

Ø Уязвимость – способность получать повреждения при воздействии внешних и внутренних факторов

Ø Живучесть – способность изменять цели функционирования при отказе или повреждении элементов системы

Характеризуютсябольшим числом элементов и связей между ними, причём, как число элементов, так и сила межэлементных связей, их локализация могут неконтролируемо изменяться, что делает поведение таких систем непредсказуемым.

Свойства сложных систем:

Ø Скачкообразное изменение поведения при переходе из одного состояния в другое

Ø Для характеристики сложной системы достаточно оценить некоторую группу её свойств, называемых системообразующими факторами. Эти количественные оценки и будут интегральными показателями основных наиболее важных свойств системы, характеризующих её состояние

Ø Изменение состояния системы происходит закономерно. Новое состояние зависит от её текущего состояния и от приложенных к системе внешних воздействий

4. Методы моделирования.

· Качественные

-мозговой штурм;

-сценарный;

-Дельфи;

-морфологический (находить все мыслимые варианты решения проблемы путём комбинирования выделенных элементов или их признаков);

-дерево целей.

· Количественные (формализованного представления)

-аналитические;

-статистические;

-теор-множественные;

-логические;

-графические;

-дерево решений;

5. Иерархия моделей (проблема принятия решений)

В идеальном случае для принятия решения необходимо получить выражение, связывающее цель системы со средствами её достижения. Это выражение представляет собой закон, позволяющий оценить эффективность пути движения к цели.

Если такой закон известен, то он прописывается в аналитической модели. В такой ситуации говорят, что задача разрешима.

Если закон неизвестен, то стараются установить корреляционную зависимость между критерием и ключевыми факторами функционирования системы. Это осуществляется в рамках эконометрической модели.

Если и это не удаётся, то разрабатывается теория, которая содержит утверждения и правила, позволяющие сформулировать концепцию, то есть построить концептуальную модель, и на этой основе сконструировать механизм принятия решений (пример – электрон (частица/волна)).

Если и это не удаётся, то выдвигается гипотеза, и на её основе создаётся имитационная модель, с помощью которой исследуются возможные варианты решений.

Вопрос 31. Постановка классической задачи вариационного исчисления (задача Лагранжа)

Классическая задача ВИ:среди множества функций времени – фазовых траекторий, соединяющих две фиксированные точки, соответствующие начальному и конечному моментам времени, требуется выбрать функцию, максимизирующую некоторый интеграл от заданной функции, которая зависит от фазовой координаты и времени.

Рассмотрим функционал V[y]= ,

Где - дважды непрерывно дифференцируемая функция.

Граничные точки допустимых кривых закреплены: y (а) = А, у(b) = В.

Задача: сре­ди всех функций у(x), имеющих непрерывную производную у(х)𝝐 С¹ [а,b] и удовлетворяющих условиям, найти ту, которая достав­ляет экстремум функционалу. Эту задачу называют также задачей с закрепленными границами. Любую траекторию у(х) называют допустимой, если она удовлетворяет граничным условиям и: y(x) – непрерывная, а y’ (x) – кусочно-непрерывная.

Пусть кривая у = (х), реализующая экстремум функцио­нала, имеет вторую непрерывную производную, т.е. у(х)𝝐 С²[а,b]. Для того, чтобы функционал, определенный на множестве кривых у(х)𝝐С²[а, b], удовлетворяю­щих граничным условиям, дости­гал экстремума на кривой (х)𝝐С²[а, b], необходимо, чтобы эта кривая удовлетворяла условиям:

1. уравнению Эйлера:аналогия обращения в ноль производной

обозн –первая произв. по y

-1япроизв-я по y’

F_y’y' - 2япроизв-я по y’

его решения – «экстремали».

Уравнение Эйлера полностью: y" F_y’y' + у' F_yy' + F_xy' — Fy= 0.

Задача может иметь единственное решение, может иметь множество, может не иметь ни одного.

2. УсловиюЛежандра: необх. усл-е 2 го порядка

Решение у(х) должно удовлусл-ю F_y’y'<=0

3. УсловиюВейерштрасса: аналогия усл-ю вогнутости целев ф-ции

Пусть z(x) – любое другое допуст решение.

Тогда E( где E(

4. УсловиюВейерштрасса-Эрдмананет аналогийтк завис от времени

Для точки излома допустимой траектории

и (F- непрерывны в точках излома y’(t)