Множества уровня и декомпозиции нечетких множеств.

СОДЕРЖАНИЕ

1. Введение…………………………………………………………………………4

2. Постановка задачи…………………………………………………………….12

3. Анализ алгоритмов решения поставленной задачи………………………...14

4. Разработка программных модулей…………………………………………..26

5. Результаты экспериментов и анализ полученных данных…………………29

6. Список использованных источников………………………………………...32

ВВЕДЕНИЕ

Основные понятия и определения.

Определение 9.1. Нечетким множеством , заданном на универсальном множестве , называется совокупность пар вида , где ,а - функция , которая называется функцией принадлежности множества . Значение для конкретного называется степенью принадлежности этого элемента к нечеткому множеству (рис. 9.1.а)

Обычные множества составляют подкласс нечетких множеств . Действительно, функцией принадлежности обычного множества является его характеристическая функция (рис. 9.1.б)

Определение 9.2. Нечеткое множество ,определенное на , называется пустым, если его функция принадлежности равна 0 на всем множестве , то есть .

Определение 9.3. Универсальное множество описывается функцией принадлежности вида .

Определение 9.4. Носителем нечеткого множества с функцией принадлежности называется множество вида

supp .

Нечеткое множество называется нормальным, если выполняется

условие , в противном случае оно называется субнормальным.

Пусть и — нечеткие множества на , и — их функции принадлежности соответственно.

Говорят, что включает в себя (то есть ), если для любого выполняется неравенство (рис. 9.2).

Если ,то supp supp

Множества эквивалентны ( ), если , .

Операции над нечеткими множествами.

Определение 9.5. Объединением нечетких множеств и в называется нечеткое множество с функцией принадлежности вида (рис.9.3)

. (9.1.1)

Определение 9.6. Сильным объединением нечетких множеств и в называется нечеткое множество с функцией принадлежности

Определение 9.7. Пересечением нечетких множеств и в называется нечеткое множество с функцией принадлежности вида (рис.9.4)

= ; . (9.1.2)

Если - конечное или бесконечное семейство нечетких множеств с функциями принадлежности , где - параметр семейства, то пересечение является нечетким множеством с функцией принадлежности вида

, .

Определение 9.8. Сильное пересечение нечетких множеств и в определяется как нечеткое множество с функцией принадлежности вида

, . (9.1.3)

Определение 9.10. Разностью нечетких множеств и в называется нечеткое множество с функцией принадлежности вида

(9.1.4)

Определение 9.11. Декартовым произведением нечетких множеств в называется нечеткое множество в декартовом произведения с функцией принадлежности вида

. (9.1.5)

Определение 9.12. Выпуклой комбинацией нечетких множеств на называется нечеткое множество с функцией принадлежности вида

, где . (9.1.6)

Определение 9.13.Операции концентрирования и растяжения нечеткого множества определяются следующим образом:

.

Или в общем случае

,

где , -целое .

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

В обычном светофоре время работы зеленого и красного света, а также время цикла фиксированы. Это создает некоторые трудности в движении машин, особенно, при изменении их потоков в часы пик, что довольно часто приводит к появлению автомобильных пробок.

В предлагаемом нечетком светофоре время цикла остается постоянным, однако, время его работы в режиме зеленого света должно меняться в зависимости от количества подъезжающих к перекрестку машин.

Пусть время цикла традиционного и нечеткого светофоров будет одинаковым и равным 1мин.=60сек. Длительность зеленого света обычного светофора зададим 30сек., тогда красный свет будет гореть тоже 30сек.

Для работы нечеткого светофора на перекрестке улиц Север-Юг (СЮ) и Запад-Восток (ЗВ) необходимо установить 8 датчиков (рис. 2.1), которые считают проехавшие мимо них машины.

Рис. 2.1 Расположение датчиков на перекрестке.

Светофор использует разности показаний четырех пар датчиков: (Д1-Д2), (Д3-Д4), (Д5-Д6) и (Д7-Д8). Таким образом, если для улицы СЮ горит зеленый свет, машины проезжают перекресток и показания двух пар датчиков равны: Д1=Д2, Д5=Д6, а, следовательно, их разность равна нулю. В это же время на улице ЗВ перед светофором останавливаются машины, которые успели проехать только Д4 и Д7. В результате можно рассчитать суммарное количество автомобилей на этой улице следующим образом:

(Д4-Д3)+(Д7-Д8)=(Д4-0)+(Д7-0)=Д4+Д7.

Для сравнения работы обоих светофоров введем показатель эффективности, в качестве которого будем рассматривать число машин, не проехавших перекресток за один цикл светофора.

Данную задачу можно сравнить с системой массового обслуживания (СМО), по двум каналам которой поступают заявки на обслуживание в виде автомашин. Показатель эффективности в этом случае число заявок, получивших отказ.

Эксперимент 1

Проверим эффективность работы светофора c нечеткой логикой за 1 час и 40 минут и сравним с эффективностью обычного светофора за такой же промежуток времени.

Пусть одна итерация цикла работы светофора равняется одной минуте, тогда 1 час 40 минут = 100 итерациям цикла.

Проведем 10 наблюдений и определим эффективности (табл. 5.1.1 и табл. 5.1.2).

№ наблюдения	x1	x2	x3	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	x10
Эффективность	5.2	6.2	2.5	6.4		11.01	6.44	9.1	0.12	7.14	7.87

Табл. 5.1.1 Результаты экспериментов для светофора с нечеткой логикой за 100 итераций.

№ наблюдения	x1	x2	x3	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	x10
Эффективность	15.49	5.24	5.1	17.99	0.25	3.6	21.77	11.14	7.88	31.7	9.95

Табл. 5.1.2 Результаты экспериментов для обычного светофора за 100 итераций.

Среднее для интеллектуального светофора = 7.198

Среднее для обычного светофора = 13.005

Показатель эффективности обычного светофора больше интеллектуального на 80.7 %. Это говорит о том, что интеллектуальный светофор пропускает большее количество машин, по сравнению с обычным светофором.

Эксперимент 2

Проверим эффективность работы светофора c нечеткой логикой за 1 неделю и сравним эффективностью обычного светофора за такой же промежуток времени.

Пусть одна итерация цикла работы светофора равняется одной минуте, тогда 1неделя = 10080 итерациям цикла.

Т. к. машины генерируются с помощью случайных чисел, найдем математической ожидание для каждого светофора. Проведем 10 наблюдений и определим эффективности (табл. 5.2.1 и табл. 5.2.2).

№ наблюдения	x1	x2	x3	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	x10
Эффективность	0.22	0.06	0.09	0.17	0.25	0.03	0.03	0.14	0.19	0.07	0.42

Табл. 5.2.1 Результаты экспериментов для светофора с нечеткой логикой за 10080 итераций.

№ наблюдения	x1	x2	x3	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	x10
Эффективность	0.214	0.186	0.35	0.08	0.24	0.1	0.11	0.18	0.27	0.13	0.19

Табл. 5.2.2 Результаты экспериментов для обычного светофора за 10080 итераций.

Среднее для интеллектуального светофора = 0.167

Среднее для обычного светофора = 0.205

Показатель эффективности обычного светофора больше интеллектуального на 22.75 %. Это говорит о том, что интеллектуальный светофор пропускает большее количество машин, по сравнению с обычным светофором.

Эксперимент 3

Проверим эффективность работы светофора c нечеткой логикой за 1 месяц и сравним с эффективностью обычного светофора за такой же промежуток времени.

Пусть одна итерация цикла работы светофора равняется одной минуте, тогда 1месяц = 43800 итерациям цикла.

Т. к. машины генерируются с помощью случайных чисел, найдем математической ожидание для каждого светофора. Проведем 10 наблюдений и определим эффективности (табл. 5.3.1 и табл. 5.3.2).

№ наблюдения	x1	x2	x3	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	x10
Эффективность	0.018	0.059	0.026	0.03	0.05	0.01	0.004	0.03	0.05	0.02	0.05

Табл. 5.3.1 Результаты экспериментов для светофора с нечеткой логикой за 43800 итераций.

№ наблюдения	x1	x2	x3	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	x10
Эффективность	0.09	0.1	0.02	0.04	0.05	0.02	0.05	0.02	0.04	0.03	0.05

Табл. 5.3.2 Результаты экспериментов для обычного светофора за 43800 итераций.

Среднее для интеллектуального светофора = 0.0347

Среднее для обычного светофора = 0.051

Показатель эффективности обычного светофора больше интеллектуального на 47 %. Это говорит о том, что интеллектуальный светофор пропускает большее количество машин, по сравнению с обычным светофором.

Эксперимент 4

Определим количество не проехавших машин на улице СЮ при работе с интеллектуальным светофором, сравним с количеством не проехавших машин на улице СЮ при работе с обычным светофором, построим соответствующий график, а так же определим эффективности.

Пусть время работы светофора равняется одной неделе, т. е. 10080 итерациям цикла. Число машин, поступающих на оба светофора, будет случайным.

Тогда:

Эффективность интеллектуально светофора = 0.0029

Эффективность обычного светофора = 0.1713

Показатель эффективности обычного светофора больше интеллектуального на 100 %. Это говорит о том, что интеллектуальный светофор пропускает большее количество машин, по сравнению с обычным светофором.

Построим график зависимости не проехавших машин на улице СЮ от итерации (рис. 5.5.1).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе была спроектирована модель работы светофора с нечеткой логикой, а так же модель обычного светофора. После этого был проведен ряд экспериментов, в ходе которых наблюдалось поведение обоих светофорах при различных условиях.

После сравнения результатов можно сделать следующие выводы:

· При сравнении эффективностей обоих светофоров, интеллектуальный показал наилучший результат.

· Чем больше время работы интеллектуально светофора, тем коэффициент эффективности стремится к 0, это означает, что светофор с каждой новой итерацией пропускает все больше машин.

· Показатель эффективности зависит от того, сколько машин приехало, сколько проехало, а так же от того, сколько длится время зеленого сигнала. Поэтому каждый раз показатель эффективности разный.

· Эффективность на улице ЗВ зависит от эффективности на улице СЮ.

· В часы «пик» наблюдается наибольший показатель эффективности у обоих светофоров.

Использование нечеткого управления рекомендуется…

• для очень сложных процессов, когда не существует простой математической модели.
• если должна производиться обработка (лингвистически сформулированных) экспертных знаний.

Использование нечеткого управления не рекомендуется, если…

• приемлемый результат может быть получен с помощью общей теории управления.
• уже существует формализованная и адекватная математическая модель.

СОДЕРЖАНИЕ

1. Введение…………………………………………………………………………4

2. Постановка задачи…………………………………………………………….12

3. Анализ алгоритмов решения поставленной задачи………………………...14

4. Разработка программных модулей…………………………………………..26

5. Результаты экспериментов и анализ полученных данных…………………29

6. Список использованных источников………………………………………...32

ВВЕДЕНИЕ

Основные понятия и определения.

Определение 9.1. Нечетким множеством , заданном на универсальном множестве , называется совокупность пар вида , где ,а - функция , которая называется функцией принадлежности множества . Значение для конкретного называется степенью принадлежности этого элемента к нечеткому множеству (рис. 9.1.а)

Обычные множества составляют подкласс нечетких множеств . Действительно, функцией принадлежности обычного множества является его характеристическая функция (рис. 9.1.б)

Определение 9.2. Нечеткое множество ,определенное на , называется пустым, если его функция принадлежности равна 0 на всем множестве , то есть .

Определение 9.3. Универсальное множество описывается функцией принадлежности вида .

Определение 9.4. Носителем нечеткого множества с функцией принадлежности называется множество вида

supp .

Нечеткое множество называется нормальным, если выполняется

условие , в противном случае оно называется субнормальным.

Пусть и — нечеткие множества на , и — их функции принадлежности соответственно.

Говорят, что включает в себя (то есть ), если для любого выполняется неравенство (рис. 9.2).

Если ,то supp supp

Множества эквивалентны ( ), если , .

Операции над нечеткими множествами.

Определение 9.5. Объединением нечетких множеств и в называется нечеткое множество с функцией принадлежности вида (рис.9.3)

. (9.1.1)

Определение 9.6. Сильным объединением нечетких множеств и в называется нечеткое множество с функцией принадлежности

Определение 9.7. Пересечением нечетких множеств и в называется нечеткое множество с функцией принадлежности вида (рис.9.4)

= ; . (9.1.2)

Если - конечное или бесконечное семейство нечетких множеств с функциями принадлежности , где - параметр семейства, то пересечение является нечетким множеством с функцией принадлежности вида

, .

Определение 9.8. Сильное пересечение нечетких множеств и в определяется как нечеткое множество с функцией принадлежности вида

, . (9.1.3)

Определение 9.10. Разностью нечетких множеств и в называется нечеткое множество с функцией принадлежности вида

(9.1.4)

Определение 9.11. Декартовым произведением нечетких множеств в называется нечеткое множество в декартовом произведения с функцией принадлежности вида

. (9.1.5)

Определение 9.12. Выпуклой комбинацией нечетких множеств на называется нечеткое множество с функцией принадлежности вида

, где . (9.1.6)

Определение 9.13.Операции концентрирования и растяжения нечеткого множества определяются следующим образом:

.

Или в общем случае

,

где , -целое .

Множества уровня и декомпозиции нечетких множеств.

Определение 9.14. Множеством уровня нечеткого множества в называется множество, составленное из элементов , степень принадлежности которых к множеству не меньше , то есть, если -множество уровня нечеткого множества , то

. (9.1.7)

Справедливы следующие соотношения [18; 48]

; . (9.1.8)

Если для операции объединения и пересечения используются соответствующие сильные определения, то

; . (9.1.9)

В некоторых случаях целесообразно пользоваться раскложением нечеткого множества по его множествам уровня, а именно представлением нечеткого множества в виде

, (9.1.10)

где , а объединение нечетких множеств берется согласно к определению (9.1.10) по всем от 0 до 1.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

В обычном светофоре время работы зеленого и красного света, а также время цикла фиксированы. Это создает некоторые трудности в движении машин, особенно, при изменении их потоков в часы пик, что довольно часто приводит к появлению автомобильных пробок.

В предлагаемом нечетком светофоре время цикла остается постоянным, однако, время его работы в режиме зеленого света должно меняться в зависимости от количества подъезжающих к перекрестку машин.

Пусть время цикла традиционного и нечеткого светофоров будет одинаковым и равным 1мин.=60сек. Длительность зеленого света обычного светофора зададим 30сек., тогда красный свет будет гореть тоже 30сек.

Для работы нечеткого светофора на перекрестке улиц Север-Юг (СЮ) и Запад-Восток (ЗВ) необходимо установить 8 датчиков (рис. 2.1), которые считают проехавшие мимо них машины.

Рис. 2.1 Расположение датчиков на перекрестке.

Светофор использует разности показаний четырех пар датчиков: (Д1-Д2), (Д3-Д4), (Д5-Д6) и (Д7-Д8). Таким образом, если для улицы СЮ горит зеленый свет, машины проезжают перекресток и показания двух пар датчиков равны: Д1=Д2, Д5=Д6, а, следовательно, их разность равна нулю. В это же время на улице ЗВ перед светофором останавливаются машины, которые успели проехать только Д4 и Д7. В результате можно рассчитать суммарное количество автомобилей на этой улице следующим образом:

(Д4-Д3)+(Д7-Д8)=(Д4-0)+(Д7-0)=Д4+Д7.

Для сравнения работы обоих светофоров введем показатель эффективности, в качестве которого будем рассматривать число машин, не проехавших перекресток за один цикл светофора.

Данную задачу можно сравнить с системой массового обслуживания (СМО), по двум каналам которой поступают заявки на обслуживание в виде автомашин. Показатель эффективности в этом случае число заявок, получивших отказ.