Кривые предложения благ к обмену из наличного запаса.

При построении кривой предложенияиз запаса ОС (offer curve) будем исходить из того, что для набора благ X, Y цены Р⁰_хи Р⁰_уесть их идеальныецены, тогда ценность исходного набора можно представить как

I⁰=X⁰_AР⁰_X+У_А⁰ P⁰_Y,(9.3),

где I- принимаем как бюджет участника субъекта А.

Если цены благ X, Y будут Р¹_хи Р¹_у,то его бюджет будет

I^l=X⁰_AP¹_x+Y⁰_AP¹_Y,(9.4)

Из теории потребления известно, что бюджетное уравнение (.1) может быть представлено как Y_А=I/ P⁰_Y –(Р_х/P_Y)*Х_А (9.5)

После подстановки (9.3) в (9.5) и преобразования получим следующее выражение: Y_A=Y⁰_A- (Р⁰_х/Р⁰_у.)(X_A-X°_A). (9.6)

Таким образом Y_A = Y_A,если Х_А = Х°, и наклон бюджетной линии равен Р_х/Р_у. При ценах Р¹_хи P¹_Yуравнение бюджетной линии:

Y_A=Y⁰_A- (Р¹_х/Р¹_у.)(X_A-X°_A). (9.7)

Рис.9.4. Бюджетные линии участника А, позволяющие иметь набор Z_A при разных соотношениях цен благ Х иY.

Таким образом исходный набор участника А такжепринадлежит бюджетной линии. Наклон новой бюджетной линии (по абсолютной величине) равен теперь соотношению цен Р¹_x/Р¹_yвместо P⁰_X/P⁰_Y

Итак, бюджетная линия в любом случае проходит через точку начального запаса благ X и У участника А,и при разном соотношении цен наклон бюджетной линии будет разным (рис.9.4). Чем дороже (дешевле) X относительно У, тем более крутым (пологим) будет наклон бюджетной линии. Наклон бюджетной линии характеризует соотношение относительныхцен, а не их абсолютные значения. Например, если абсолютные цены обоих благ удвоить, то наклон бюджетной линии не изменится.

Итак, имея карту кривых безразличия участника А, наделенного первоначальным набором благ (Х⁰_А, Y⁰_A), и пучок бюджетных прямых, обеспечивающих неизменную ценность этого набора при разных относительных ценах благ, можно построить его кривую предложения благ к обмену (или кривую «цена –потребление», см.главу 2)

Рис.9.5. Кривая предложения благ к обмену участника А

На рис.9.5, представлено семейство кривых безразличия участника A (U⁰_A, ..., U³_A).Первоначальный запас благ представлен точкой Z_A, лежащей на самой низкой кривой безразличия U⁰_A. Пустьотносительные цены благ характеризуются бюджетной линией I_А,которая касается кривой безразличия U⁰_Aв точке Z_A, то именно в точке Z_А участник А сделает свой оптимальный выбор. При этом он не будет заинтересован в обмене со вторым участником хозяйства, т.к. обмен ухудшит его положение. Если же относительная цена блага X будет ниже, т.е. соотношение цен Xи У будет представлено бюджетной линией I¹, касающейся более высокой кривой безразличия U¹₁в точке К, участник А захочет обменять Y⁰_AY¹_A единиц блага У на Х⁰_АХ¹_Аблага X. При этом он получит большую полезность в точке К, принадлежащей кривой безразличия U¹₁,чем в точке Z_A,лежащей на более низкой кривой безразличия U°_A.Если цена X относительно цены У и дальше будет и уменьшаться, бюджетная линии будет поворачиваться вокруг точки Z_Aот I⁰_А до I³_А, участник А будет достигать все более высоких кривых безразличия, а его оптимум будет находиться в точках К, L, N. Если соединить точки Z_A,K,L,N, которые являются точками касания кривых безразличия и бюджетных прямых, проходящих через точку Z_Aи имеющих разный наклон, то мы получим кривуюОС_А- кривуюпредложения блага Y из его начального запаса Y_A к обмену на благо X (рис.9.3).

В модели, которую мы рассматриваем, кривая предложения блага У, ОС_А , есть в то же время и кривая спроса участника А на благо X, поскольку она представляет собой множество оптимальных для участника А наборов благ X и У, полученных при снижении цены блага X относительно цены блага У. Снижение относительной цены блага X представлено движением бюджетной линии округ точки Z_A против часовой стрелки (рис.9.5). Таким образом, и при снижении относительной цены блага X,и при ее повышении кривая предложения ОС_А проходит через точку первоначального набора Z_A. Кривая предложения ОС_А касается кривой безразличия в точке первоначального набора благ X и У, в точке Z_A. Для участника А при снижении относительной цены блага Xкривая ОС_А лежит левее кривой безразличия U⁰_A, к которой принадлежит точка Z_A, т.е. имеет менее крутой наклон, а выше точки Z_A кривая предложения имеет более крутой наклон, чем кривая безразличия (рис.9.6).

Рис. 9.6. Кривая безразличия и кривая предложения благ к обмену участника А

.

Кривая предложения ОС_В участника В по сравнению с кривой предложения ОС_А участника А имеет другую конфигурацию (рис. 9.7). Первоначальный набор Z_B, которым обладает участник В, содержит больше блага Xи меньше блага У по сравнению с набором Z_A, которым был исходно наделен участник А: Х_В > Х_А, а У° < Y_A. (Сравните наборы Z_Aи Z_Bна рис. 9.1а и 9.1б). При том характере кривых безразличия участника В, которые мы рассматриваем в нашем примере (U⁰_В, ..., U³_В) снижениеотносительной цены блага У, или повышениеотносительной цены блага X,заставит участника В обменять какое-то количества блага X на некоторое количество блага У. При переходе от

Рис. 9.7. Кривая предложения благ к обмену участника В

бюджетной линии I⁰_Вк бюджетной линии I¹_Вучастник Всогласится обменять у участника А Y⁰_BY¹_Bединиц блага У за Х⁰_ВХ¹_Вединиц блага X.

Повышение относительной цены блага X характеризуется вращением бюджетной линии вокруг точки Z_B no часовой стрелке (рис. 9.7).

Рис.9.8 Кривая безразличия и кривая предложения благ к обмену участника А

.

Таким образом, и при снижении относительной цены блага X,и при ее повышении кривая предложения ОС_В проходит через точку первоначального набора Z_B(рис.9.8). Кривая предложения ОС_В касается кривой безразличия в точке первоначального набора благ X и У, в точке Z_В.

Равновесие в обмене

Повернем карту безразличия участника А представленную на рис. 9.6 на 180° по часовой стрелке и совместим ее с картой безразличия субъекта В, представленной на рис. 9.7. Таким образом получим коробку Эджуорта, показанную на рис. 99. При этом точки первоначального запасаблаг Z_A и Z_B на рис. 9.6, 9.8 после совмещения рисунков займут положение Z⁰на рис.9.9, которое показывает первоначальное распределение благ X и У между участниками А и В. Здесь также представлены кривые предложения каждого участника, ОС_Аи ОС_В, и кривые безразличия U⁰_A и U⁰_B, проходящие через точки Z_A и Z_B.

Рис. 9.9. Равновесие в обмене

Кривые предложения ОС_Аи ОС_В находятся между кривыми безразличия двух участников U⁰_A и U⁰_B, которые проходят через точку начального распределения Z₀ и пересекаются на отрезке DR контрактной кривой АВ.

Кривая предложения участника А ОС_А является множеством точек касаниякривых безразличия А и бюджетных линий, поворачивающихся против часовой стрелки вокруг Z_A (рис.9.7). Кривая предложения участника Вявляетсямножеством точек касаниякривых безразличия участника В и бюджетных линий, поворачивающихся по часовой стрелке вокруг Z_B(рис.9.7). Кривые предложения ОС_А и ОС_В должны пересечься в некоторой точке (Ена рис. 9.9), т.к., по определению ОС_А и ОС_В, одна из кривых безразличия А должна касаться бюджетной прямой Z⁰Eв точке Е,и в этой же точке должна касаться прямой Z⁰Eодна из кривых безразличия В.

Таким образом, в точке Е одна из кривых безразличия участника А должна касаться одной из кривых безразличия участника В и обе они должны касаться бюджетной прямой Z⁰E. В нашем примере это кривые безразличия U'_A и U'_B.

При возможности обмена между двумя участниками каждый из них перемещается по своей кривой предложения, чтобы максимизировать свою функцию полезности при меняющихся относительных ценах благ. Но не всякая точка на кривой ОС_А , которая обеспечивает максимум полезности участника А при данном соотношении цен, позволяет получить и максимум полезности участнику В.

Справедливо и то, что не любаяточка на кривой ОС_В, максимизирующая полезность участника Впри заданном соотношении цен, максимизирует полезность и участника А. Максимальное удовлетворение (полезность) для обоих участников достигается в точке пересечения обеих кривых предложения в коробке Эджуорта.

Участник А окажется на своейнаивысшей кривой безразличия U'_A,обменяв Х⁰_АХ^*_Аединиц блага Xна Y⁰_AY^*_A единиц блага Y.А участник В окажется насвоейнаивысшей кривой безразличия U'_B, обменяв Y⁰Y*_Bединиц Yна Х_ВХ*_В единиц X ( рис. 9.9).

Итак, достигнутое в процессе обмена равновесие характеризуется точкой, в которой предельные нормы замены двух благ для обоих субъектов одинаковы и равны соотношению цен:

MRS^А _ХY = MRS^В_ХY = -–(Р_х/P_Y) (9.8)

Рыночный обмен

Поскольку в условиях совершенной конкуренции цены воспринимаются как данные, т.е. как экзогенные параметры, используем подход Л. Вальраса, который включил в свою модель аукциониста, т.е. незаинтересованное в исходе обмена лицо, и возложил на него задачу «нащупывания» равновесных цен.

Пусть Z⁰ — точка первоначального распределения благ X и Yмежду участниками А и В. УчастникА исходно имеет благо Х в количестве Х⁰_Аи благо Y в количестве Y⁰_A. УчастникВ исходно имеет благо Х в количестве Х⁰_В и благо Y в количестве Y_B (рис.9.10). Пусть аукционист сначала устанавливает цены Р_Х и P_Y, которые в ящике Эджуорта характеризуются наклоном луча 1, проходящего через Z⁰. Луч 1 касается кривой безразличия участника A, U'_A, в точке Е'_А, и кривой безразличия участника В, U'_B,в точке Е'_В.

Рис.9.10.Установление равновесия в обмене.

Валовой спрос участника обмена – это общее количество какого-то блага, которое он хочет иметь при существующих ценах (включая начальное количество).При соотношении цен Р_х/Р_уваловой спросучастника А на блага X, Y составит соответственно АХ'_Аи АУ'_А.

Чистый спрос, или избыточный спрос - это разность между тем количеством, которое хотел бы потребить индивид и имеющимся у него начальным запасом блага. Тогда чистый спрос участника А, т.е. количество благ, которыеон хотел бы реализовать посредством обмена, составит АХ'_А-АХ⁰_А и AY_A-AY_A. Из рис. 9.10 следует, что АХ'_А-АХ⁰_А=Х'_АХ⁰_А <0; AY_A-AY_A=У'_АУ⁰_А >0, т.е. чистый спрос участника А на благо Х является отрицательным, т.е участник А хочет иметь блага Х меньше, поэтому величину Х'_АХ⁰_А рассматривают как чистое предложение блага Х к обмену из исходного запаса. Чистый спрос на благо Y – положителен, т.е. участнику А требуется большее количество блага Y, чем он имел при первоначальном запасе..

Валовой спрос участника В составит ВХ'_В единиц блага Xи ВY'_В единиц благаY, а его чистый спрос, соответственно ВХ'_В – ВХ⁰_В и BY'_B – BY⁰_B. В нашем примере ВХ'_В-ВХ°_В=Х'_ВХ⁰_В>0, а ВY¹_В-ВY⁰_В=У¹_ВУ⁰_В <0, т.е. чистый спрос участника В на X будет положительным (он хочет получить этого блага больше), а его чистый спрос на благо Y— отрицательным, таким образом, его можно рассматривать как чистое предложение блага Y к обмену из существующего запаса Y(он готов его обменять).

Положительное значение чистого спроса на благо называют положительным избыточным спросом. Отрицательное значение чистого спроса на благо называют отрицательным избыточным спросом.

Аукционист видит, что при назначенных им ценах Р_Хи Р_Y чистый спрос участника Вна благо X превышает чистое предложение его участником А:X'_BX⁰_В>X'_AX⁰_A, а чистый спрос участника А на благо У меньше его предложения участником В: Y'_АY⁰_A<Y'_ВY⁰_В.. При этом валовой спрос обоих участников на благо Xпревышает общее его количество: (АХ'_А + ВХ'_В) >AG = BF, т.е. имеет место нехватка блага X, оно являетсядефицитным, а валовой их спрос на Y, меньше его общего запаса: АY'_А +BY'_В<АF=ВG, т.е. количество блага У превышает потребность в нем, наблюдается его избыток.

Аукционист видит, что назначенные им цены не являются равновесными. Поэтому он изменит их соотношение. В коробке Эджуорта произойдет поворот бюджетной линии 1вокруг точки Z⁰ по часовой стрелке. Аукционист будет изменять цены до тех пор, пока не будет достигнуто такое их сочетание (Р_Х/Р_Y), при котором рынок придет в равновесие (оно представлено бюджетной линией 2) (рис.9.10).

Бюджетная линия 2, характеризующая соотношение равновесных цен, касается кривых безразличия U*_Aи U*_B в точке Е*. Чистый спрос на X участника Вбудет положительным и составит: ВХ*_В-ВХ⁰_В=Х*_ВХ⁰_В>0,а чистый отрицательный спрос на Xсо стороны участника Асоставит: АХ*_А-АХ⁰_А =Х*_АХ⁰_А <0.

Чистый спрос на благо Yсо стороны участника Абудет положительным и составит: АУ*_А-АУ⁰_А=У*_АУ⁰_А>0, а чистый отрицательный спрос Y со стороны участника Всоставит: ВY*_В-ВY⁰_В=Y*_ВУ⁰_В<0. Таким образом, количество блага Х, предназначенное для обмена участником А, будет в точности соответствовать количеству этого блага, которое желает получить участник В, а количество блага Y, которое хочет получит участник А соответствует количеству этого блага, которое предлагает к обмену участник В.

Сделаем вывод:

- При найденных аукционистом в процессе «нащупывания» равновесных ценах Р_Х и Р_Y чистый спрос на каждое благо будет равен его чистому предложению: Х*_АХ⁰_А= Х*_ВХ⁰_В; а У*_АУ⁰_А= Y*_ВУ⁰_В.

- Поскольку мы рассматривали экономику без производства, то валовой спрос обоих участников, т.е. то количество благ, которое они хотели бы получить послеобмена, равен их исходному количеству: АХ*_А+ВХ*_А=АG=ВF; АУ*_А+ВY*_В =АF=BG.

Эффективность и равновесие

Распределение, соответствующее рыночному равновесию оказывается эффективным по Парето.

Докажем это. Распределение в ящике Эджуорта является эффективным по Парето, если множество наборов, предпочитаемых потребителем А не пересекает множества наборов, предпочитаемых потребителем В. Но множество наборов, предпочитаемых потребителем А должно находиться над его бюджетным множеством, но и множество наборов, предпочитаемых потребителем В также должно находиться, соответственно, над его бюджетным множеством. Поэтому два множества предпочитаемых распределений не могут пересечься.

Отсюда следует вывод: Не существует распределений, которые оба потребителя предпочтут равновесному распределению, и поэтому равновесное распределение эффективно по Парето.

Таким образом, первая теорема экономики благосостояния гласит, что все рыночные равновесия эффективны по Парето.

Но поскольку равновесие совокупности конкурентных рынков являются эффективными по Парето, то справедливо и то, что если дано распределение, эффективное по Парето, то: можно найти такие цены, при которых (при определенных условиях) данное распределение будет рыночным равновесием (рис.9.11).

Рис.9.11 Вторая теорема экономики благосостояния.

Пусть в точке Е существует распределение, эффективное по Парето. В этом случае множество распределений, которое предпочитает своему текущему запасу потребитель А, отделено от множества распределений, которое предпочитает потребитель В. Поскольку границами множества распределений являются кривые безразличия, то такая ситуация возможна лишь в точке касания кривых безразличия обоих потребителей. А кривые безразличия касаются друг друга в точке распределения, эффективного по Парето. Поэтому проведем между ними прямую, являющуюся их общей касательной (рис.9.11).Предположим, что эта прямая линия является бюджетной линией для обоих потребителей Если каждый потребитель сделает оптимальный выбор, то распределение, полученное в результате этого, будет первоначальным распределением, эффективным по Парето.

Итак, если первоначальное распределение эффективно, то равновесные цены устанавливаются автоматически. При этом начальные запасы могут быть представлены любыми наборами, которые находятся на бюджетной линии 1.

Но построить такую бюджетную линию не всегда возможно. Бывают ситуации, связанные, например, с характером кривых безразличия, при которых сделать этого нельзя (рис.9.12).

Рис.9.12 Распределение, эффективное по Парето, не являющееся равновесием.

В этом случае точка Е₁ является эффективной по Парето, но не возможно получить цены, при которых оба потребителя (и А и В) захотят приобрести набор, представленный точкой Е. поскольку точки оптимального выбора потребителей А и В при данной бюджетной линии не создают. Потребитель А предъявляет спрос на набор Е₂,т.к. он находится на более высокой кривой безразличия u_A² , а потребитель В выберет набор Е_1, находящийся на самой высокой из доступных кривой безразличия U_В^1. Но при таких ценах спрос не будет равен предложению. Такая ситуация возможна лишь при нарушении условий о выпуклости предпочтений.

Если же предположение о выпуклости предпочтений обоих индивидов выполняется, то общая касательная(ее роль в нашем случае выполняет бюджетная линия) не имеет с каждой из кривых безразличия более, чем одной общей точки.

Предположения о выпуклости кривых безразличия позволяют сформулировать вторую теорему экономики благосостояния: если предпочтения всех индивидов выпуклы, то всегда существует такая совокупность цен, при которой каждое распределение, эффективное по Парето, является рыночным равновесием для соответствующего распределения начальных запасов.

Доказательство. В точке распределения, эффективного по Парето, наборы, предпочитаемые потребителем А и потребителем В, должны быть разделены ( рис (9.11). Поэтому, если предпочтения обоих потребителей выпуклы, между двумя множествами предпочитаемых наборов можно провести прямую линию, отделяющую одно множество от другого. Наклон этой линии показывает нам относительные цены, и при любом начальном наборе, находящимся на этой линии, конечное рыночное равновесие окажется первоначальным распределением, эффективным по Парето.