Дисконтирование денежных потоков

Рассмотрим процесс накопления денежных средств на примере банковских депозитов.Если по условию договора проценты выплачиваются непосредственно инвестору, а не прибавляются к исходной сумме вложения, то такой вариант называется размещением средств под простой процент.Если проценты прибавляются к исходной сумме в конце каждого периода времени (например, года), то такой метод начисления процентов называется сложным процентом. Далее будет рассматриваться только использование сложного процента.

Обозначим:

P – начальный капитал, положенный в банк;

r – годовая процентная ставка банка;

S – наращенная сумма.

Пусть начисление процентов (капитализация) выполняется в конце каждого года. Тогда в конце первого года наращенная сумма составит:

.

Если эта сумма остается в банке, то в конце следующего года наращенная сумма составит:

.

В общем случае сумма, наращенная за n лет, рассчитывается по формуле:

. (9.1)

В течение года проценты могут начисляться несколько раз, тогда наращенная сумма будет увеличиваться. Время между двумя последовательными начислениями процента называется периодом капитализации процента.

Пусть по условию договора с банком годовая процентная ставка составляет r, а проценты капитализируются m раз в течение года. Эффективной процентной ставкой банка для периода капитализации называется процент, нарастающий в течение одного периода капитализации, который определяется по формуле:

(9.2)

Если срок депозита составляет l периодов капитализации, то формулу (9.1) вычисления наращенной суммы можно обобщить следующим образом:

. (9.3)

Пример 9.1.Номинальная годовая процентная ставка банка равна 15%, первоначальный капитал – 1000 ден. ед., срок депозита – 2 года. Определите наращенную сумму для двух случаев: a) проценты начисляются в конце года; b) проценты начисляются ежемесячно.

Решение. По условию r = 0,15, P = 1000 ден.ед., n = 2 года.

a) Если проценты начисляются ежегодно, используем формулу (9.1):

ден.ед.

b) В случае ежемесячного начисления процентов m=12. Рассчитаем сначала эффективную процентную ставку для периода капитализации (месяца):

.

Число периодов капитализации . Используем общую формулу начисления сложного процента (9.3):

ден.ед.

Таким образом, при более частом начислении процентов сумма нарастает быстрее, что более выгодно для вкладчика.

На основании формулы (9.3) можно также найти, какой начальный капитал нужно положить в банк, чтобы наращенная за l периодов капитализации сумма составила заданную величину S. Такой начальный капитал называется текущей (приведенной) стоимостью суммы S и обозначается PV:

. (9.4)

Процесс нахождения текущей стоимости называется дисконтированием.

Пример 9.2. Годовая процентная ставка банка составляет 12%. Какую сумму нужно положить в банк, чтобы наращенная за пять лет сумма составила 1000 ден. единиц? Рассмотреть два случая:

а) проценты капитализируются в конце года;

б) проценты капитализируются поквартально.

Решение. По условию r=0,12; n=5; S=1000. Для случая а) период капитализации равен одному году, поэтому , число периодов капитализации равно числу лет . Используя формулу (9.4), получаем:

.

Для случая б) период капитализации равен одному кварталу (m=4). Рассчитаем эффективную процентную ставку для квартала:

.

Срок депозита выразим в кварталах: кварталов. Тогда по формуле (9.4) получим:

ден.ед.

Это значение меньше соответствующего значения, рассчитанного для случая а). Таким образом, если проценты начисляются чаще, то в банк можно положить меньшую сумму для достижения того же результата.