Задачи нелинейного программирования.

Для задач 1–40:

1) составить математическую модель задачи применительно к числовым данным выполняемого варианта;

2) решить полученную задачу с помощью MathCAD как задачу нелинейного программирования;

3) графическим методом решить полученную задачу и сформулировать ответ в экономических терминах в соответствии с условиями задачи.

Формулировка задачи. Предприятие выпускает изделия А и В, при изготовлении которых используется сырьё S₁ и S₂. Известны запасы b_i (i=1,2) сырья, нормы a_ij (j=1,2) его расхода на единицу изделия, плановая себестоимость и оптовые цены р_j. Как только объём выпускаемой продукции перестаёт соответствовать оптимальным размерам предприятия, дальнейшее увеличение выпуска х_j ведёт к повышению себестоимости продукции, и в первом приближении фактическая себестоимость с_j описывается функцией с_j= +с¢х_j, где с¢ – некоторая постоянная величина. При поиске плана выпуска изделий, обеспечивающего предприятию наивысшую прибыль в условиях нарушения баланса между объёмом выпуска и оптимальными размерами предприятия, целевая функция принимает вид

z=(р₁-( +с¢х₁))х₁+(р₂-( +с¢х₂))х₂,

а ограничения по сырью

a₁₁х₁+a₁₂х₂≤b₁,

a₂₁х₁+a₂₂х₂≤b₂,

х₁≥0, х₂≥0

(нормы расхода сырья a_ij от х_j не зависят).

Все необходимые числовые данные указаны в таблице.

Номер задачи	b1	b2	a11	a12	a21	a22	р1	р2			с¢
											0,2
											0,1
											0,1
											0,2
											0,2
											0,1
											0,2
											0,2
											0,3
											0,3
							8,6	5,4		4,6	0,2
	22,5			1,5					2,25	3,25	0,125
											0,2
				8,5						4,5	0,25
									7,4	7,2	0,4
	7,5			0,5		8,5	12,75				0,125
									4,8	5,4	0,2
		82,5	1,6	0,8	5,5	7,5		22,5			0,25
									6,4	11,2	0,4
	37,5			2,5		9,5	15,5	21,75	12,75	18,5	0,125
									3,6	2,8	0,2
	22,5			1,5	6,5			18,5			0,25
									2,6	2,4	0,4
			1,5				6,25	6,25			0,125
								18,6		16,2	0,2
			2,5								0,25
									2,4		0,4
			3,5					2,25		0,5	0,125
							15,6	23,8		22,2	0,2
			4,5								0,25
Номер задачи	b1	b2	a11	a12	a21	a22	р1	р2			с¢
							6,46	9,6	5,6		0,2
		22,5				1,5			4,25	3,25	0,125
			0,5		5,5						0,1
					0,5						0,2
			0,5								0,2
											0,1
									3,8	4,4	0,2
	82,5		5,5	7,5	1,6	0,8				4,5	0,25
									2,4	7,2	0,4
		37,5		9,5		2,5		10,25	7,25		0,125

В задачах 41–50:

дана линейная целевая функция и нелинейная система ограничений. Найти глобальные экстремумы функции.

При этом в №№41–45принять математическую модель задачи вида

L=c₁х₁+c₂х₂,

≤b₁,

х₁≥0, х₂≥0;

в №№46–50– вида

L=c₁х₁+c₂х₂,

х₁х₂≤b₁,

х₁≤b₂,

х₂≤b₃,

х₁≥0, х₂≥0.

Значения коэффициентов целевых функций и систем ограничений приведены в таблице.

Значения	№ задачи
c1			-1		-3			-2		-1
c2			-2		-1			-1		-2
b1
b2	–	–	–	–	–
b3	–	–	–	–	–

В задачах 51–60:

дана нелинейная целевая функция и линейная система ограничений. Найти глобальные экстремумы функции.

Математическая модель задачи:

L=(х₁+а)²+(х₂+b)²,

а₁₁х₁+а₁₂х₂≤b₁,

а₂₁х₁+а₂₂х₂≤b₂,

х₁≥0, х₂≥0.

Значения коэффициентов целевой функции и системы ограничений приведены в таблице.

Значения	№ задачи
а	-5	-6	-1	-2	-3	-1	-3	-2	-2
b	-4	-2	-1	-1	-4	-1	-1	-6	-2	-1
а11
а12	-4		-4
b1	-20		-20
а21
а22									-2	-2
b2									-6	-6

В задачах 61–70:

дана нелинейная целевая функция и нелинейная система ограничений. Найти глобальные экстремумы функции.

При этом в №№61–65принять математическую модель задачи вида

L=(х₁+а)²+(х₂+b)²

х₁х₂≤b₁,

х₁≤b₂,

х₂≤b₃,

х₁≥0, х₂≥0;

в №№66–70– вида

L=(х₁+а)²+(х₂+b)²

≤b₁,

х₁≤b₂,

х₂≤b₃,

х₁≥0, х₂≥0.

Значения коэффициентов целевой функции и системы ограничений приведены в таблице.

Значения	№ задачи
а		-2		-1		-1	-1			-2
b	-1		-2	-1		-2		-1	-2
b1
b2						3,5	4,5	5,5	6,5	2,8
b3						3,5	4,5	5,5	6,5	2,8