Функции спроса. Коэффициент эластичности

В результате решения задач оптимального выбора оказывается возможным проследить связь между изменением систем цен и доходов группы потребителей, с одной стороны, и спросом этой группы на товары и услуги, с другой; и построить, таким образом, функцию оптимального спроса.

В достаточно общей форме оптимальный спрос выражается при помощи функций вида:

.

В ряде случаев функции оптимального спроса имеют особенно простой вид. Так, если функция полезности имеет логарифмический вид, то оптимальный спрос выражается формулой:

, где .

В подавляющем большинстве случаев, однако, конкретная форма функции спроса определяется путем статистической обработки результатов специальных наблюдений за доходами и расходами представителей различных социальных групп. В результате изучения функции спроса обычно устанавливаются некоторые классификационные признаки товаров.

Если для некоего товара выполняется условие:

то товар называется нормальным, так как спрос на него снижается по мере увеличения его цены. Однако существуют товары, спрос на которые повышается, невзирая на повышение цены. Эта парадоксальная ситуация возникает тогда, когда при повышении цены на малоэффективный товар (например, картофель) группа потребителей с низким доходом просто не может приобретать более высококалорийный продукт (мясо) и вынуждена компенсировать нехватку калорий усиленной покупкой картофеля.

Товары, для которых имеет место неравенство:

,

называются аномальными или товарами Гиффина.

При фиксированном доходе и в практических целях для нормальных товаров используются, как правило, функции спроса двух видов:

1) линейная функция спроса

,

где a₀ > 0, a₁ > 0, статистически оцениваемые параметры модели.

2) степенная функция спроса:

.

Во многих прикладных исследованиях значительную роль играет коэффициент эластичности.

Мера реагирования эндогенной переменной на изменение экзогенной переменной называется эластичностью. Однако это определение слишком общее. Конкретнее, эластичность можно определить как предел соотношения между относительным приращением функции y:

(зависимой переменной) и относительным приращение независимой переменной x:

,

когда и обозначается E_x(y).

Таким образом эластичность можно выразить формулой:

при

или в непрерывном случае:

.

Из практических соображений эластичность относят к проценту прироста независимой переменной. В этом случае эластичность показывает, насколько процентов повышается или понижается эндогенная переменнаяY, если независимая переменная X изменяется на 1%.

Различают дуговую эластичность, то есть среднюю на каком-то отрезке кривой, и точечную эластичность – значение производной в заданной точке. Для практического вычисления эластичности используется формула английского математика и экономиста Рой Аллена (1906 – 1983). Он предложил использовать среднюю точку интервала, по которому происходит изменение в качестве знаменателя дроби. Тогда вычисляются:

· относительное изменение эндогенной переменной

;

· относительное изменение экзогенной переменной

.

Затем вычисляется отношение первого ко второму. Необходимо помнить, что формула Аллена, хотя и популярная, но не единственно возможная. Однако ее не следует применять к очень широким интервалам, так как в этом случае она может ввести в заблуждение.

Для определения эластичности спроса от цены можно воспользоваться формулой:

при

или

,

Коэффициент эластичности спроса по цене показывает, на сколько процентов уменьшится (увеличится) спрос, если цена товара увеличится (уменьшится) на 1%.

Для линейной функции спроса принимается, что:

,

где - среднее значение цены, - среднее значение спроса по использованной выборке.

Очевидно, что для cтепенной функции спроса:

.

Если коэффициент эластичности близок к нулю, то спрос на товар практически не зависит от его цены. В этом случае говорят, что спрос неэластичен по цене. Это относится в основном к предметам первой необходимости. Спрос называется нормально эластичным, если E_dp » 1, что имеет место для товаров длительного пользования. Для предметов роскоши обычно E_dp > 1, т.е. спрос является суперэластичным.

При постоянных ценах товары различаются по характеру изменения спроса в зависимости от величины дохода I. Товар j называется ценным (или товаром высшего ряда), если

,

т.е. спрос на него возрастает по мере перехода от менее доходных групп потребителей к более доходным. Для малоценного товара имеет место противоположное неравенство:

,

что означает вытеснение этого товара из потребительского набора группы потребителей по мере увеличения ее категории доходности.

На основе введенной выше классификации товаров по трем группам можно представить изменение спроса в зависимости от повышения дохода при помощи графика, представленного на рис. 5.16.

Рис. 5.16. Изменение спроса в зависимости от дохода

Здесь по горизонтальной оси (I) отложены относительные величины дохода, а по вертикали доли расходов по указанным трем группам товаров.

Нетрудно видеть, что доля спроса на товары первой необходимости падает с 70% (при малых доходах) до 35% (при доходе в 10 раз большем); сравнительно стабильна (в пределах от 20% до 27%) доля расходов на товары второй группы и значительно возрастает доля расходов на предметы роскоши (от 10% до 43%). Для изучения изменения спроса в зависимости от дохода различных потребительских групп применяются в основном модели двух типов:

1) Модели степенного вида (функции Энгеля):

.

Здесь показатель g имеет смысл коэффициента эластичности: т.к. он показывает на сколько процентов увеличится спрос на товар, если доход увеличится на 1%. Коэффициент эластичности спроса от дохода находится как:

при

Для предметов первой необходимости показатель g < 1 , т.е. при увеличении дохода дополнительные затраты на эти товары этой категории, составляют все убывающую долю. Для предметов длительного пользования показатель эластичности g приблизительно равен 1, что означает примерное постоянство доли расходов на эти предметы в дополнительном доходе. Для предметов роскоши показатель эластичности g > 1. Это означает, что при значительном увеличении дохода все большая часть его прироста тратится именно на товары этой группы.

2) Идея разделения потребляемых товаров и услуг на ряд различных групп развита далее при конструировании так называемых функций Торнквиста. Для товаров первой необходимости эта функция ищется в виде:

,

где a₁, b₁ – параметры модели.

Заметим, что при очень большом доходе, условно представляемом как (I®¥) величина спроса , что выражает факт асимптотического насыщения потребителя предметами первой необходимости.

Функция спроса Торнквиста для товаров длительного пользования отражает тот факт, что спрос на эти товары возникает лишь с некоторого (достаточно высокого) уровня дохода I₂. Соответствующее выражение имеет вид:

, если I ³ I₂,

где a₂, b₂ – параметры модели,

, если I < I₂.

Как видно, спрос на товары этой группы также имеет асимптотическую тенденцию к насыщению, поскольку

Для предметов роскоши используется формула, в которой отсутствует тенденция к насыщению, а спрос начинается с еще более высокого уровня дохода I₃:

, если I ³ I₃;

, если I < I₃.

Легко видеть, что при достаточно больших значениях дохода I:

.

Это означает, что в этой ситуации практически весь прирост дохода тратится на предметы роскоши. Графическое изображение функций Энгеля и Торнквиста представлено на рис 5.17. и 5.18.

Pис. 5.17. Кривые Энгеля: рост спроса на различные группы товаров в
зависимости от дохода

Рис. 5.18. Кривые Торнквиста

Графики функций Торнквиста для трех групп товаров.

Изменение цен и компенсация

Проблема компенсации путем увеличения дохода потребителя возникает во всех тех случаях, когда происходит повышение цен на один или несколько потребляемых товаров. При этом возможны различные подходы к решению этой проблемы. Наиболее прямой из них использует понятие функции спроса в достаточно общей форме и опирается на понятие компенсации как на такое увеличение дохода, которое позволяет оставить спрос на товар на том уровне, который определялся прежней ценой. Таким образом, применяется функция спроса

D = D(I, p),

где

I – исходный уровень дохода,

p – исходный уровень цены.

Обозначим новый уровень цены:

,

а компенсирующее изменение дохода

.

Легко видеть, что спрос остается неизменным, если выполняется условие

.

Для нормальных и ценных товаров и , поэтому при повышении цены (Dp>0), для сохранения уровня спроса необходимо увеличение дохода в размере

.

В конкретном случае, когда функция спроса имеет вид:

,

получаем следующее простое соотношение между повышением цены и компенсацией

или .

Это означает, что относительное увеличение дохода должно быть пропорционально относительному изменению цены с коэффициентом пропорциональности, равным отношению эластичностей этих факторов.

В более сложном случае многих товаров указанный подход основан на использовании функций спроса вида:

Повышение цены одного из товаров (например, с номером n) изменяет, вообще говоря, спрос на каждый товар. Если для некоторого товара j имеет место соотношение:

,

т.е. при повышении цены на товар n падает спрос на товар j, то продукты n и j являются взаимодополняющими (например, автомобили и бензин).

Нетрудно видеть, что, если среди перечня товаров имеются взаимодополняющие, то в общем случае невозможно точно решить задачу компенсации путем увеличения дохода.

Если же для товара j справедливо неравенство:

,

т.е. повышение цены на товар «n» вызывает увеличение спроса на товар «j», то они называются взаимозаменяемыми (масло и маргарин). Функция спроса обладает свойством сильной валовой заменимости, если все товары являются взаимозаменяемыми. Нетрудно видеть, что в этом случае повышение цены на один товар приводит к снижению спроса только на этот товар, но увеличивает спрос на все остальные. В этой ситуации для расчета необходимой компенсации можно использовать подход, рассмотренный выше для случая одного товара. Однако при этом получается слишком высокий уровень компенсации, поскольку повысится потребление практически всех товаров.

В связи с этим применяется более экономный способ оценки размера компенсации, основанный на использовании понятия функции полезности. При таком подходе объемы спроса на различные товары рассматриваются как решение задачи об оптимальном выборе потребителя в условиях ограниченности дохода:

u(x₁, ..., x_n) ® max

x_j ³ 0 (j = 1, ..., n)

Решение этой задачи:

определяет максимально достижимый уровень функции полезности , который очевидно, зависит и от системы цен p = (p₁, ..., p_n) и от уровня дохода I.

Пусть теперь, как и прежде, повышена цена p_n товара «n». Решение модифицированной задачи будет таково, что максимальный уровень понизится. В связи с этим возникает естественный вопрос: насколько нужно увеличить доход I, чтобы восстановить прежнее значение , а следовательно, и прежний уровень удовлетворения потребителя. В достаточно общей форме ответ на этот вопрос дает уравнение Слуцкого, основные выводы из которого будут далее рассмотрены на простом примере.

Пусть n=2, функция полезности:

.

Решение задачи оптимального выбора имеет вид:

.

Максимальный уровень функции полезности:

Условие сохранения максимального уровня имеет вид:

или .

Отсюда получаем выражение для компенсации в случае изменения цен:

.

Таким образом, если цена p₂ возрастает (dp₂ > 0), а цена p₁ остается неизменной (dp₁ = 0), то спрос на второй товар упадет, а спрос на первый товар не изменится. Размер компенсации определяется в этом случае отношением

Таким образом, достигнутый уровень удовлетворения будет сохранен, если доход будет увеличен ровно настолько, чтобы потребитель мог приобрести прежний объем второго товара. Однако, нетрудно показать, что на самом деле потребитель использует компенсацию следующим образом: его спрос на товар с повышенной ценой (товар 2) уменьшится, но возрастет объем закупок первого товара. При этом уровень полезности останется тем же, каким он был до повышения цен и получения компенсации. Иллюстрацию этого перехода можно найти на рисунке 5.19.

Рис. 5.19. Оптимальный набор при изменении цен и компенсации

Здесь:

· линия С – кривая безразличия, соответствующая максимальному уровню полезности;

· линия АВ – бюджетная линия до повышения цен;

· точка D – оптимальный набор;

· линия FВ – бюджетная линия после повышения цены p₂, но до выплаты компенсации;

· линия А¢B¢ – бюджетная линия после выплаты компенсации (А¢В¢|| FВ), точка D¢ – оптимальный набор в новых условиях.

В более общем случае, когда задача оптимального выбора имеет вид:

,

можно показать, что компенсационная доплата, сохраняющая прежний уровень максимальной полезности, связана с изменением цен соотношением:

,

где – оптимальный спрос на j – товар до изменения цен, а – изменение цены на j-тый товар.

Заключение

Итак, экономическая наука, как и любая другая имеет свою специфику, которая определяется общей спецификой наук о человеке. Все общественные науки изучают самую сложную и высокоорганизованную форму движения – социальную. На современном этапе экономические взаимоотношения между субъектами образуют экономические системы со сложной структурой, большим количеством элементов и связей между ними, которые и являются причиной почти всех особенностей экономических задач.

В данном разделе описан механизм функционирования экономической системы со стороны потребления. Неотъемлемой категорией теории потребления является понятие полезности. Существуют различные разработки методов измерения полезности. Но главным критерием применимости того или иного метода является проверка результатов исследования на практике. Уже поэтому полезность можно считать достаточно сложным компонентом данной теории – измерить его реально не представляется возможным. То же можно сказать, соответственно, и о понятии предельная полезность.

Поведение потребителя определяют, во-первых, отношения предпочтения потребителя, а, во-вторых, ограничением выступает бюджетное ограничение. Отношения предпочтения описывают кривые безразличия, тип которых зависит от вида потребляемых товаров. Бюджетное ограничение отражает бюджетная линия, зависящая от уровня дохода и уровня цен на товары. В этих условиях оптимальный план потребления определяется, исходя из максимизации общей полезности. Выражая оптимальный план потребления через зависимость от цен и дохода, получили функцию спроса отдельного домашнего хозяйства.

Кроме того, следует учитывать то, что экономические системы развиваются и усложняются сами, изменяется их структура, а иногда и содержание, обусловленное научно-техническим прогрессом. Это делает устаревшими многие методы, применявшиеся ранее, или требует их корректировки. В то же время научно-технический прогресс влияет и на сами математические методы, поскольку появление и усовершенствование электронно-вычислительных машин сделало возможным широкое использование методов, ранее описанных лишь теоретически, или применявшихся лишь для небольших прикладных задач.

Контрольные вопросы к теме №5

1. Как определяется функция полезности.

2. Что такое кривая безразличия.

3. Какие типы функций полезности вы знаете.

4. Дайте определение предельной норме замещения.

5. В чем суть закона убывающей предельной нормы замещения.

6. Бюджетная линия и ее свойства.

7. Как определяется оптимальный план потребления.

8. Как определяются функции спроса.

9. Дайте определение коэффициента эластичности.