Применение экономико-математических методов

В прогнозировании экономики

Идея оптимизации составляет одно из отличий подхода экономиста к анализу хозяйственной деятельности и решению экономических проблем. Программирование занимается решением задач по нахождению оптимальности. Поэтому оно хорошо подходит для анализа рационального поведения. В анализе оптимальности существует множество возможных величин, характеризующих результаты деятельности фирмы или экономики в целом. Программирование является исключительно математическим методом и не имеет никакого экономического содержания. Это означает, что результаты, полученные с помощью программирования, сами по себе ничего не говорят о деятельности хозяйствующих субъектов. Оно может только помочь оценить экономическую информацию, которую получили или готовы получить.

Преимущества программирования:

– обеспечивает логически согласованную последовательность различных предпосылок;

– позволяет использовать различные виды информации;

– решает задачи большой размерности, учитывающие огромные объемы информации, различного типа ограничения и обеспечивающие реализацию многих альтернатив;

– решает задачи с известной степенью точности;

– может систематически изучаться;

– позволяет пояснить многие проблемы, связанные с разграничением задач и мерой ответственности между экспертами и политиками.

Использование экономико-математических методов предполагает формализованное описание экономического процесса и следующие этапы построения модели:

1) формулируется предмет и цели исследования;

2) в экономической системе выделяются структурные или функциональные элементы, соответствующие данной цели, выявляются наиболее важные качественные характеристики этих элементов;

3) словесно, качественно описываются взаимосвязи между элементами модели;

4) вводятся символические обозначения для учитываемых характеристик экономического объекта и формализуются взаимосвязи между ними. Тем самым формулируется математическая модель;

5) проводятся расчеты математической модели и анализируются полученные решения.

Целевая функция описывает цель оптимизации и представляет собой зависимость показателей, по которым ведется оптимизация, от независимых переменных. Влияние каждой из переменных на величину целевой функции выражается коэффициентом – значением показателя, экстремум которого используется в качестве критерия оптимальности. Система ограничений отражает объективные экономические связи и зависимости в виде системы равенств и неравенств.

В экономико-математическом анализе используется широкий спектр математических методов. Наиболее простым является метод линейного программирования – направление математики, изучающее методы решения задач на экстремальные значения, которые характеризуются линейной зависимостью между переменными (неизвестными величинами) и линейным критерием. Необходимым условием постановки задачи является: 1) ограничение на ресурсы; 2) выбор количественно оцениваемого критерия оптимального плана.

Показатель, по которому оценивается мера эффективности плана, называется критерием оптимальности. Критерий оптимальности должен удовлетворять следующим требованиям: 1) быть единственным, 2) количественно определяться, 3) находиться в линейной зависимости.

В общем виде задача линейного программирования выглядит следующим образом:

целевая функция

F(X) = c₁x₁+c₂x₂+ ….c_nx_n max;

условия ограничения в виде равенств или неравенств

a₁₁x₁+a₁₂x₂+ … a_1nx_n= b₁;

a₂₁x₂+a₂₂x₂+ … a_2nx_n= b₂;

условие неотрицательности

х₁> 0, x₂>0 … x_n> 0.

Условие неотрицательности для экономического анализа имеет важное значение, т. к. свидетельствует о реальности протекаемого процесса.

В задачах линейного программирования исходные данные обычно определяются неточно. Поэтому важную роль играют методы стохастического линейного программирования, рассматривающего задачи, целевая функция и ограничения которых могут содержать случайные параметры.

Нелинейное программирование применяется в силу того, что в экономике существует большое количество нелинейных зависимостей. В этом случае целевая функция или условия ограничения становятся нелинейными относительно искомых переменных. Переменные входят в уравнения не в первой, а во второй или более высокой степени, перемножаются или делятся друг на друга. Данная форма программирования применяется в тех случаях, когда эффективность возрастает или убывает непропорционально изменению масштабов производства. Могут быть различные комбинации целевой функции и условий ограничения с точки зрения сочетания линейности и нелинейности.

В числе методов нелинейного программирования можно выделить квадратичное и выпуклое программирование. Выпуклое программирование представляет собой совокупность специальных методов решения, у которых выпуклы либо целевые функции, либо условия ограничения. Выпуклой считается область, если прямая, соединяющая две точки этой области, лежит полностью внутри данной области. Целью решения такой задачи является отыскание такого множества переменных, которое обеспечивает минимум выпуклой функции или максимум вогнутой. (Используется метод Лагранжа, матричные модели.)

Квадратичное программирование – совокупность методов решения особого рода экстремальных задач, в которых условия ограничения линейны, а целевая функция является многочленом второй степени. Для решения такого типа задач могут применяться методы решения общей задачи выпуклого программирования.

Целочисленное программирование применяется в тех случаях, когда переменные принимают целочисленные значения (0,1,2 …). Простое округление результатов при расчетах может привести к значительным плановым ошибкам. Поэтому задачи целочисленного программирования требуют специальных методов решения. Различают задачи:

а) дискретного программирования. В этом случае вводится искусственная переменная R и условия задачи принимают вид:

целевая функция P = ax+by max;

ограничения x R; y R/2; R ;

условия неотрицательности x > 0; y > 0; R > 0.

Решение заключается в максимизации первоначальной целевой функции путем перебора переменных x, y, R, которые расположены в искусственно выпуклой области.

б) целочисленного программирования с булевыми переменными. Булевой переменной называют переменную, которая принимает значения 1 и 0. Использование таких переменных позволяет решать задачи о включении или невключении заданий в план.

Динамическое программирование позволяет установить соотношение между экстремальными значениями целевой функции в задачах, характеризующихся различной продолжительностью процесса и различными начальными состояниями. При этом необходимо учитывать последствия найденного оптимального решения для последующих расчетов. Такой подход обуславливает выработку оптимальной стратегии. Процесс решения является многошаговым. Полученные на каждом этапе соотношения последовательно связаны между собой: полученные результаты вводятся в уравнения следующего шага. Т. о., при решении вариантных задач они разбиваются на отдельные этапы, каждый из которых решается самостоятельно. Тем самым сложная задача со многими переменными сводится к многим задачам с малым числом переменных. Это значительно сокращает объем вычислений и ускоряет процесс принятия управленческих решений. Этим методом решаются задачи оптимизации с заданным критерием оптимальности, с определенными связями между переменными и целевой функцией, выраженными системой уравнений. При этом ограничения могут задаваться в виде равенств и неравенств. Динамическое программирование можно использовать как для решения задач, связанных с динамикой процесса или явления, так и для статических задач, связанных с распределением ресурсов.

К недостаткам следует отнести отсутствие единого универсального метода решения. Практически каждая задача, решаемая этим методом, характеризуется своими особенностями и трудностями и требует поиска наиболее приемлемой для ее решения методики. При поиске решения может оказаться, что процесс, рассматриваемый как многошаговый, имеет очень много состояний. В таком случае необходимо искать другие методы решения.

Динамическое программирование эффективно при определении оптимальной стратегии случайного (стохастического) процесса. Его протекание может быть различным в зависимости от случая, но вероятность каждого течения определена. Случайный процесс может быть непрерывным или дискретным. В рассматриваемом процессе независимой переменной является время, функция от независимой переменной – случайна. Случайный процесс характеризуется множеством значений его состояния. В зависимости от того, непрерывные или дискретные эти значения, случайный процесс будет непрерывным или дискретным.

При использовании динамического программирования необходимо:

– четко сформулировать задачу;

– сформировать целевую функцию и условия ограничения;

– подготовить исходную информацию по изучаемому процессу;

– определить альтернативные варианты развития процесса;

– выбрать оптимальный метод решения задачи;

– произвести расчеты;

– провести анализ и оценку полученных результатов.

Экономические процессы характеризуются большими совокупностями однородных объектов. Поэтому нет необходимости изучать каждый элемент совокупности. Объектом исследования является определенная выборка. Полученные характеристики такой выборки могут использоваться для сравнительной оценки элементов различных совокупностей или их характеристик, установления связей между отдельными величинами и прогнозирования на этой основе развития системы в будущем. Это предполагает использование статистических методов в прогнозировании. Математическая статистика включает корреляционный, регрессионный, дисперсионный, факторный анализ и т. д.

В экономике между различными явлениями могут быть две формы зависимости: функциональная и корреляционная. Функциональная – зависимость, которая точно проявляется в каждом отдельном случае и подчинена принципу строго определенного соответствия между количественными признаками. Корреляционная – зависимость между явлениями и показателями, которая проявляется только в среднем, в массе наблюдений.

Построение корреляционной модели предполагает постановку задачи, сбор статистических данных. Эти данные набираются на основе первичных документов и отчетных данных. Некоторые показатели могут быть получены только после предварительной обработки полученной информации. При сборе данных необходимо определить количество выборочных наблюдений – выборочную совокупность.

После сбора данных осуществляется корреляционный анализ, состоящий из трех этапов: а) определяется форма связи исследуемых показателей (уравнение регрессии); б) проверяется теснота связи выбранных показателей, т. е. насколько полно выбраны факториальные признаки, как велико влияние неучтенных факторов;
в) определяются численные значения постоянных коэффициентов уравнения.

Дисперсионный анализ – метод проверки гипотезы с помощью критериев, основанных на вычислении дисперсии. Наибольшее применение он находит для проверки связи между различными признаками.

Факторный анализ предполагает, что исследуемый процесс – многомерная случайная величина х = (х₁… х_n), подчиняющаяся нормальному распределению. В факторном анализе считается, что факторы, оказывающие влияние, надо определить; случайные величины независимы между собой. Наиболее перспективными направлениями факторного анализа является: сокращение числа экономических показателей, характеризующих какое-либо экономическое явление без существенной потери точности; получение обобщенных индексов; классификация экономических объектов, характеризующаяся набором независимых признаков; возможность построения и последующей статистической проверки гипотезы о сущности экономических явлений.

Цель факторного анализа – отыскание таких комбинаций х₁, …х_n, которые были бы как можно ближе к значению факторов f₁,…f_n. Обычно это двухстадийный процесс. Сначала оценивается факторная структура, т. е. необходимое число факторов для объяснения корреляции между переменными и нагрузки факторов на эти переменные. Затем – значения индивидуальных членов выборки для самих факторов. Важное место в содержательном факторном анализе занимает интерпретация факторов. Для оценки факторных нагрузок используют метод максимального правдоподобия, центроидный метод и т. д. При этом возможны различные предположения, например, о некоррелированности факторов, о равенстве нулю какой-либо заранее выбранной факторной нагрузки и т. д.

Методы экстраполяции

Экстраполяция представляет метод прогнозирования, заключающийся в изучении сложившихся в прошлом и настоящем устойчивых тенденций развития процессов и явлений и переносе их на будущее. Метод экстраполяции применим, если используются следующие допущения:

а) период времени, для которого построена функция, должен быть достаточным для выявлении тенденции развития;

б) анализируемый процесс является устойчиво динамическим и обладает инерционностью, т. е. для значительных изменений характеристик процесса требуется время;

в) не ожидается сильных внешних воздействий на изучаемый процесс, которые могут серьезно повлиять на тенденцию развития.

Прогнозирование с помощью метода экстраполяции – один из простейших методов статистического прогнозирования. Его использование оправдано при недостаточном знании о природе изучаемого явления или отсутствии данных, необходимых для применения более совершенных методов прогнозирования.

Различают а) простую экстраполяцию, которая предполагает, что все действовавшие в прошлом и настоящем тенденции сохранятся в полном объеме, т. к. все действовавшие факторы останутся неизменными; б) прогнозную экстраполяцию, которая базируется на предположении об изменении факторов, определяющих динамику изучаемого процесса или явления.

Основу экстраполяции составляет изучение динамических рядов, представляющих собой упорядоченные во времени наборы измерений тех или иных показателей исследуемого объекта. В основе динамического анализа лежит понятие траектории, которая описывает состояние изучаемого процесса как функцию от времени: Q = Q(t), t [0,T], [0,T] – отрезок времени.

При этом время может учитываться как по интервалам, так и непрерывно. В первом случае функция называется динамическим рядом.

Использование экстраполяции имеет в своей основе предположение о том, что рассматриваемый процесс представляет собой сочетание двух составляющих: регулярной составляющей (Х_t) и случайной переменной ( ). Временной ряд может быть условно представлен в виде:

Y_t = X_t + _t.

Регулярная составляющая называется трендом, тенденцией и характеризует существующую динамику развития процесса в целом. Случайная составляющая отражает случайные колебания (шумы процесса).

Показателями развития процесса являются абсолютный прирост, темп роста, темп прироста. Показатели изменения динамического ряда могут вычисляться на постоянной и переменой базе. Для обобщающей оценки скорости и интенсивности изменения динамического ряда используются различные средние характеристики, среди которых средний темп роста и средний темп прироста.

Задача состоит в определении вида экстраполирующих функций Х_t и _t на основе исходных эмпирических данных и параметров выбранной функции. Зависимости могут быть однофакторными у = f(x) и многофакторными у = f(x₁, х₂, ..., x_n), линейными и нелинейными различных видов. Например, однофакторная зависимость может быть: линейной (у = ах+b), гиперболической различных типов у = а/х+b; у=x/(ах+b); у = х/(ах + b), показательной (у = аb^x), степенной (у = ах^b), экспоненциальной (у = ае^bx), параболической (у = ах² + bх + с), логистической (у = с/(1 + ае^bx)) и др. Многофакторные зависимости также могут быть линейными и нелинейными.

Методика построения трендовых моделей представляет сочетание качественного экономического анализа и формальных математико-статистических методов и включает несколько этапов.

1) Выбор класса функции тренда. Существует более 40 временных функций, отличающихся своими свойствами. Надо выбрать ту, которая отражает главные особенности динамики исследуемого показателя, прежде всего тип развития. Можно выделить 4 типа экономического роста: постоянный, увеличивающийся, уменьшающийся и рост с качественными изменениями характеристик на протяжении рассматриваемого периода.

2) Оценка параметров функции. Он проводится методами регрессионного анализа.

3) Расчет значений формальных критериев аппроксимации. Для характеристики близости тренда к аппроксимируемому динамическому ряду применяют несколько формальных критериев: сумма квадратов отклонений значений тренда от фактических значений, значение коэффициента детерминации и т. д.

4) Анализ остаточной компоненты динамического ряда.

5) Выбор функции тренда. Результатом предшествующих этапов является построение нескольких функций тренда для одного показателя. Выбор лучшей осуществляется путем сопоставления значений, возможностей экономической интерпретации и использования в прогнозировании.

Метод подбора функций – один из распространенных методов экстраполяции. Главным этапом экстраполяции тренда является выбор оптимального вида функции, описывающей эмпирический ряд. Для этого проводятся предварительная обработка и преобразование исходных данных с целью облегчения выбора вида зависимости путем сглаживания и выравнивания временного ряда.

Метод линейной экстраполяции. Сущность метода заключается в том, что прогнозные величины определяются на основе среднего прироста (снижения) исследуемого показателя за определенный период времени.

Метод наименьших квадратов позволяет подогнать функцию под некоторый набор численных значений и построить график функции по некоторой совокупности точек. Выбор этой функции считается наилучшим, если стандартное отклонение определяемое формулой, стремится к минимуму

E = (d_t – d’_t)² min,

где d_t – фактические данные,

d’_t – данные рассчитанной функции.

Как правило, используется линейная функция Y = a + bx. Задача состоит в том, чтобы определить значения а и b, где а – значение Y в базисном периоде, b – угол наклона прямой.

Чтобы определить значения a и b используется система уравнений

Y = Na + b

Y = a + b x² ,

где N – число периодов

х – номер периода.

В отдельных случаях лучшего соответствия теоретических данных эмпирическим можно достигнуть вычерчивая по точкам кривой сглаживания вида
Y = ab^x, т. е. используя показательную функцию.

Если показательное уравнение логарифмировать, то значения коэффициентов а и b можно определить методом наименьших квадратов

log Y = log a + x× log b.

log a и log b находят, решая нормальные уравнения:

log Y = N log a + x log b.

x log Y = x log a + x² log b.

Метод скользящей средней. При подготовке прогноза методом скользящей привязки число периодов, по которым производится суммирование фактических данных, несколько больше того числа, которое было установлено и которое желательно иметь для проведения необходимых расчетов. Необходимость выравнивания сезонных колебаний требует, чтобы суммарная продолжительность всех периодов была равна 1 году. Выравнивание сезонных колебаний происходит в силу того, что крайние значения тренда имеют тенденцию к взаимному погашению. Вовлечение в расчет скользящей средней большего числа временных периодов увеличивает эффект сглаживания и одновременно уменьшает чувствительность прогноза к данным последних периодов.

Движение скользящей средней во времени дает возможность учесть самую последнюю информацию и отказаться от использования более старых данных. Использование скользящей средней позволит подготовить качественный прогноз только тогда, когда данные будут относительно стабильны.

Индекс сезонных колебаний, вычисленный на основе скользящей средней, дает возможность улучшить качество прогноза. Индекс получают путем деления объема фактического производства в соответствующем периоде на величину центрированной скользящей средней за тот же период. Повысить надежность можно за счет усреднения значения нескольких индексов общих временных периодов.

Метод экспоненциального сглаживания. При экспоненциальном сглаживании в равенство вводится постоянный коэффициент сглаживания , придающий больший вес последним данным. Уравнение прогноза, учитывающее экспоненциальное сглаживание, записывается в виде

F_n = Y_n-1 + (1 – )F_n-1,

где F_n – прогноз предстоящего периода;

F_n-1 – прогноз на текущий год;

– коэффициент сглаживания;

Y_n-1 – фактический объем прогнозируемого показателя в текущем году.

Коэффициент находится в интервале от 0 до 1.Чувствительность к происходящим изменениям повышается с увеличением коэффициента сглаживания и уменьшением числа рассматриваемых периодов (N). Связь между и N описывается отношением = .

Поэтому если нас не устраивает найденное количество периодов N, то мы легко можем найти значение , которое нас устроит.

4.3.6 Имитационное моделирование в планировании и

Прогнозировании экономики

Моделирование предполагает конструирование модели на основе предварительного изучения объекта или процесса, выделения его существенных характеристик или признаков. Прогнозирование социально-экономических процессов с использованием моделей включает разработку модели, ее экспериментальный анализ, сопоставление результатов прогнозных расчетов на основе модели с фактическими данными состояния объекта или процесса, корректировку и уточнение модели.

В зависимости от уровня управления социально-экономическими процессами различают макроэкономические, межотраслевые, межрайонные, отраслевые, региональные модели и модели микроуровня (модели развития фирмы).

По аспектам развития экономики выделяют модели прогнозирования воспроизводства основных фондов, трудовых ресурсов, цен и др. Существует ряд других признаков классификации моделей: временной, факторный, транспортный, производственный.

К матричным моделям относятся модели межотраслевого баланса (МОБ): статические и динамические. Статистические предназначены для проведения прогнозных макроэкономических расчетов на краткосрочный период (год, квартал, месяц), динамические – для расчетов развития экономики страны на перспективу. Они отражают процесс воспроизводства в динамике и обеспечивают увязку прогноза производства продукции (услуг) с инвестициями.

Модели оптимального планирования используются для определения оптимального варианта функционирования экономики в целом и ее отдельных звеньев. Экономико-математическая модель представляет собой формализованное описание экономического процесса и состоит из целевой функции и системы ограничений. Целевая функция описывает цель оптимизации и представляет собой зависимость показателя, по которому ведется оптимизация, от независимых переменных. Влияние каждой из переменных на величину целевой функции выражается коэффициентом – значением показателя, экстремум которого используется в качестве критерия оптимальности.

Экономико-статистические модели используются для установления количественной характеристики связи, зависимости и взаимообусловленности экономических показателей. Система такого рода моделей включает: одно-, многофакторные и эконометрические модели. Многофакторные модели позволяют одновременно учитывать воздействие нескольких факторов на уровень прогнозируемого показателя. Они используются при прогнозировании макроэкономических показателей, показателей спроса на продукцию, себестоимости, цен, прибыли и др.

Эконометрической моделью называют систему регрессионных уравнений и тождеств, описывающих взаимосвязи и зависимости основных показателей развития экономики. Система экономико-математических моделей эконометрического типа служит для описания сложных социально-экономических процессов. Факторы (переменные) эконометрической модели подразделяются на экзогенные (внешние) и эндогенные (внутренние). Экзогенные переменные выбираются так, чтобы они оказывали влияние на моделируемую систему, а сами ее влиянию не подвергались. Они могут вводиться в модель на основе экспертных оценок. Эндогенные переменные определяются путем решения стохастических и тождественных уравнений. Для каждой эндогенной переменной методом наименьших квадратов оценивается несколько вариантов регрессионных уравнений и выбирается лучший для включения в модель.

Отличительными признаками моделей являются: комплексность, наличие большого числа учитываемых переменных и параметров, большой объем и степень неопределенности исходной информации, возможность недостоверности исходных данных, большая длительность реализации проекта и связанного с этим периода моделирования, возможность существенных изменений общеэкономических факторов за период моделирования. Модели, обладающие данными свойствами, реализованные на компьютерах, называются имитационными. Они служат основным инструментом решения проблемы многовариантности.

Имитационная модель представлена совокупностью

– уравнений функционирования системы;

– показателей качества функционирования системы;

– детерминированных составляющих входных параметров;

– функций распределения вероятностей случайных величин или характеристик случайных функций, входящих в уравнения функционирования системы.

Цель имитационного моделирования состоит в воспроизведении поведения исследуемой системы на основе результатов анализа наиболее существенных взаимосвязей между ее элементами. Имитационные модели позволяют воспроизводить реальные процессы и предвидеть результаты различных действий. Например, имитационную модель оптимизационного процесса можно представить как систематическое изменение значений управляемых переменных с последующим получением результатов прогноза и их анализа.

Модели принятия решений основываются на теории игр и применяются в условиях неопределенности или в ситуациях, когда интересы сторон не совпадают. Каждая из сторон принимает решения, т. е. выбирает такую стратегию действий, которая, с их точки зрения, обеспечивает наибольший выигрыш или наименьший проигрыш. Причем каждой из сторон ясно, что результат зависит не только от собственных действий, но и от действий партнеров, например, противоборство конкурентов в процессе борьбы за рынок сбыта конкретного вида продукции. С учетом этого, управленческие решения принимаются в соответствии с одним из следующих критериев:

1) критерий maximax (оптимизма) – определяется вариант, который максимизирует максимальный результат для каждого варианта развития системы;

2) критерий maximin (пессимизма) – определяется вариант, который максимизирует минимальный результат для каждой альтернативы развития системы; В соответствии с данным подходом возможен выбор по

- критерию Вальда, в соответствии с которым оптимальным считается вариант, при котором гарантируется выигрыш не меньший чем нижняя цена варианта со случаем

a = max_i min_ja_ij;

– критерию Сэвиджа, при котором выбор оптимального решения ориентируется не на выигрыш, а на риск. Риск в данном случае определяется как плата за отсутствие информации, т. е. разность между выигрышем при известной стратегии случая и выигрышем в ситуации, когда эта стратегия неизвестна;

– критерию Гурвица, при котором выбирается вариант, исходя из условия

H = max_j{qmin_ia_ij + (1 – q)max_ia_ij};

3) критерий безразличия – выявляется вариант с максимальным средним результатом.

В имитационном моделировании широко используется теория игр – раздел прикладной математики, с помощью которого устанавливают оптимальную стратегию поведения субъекта в конфликтных ситуаций, под которыми понимают ситуацию столкновения интересов двух или более сторон, преследующих различные цели. Каждый из участников конфликта может оказывать некоторое влияние на ход событий, но не имеет возможности полностью им управлять.

Математическая модель должна описать множество заинтересованных сторон; возможные действия каждой стороны; интересы сторон, представленные функциями выигрыша для каждого из игроков.

В теории игр предполагается, что функции выигрыша и множество стратегий, доступных каждому из игроков, общеизвестны.

Игры классифицируются, основываясь на том или ином принципе.

По числу игроков (2, 3 и т. д. игрока).

По количеству стратегий:

– конечные;

– бесконечные.

По свойствам функций:

– игры с нулевой суммой (выигрыш одного игрока равен проигрышу другого);

– игры с постоянной разностью (игроки и выигрывают и проигрывают одновременно, так что им выгодно действовать сообща);

– игры с ненулевой суммой (имеются и конфликты и согласованные действия).

По возможности предварительных переговоров между игроками выделяют кооперативные и некооперативные.

В экономических задачах количество вариантов велико и поэтому выбрать оптимальный вариант сложно. В теории массового обслуживания для этого используется теория очереди.

В данном случае предполагается, что заявки на элементарные операции приходят в случайные моменты времени и обслуживаются в течение случайных промежутков времени. Поэтому необходимо изучить статистику поступления заявок и сроков их выполнения и разработать модель данного процесса.

Метод Монте-Карло – имитация массового процесса путем вычисления его хода, в котором случайные колебания определяются с помощью жребия или таблицы случайных чисел. Распределение вероятностей может задаваться в виде формул, таблиц, кривых.

Если имеется модель парной регрессии, в которой y связан с х следующей зависимостью:

Y = + x + u,

можно использовать метод Монте-Карло следующим образом.

1) Выбирают истинные значения и , в каждом наблюдении выбирается значение х и используется некоторый процесс генерации случайных чисел для получения случайного фактора u в каждом из наблюдений.

2) В каждом наблюдении генерируется значение Y, используя значения , , х, u.

3) Применяется регрессионный анализ для оценивания параметров уравнения регрессии Y = a + bx с использованием только полученных указанным образом значений Y и данных для х. При этом можно определить насколько хорошими оценками для и являются а и b.

Данный метод применяется в расчетах для сложных комплексов, в которых использование классических методов вычисления практически невозможно (управление запасами, системы массового обслуживания и т. д.).

Сетевой метод

Сущность сетевого планирования состоит в составлении модели заданного объекта в виде сетевого графика, в котором отражаются взаимосвязь и длительность определенного комплекса работ. Сетевое планирование позволяет наглядно представить взаимосвязи между отдельными элементами системы, определить те работы, которые лимитируют выполнение других работ и всего плана в целом. План в данном виде планирования отражается в виде сетевого графа, т. е. сетевой модели. В сетевой модели весь комплекс мероприятий по достижению цели расчленяется на четко определенные операции, которые располагаются в технологической последовательности их выполнения во взаимной связи и завершаются промежуточными и конечными результатами.

Основные элементы сетевой модели: работа, событие, путь.

Работа – прием, действие, естественный процесс, логическая зависимость, выполняемые в неизменных условиях и приводящие к однозначно понимаемому результату. Отражается стрелкой. Различают несколько видов работы: действительная работа, ожидание, зависимость (фиктивная работа). Действительная работа – процесс, требующий затрат времени и ресурсов. Ожидание – процесс, требующий только затрат времени и не нуждающийся в использовании ресурсов. Зависимость (фиктивная работа) – логическая связь между двумя или несколькими событиями, которая не требует ни времени, ни ресурсов для своего осуществления. Этот вид работы указывает только на то, что определенное событие не может начаться без осуществления другого события. Первые два вида работы отражаются сплошной стрелкой, третий – пунктирной стрелкой. Всякая работа, кроме логической связи, является действием, которое нужно выполнить. Она может иметь характеристику затрат времени, труда, материальных и финансовых ресурсов. Главным показателем работы в сетевой модели является время, длительность ее выполнения. Поэтому над стрелкой указывается длительность выполнения работы.

Событие – однозначно понимаемый всеми результат выполнения работ. Это момент времени, определяющий возможность осуществления работы или нескольких работ. Событие является разграничителем плана работ, т. к. является результатом выполнения предшествующей работы и необходимым условием начала последующей. Продолжительность события во времени равна нулю. Событие обозначается кружком, внутри которого ставится номер события.

Событие обозначается номером или цифровым шифром. В этом случае каждая работа обозначается шифрами начального и конечного события в виде пары индексов (ij).

В зависимости от числ