Сводные индексы в агрегатной форме

Тема №8 ИНДЕКСЫ

1. Понятие и виды индексов. 1

2. Индивидуальные индексы. 4

3. Сводные индексы в агрегатной форме. 4

4. Сводные индексы в среднеарифметической и среднегармонической формах. 9

5. Построение индексных систем за ряд последовательных периодов. 10

6. Индексы постоянного и переменного состава. 12

7. Территориальные (пространственные) индексы. 13

Тесты и задачи. 16

ПРИЛОЖЕНИЯ.. 18

Понятие и виды индексов.

Индекс - это относительный показатель, который характеризует изменение исследуемого явления во времени, в пространстве или по сравнению с некоторым эталоном (планируемым, нормативным уровнем и т. п.).

Если изучаемая совокупность включает соизмеримые элемен­ты, то оценить изменение обобщающих показателей можно и без использования индексов. Например, располагая данными о при­были всех предприятий отрасли за 1999 и 2000 гг., можно рассчи­тать среднюю прибыль в расчете на одно предприятие в каждом году и вычислить темп роста средней прибыли. Располагая дан­ными о доходах населения, в анализе динамики логично исполь­зовать среднедушевые доходы. Список подобных примеров мож­но продолжить. Индексы же являются незаменимым инструмен­том исследования в тех случаях, когда необходимо сравнить во времени или в пространстве две совокупности, элементы которых являются несоизмеримыми величинами.

Например, при анализе динамики цен нельзя рассчитать сред­нюю цену, так как на потребительском рынке реализуются совер­шенно различные товары - продукты питания, одежда, мебель, транспортные средства, недвижимость. Нельзя рассчитать и сред­нюю цену продуктов, по крайней мере, из-за различных единиц измерения (килограммы, десятки, штуки, литры). Даже если рас­сматривать только продукты питания, измеряемые в килограммах, то любому человеку понятно, что «средняя цена 1 кг еды» - очень абстрактная категория, объединяющая мясо, рыбу, масло, карто­фель, фрукты, овощи и другие подчас несопоставимые продукты питания. Для анализа динамики показателей, характеризующих разнородные совокупности, и используются индексы.

Различают индексы динамические и пространственные (терри­ториальные). Динамические индексы позволяют исследовать изме­нение одной и той же совокупности во времени, на основе сравне­ния показателей за два периода и более. Пространственные индек­сы используются для сравнения показателей по двум совокупнос­тям в пространстве. Это могут быть два предприятия, два региона, две страны. Если в качестве базы сравнения используется уровень за какой-либо предшествующий период - получают динамический индекс, если же базой является уровень того же явления по другой территории - индекс пространственный.

По охвату единиц совокупности индексы делятся на индивиду­альные и сводные. Индивидуальные индексы рассчитываются по одной единице одному товару, одному виду продукции. Сводные же индексы вычисляются по товарным группам или нескольким ви­дам продукции, выпускаемым одним предприятием или всеми пред­приятиями отрасли. Сводные индексы могут быть представлены в аг­регатной, среднеарифметической или среднегармонической формах.

Рисунок 1 - Классификация экономических индексов

Индивидуальные индексы.

Простейшим показателем, используемым в индексном анализе, является индивидуальный индекс. Он характеризует изменение во времени (или в пространстве) характеристик отдельных элементов той или иной совокупности.

Так, индивидуальный индекс цены рас­считывается по формуле:

(1)

где p_i - цена товара в текущем периоде;

р₀ - цена товара в базисном периоде.

Например, если цена товара А в текущем периоде составляла 30 руб., а в базисном- 25 руб., то индивидуальный индекс цены будет равен:

или 120,0%

В данном примере цена товара А возросла по сравнению с базисным уровнем в 1,2 раза или на 20%.

Оценить изменение объемов продажи товара в натуральных еди­ницах измерения позволяет индивидуальный индекс физического объе­ма реализации:

(2)

где q_1, q₀ - количество товара, реализованное соответственно в те­кущем и базисном периодах.

Изменение объема реализации товара в стоимостном выраже­нии отражает индивидуальный индекс товарооборота:

(3)

Приведенные в качестве примеров три индивидуальных индекса взаимосвязаны между собой:

(4)

Данная взаимосвязь показывает, что изменение товарооборота складывается под воздействием динамики цены и изменения объе­ма продажи данного товара.

Индивидуальные индексы, в сущности, представляют собой от­носительные показатели динамики или темпы роста, которые по данным за несколько периодов времени могут рассчитываться в цепной или базисной формах.

Тесты и задачи

1. Индексы позволяют соизмерить социально-экономические явления:

а) в пространстве;

б) во времени;

в) в пространстве и во времени.

2. Можно ли утверждать, что индивидуальные индексы по методологии исчисления адекватны темпам роста?

а) можно;

б) нельзя.

3. Сводные индексы позволяют получить обобщающую оценку изме­нения:

а) по товарной группе;

б) одного товара за несколько периодов.

4. Является ли средний арифметический индекс разновидностью агре­гатной формы индексов?

а) является;

б) не является.

5. Может ли в отдельных случаях средний гармонический индекс рас­считываться по средней гармонической невзвешенной?

а) может;

б) не может.

6. Может ли средний гармонический индекс быть меньше минимально­го из осредняемых индивидуальных индексов?

а) да;

б) нет.

7. Какие индексы обладают свойством мультипликативности?

а) цепные с переменными весами;

б) цепные с постоянными весами;

в) базисные с переменными весами.

8. Являются ли цепные индексы с переменными весами индексами Пааше?

а) являются;

б) не являются.

9. Индексы переменного состава рассчитываются:

а) по товарной группе;

б) по одному товару.

10. Может ли индекс переменного состава превышать индекс фиксиро­ванного состава?

а) может;

б) не может.

11. По имеющимся в таблице данным о цене на товар определите недо­стающие значения показателей:

12. Имеются следующие данные о реализации мясных продуктов на го­родском рынке:

Рассчитайте сводные индексы цен, физического объема реализации и товарооборота.

13. Определите, как изменился физический объем реализации потреби­тельских товаров предприятиями розничной торговли города в текущем периоде по сравнению с предшествующим, если товарооборот возрос на 12,3%, а цены повысились на 3,7%.

14. Имеются следующие данные о реализации молочных продуктов пред­приятиями розничной торговли:

Рассчитайте сводные индексы цен, товарооборота и физического объе­ма реализации.

15. Имеются следующие данные о реализации картофеля на рынках го­рода:

Рассчитайте: а) индекс цен переменного состава; б) индекс цен фикси­рованного состава; в) индекс структурных сдвигов.

ПРИЛОЖЕНИЯ

Индекс Ласпейреса и Пааше - Приложение 1

Система индексов - Приложение 2

Системы индивидуальных индексов - Приложение 3

[1] Сводный индекс цен можно получить и методом Ласпейерса, фиксируя количе­ство проданного товара на базисном уровне.

[2] Сводный индекс физического объема можно получить и методом Пааше, фиксируя количе­ство проданного товара на текущем уровне.

Тема №8 ИНДЕКСЫ

1. Понятие и виды индексов. 1

2. Индивидуальные индексы. 4

3. Сводные индексы в агрегатной форме. 4

4. Сводные индексы в среднеарифметической и среднегармонической формах. 9

5. Построение индексных систем за ряд последовательных периодов. 10

6. Индексы постоянного и переменного состава. 12

7. Территориальные (пространственные) индексы. 13

Тесты и задачи. 16

ПРИЛОЖЕНИЯ.. 18

Понятие и виды индексов.

Индекс - это относительный показатель, который характеризует изменение исследуемого явления во времени, в пространстве или по сравнению с некоторым эталоном (планируемым, нормативным уровнем и т. п.).

Если изучаемая совокупность включает соизмеримые элемен­ты, то оценить изменение обобщающих показателей можно и без использования индексов. Например, располагая данными о при­были всех предприятий отрасли за 1999 и 2000 гг., можно рассчи­тать среднюю прибыль в расчете на одно предприятие в каждом году и вычислить темп роста средней прибыли. Располагая дан­ными о доходах населения, в анализе динамики логично исполь­зовать среднедушевые доходы. Список подобных примеров мож­но продолжить. Индексы же являются незаменимым инструмен­том исследования в тех случаях, когда необходимо сравнить во времени или в пространстве две совокупности, элементы которых являются несоизмеримыми величинами.

Например, при анализе динамики цен нельзя рассчитать сред­нюю цену, так как на потребительском рынке реализуются совер­шенно различные товары - продукты питания, одежда, мебель, транспортные средства, недвижимость. Нельзя рассчитать и сред­нюю цену продуктов, по крайней мере, из-за различных единиц измерения (килограммы, десятки, штуки, литры). Даже если рас­сматривать только продукты питания, измеряемые в килограммах, то любому человеку понятно, что «средняя цена 1 кг еды» - очень абстрактная категория, объединяющая мясо, рыбу, масло, карто­фель, фрукты, овощи и другие подчас несопоставимые продукты питания. Для анализа динамики показателей, характеризующих разнородные совокупности, и используются индексы.

Различают индексы динамические и пространственные (терри­ториальные). Динамические индексы позволяют исследовать изме­нение одной и той же совокупности во времени, на основе сравне­ния показателей за два периода и более. Пространственные индек­сы используются для сравнения показателей по двум совокупнос­тям в пространстве. Это могут быть два предприятия, два региона, две страны. Если в качестве базы сравнения используется уровень за какой-либо предшествующий период - получают динамический индекс, если же базой является уровень того же явления по другой территории - индекс пространственный.

По охвату единиц совокупности индексы делятся на индивиду­альные и сводные. Индивидуальные индексы рассчитываются по одной единице одному товару, одному виду продукции. Сводные же индексы вычисляются по товарным группам или нескольким ви­дам продукции, выпускаемым одним предприятием или всеми пред­приятиями отрасли. Сводные индексы могут быть представлены в аг­регатной, среднеарифметической или среднегармонической формах.

Рисунок 1 - Классификация экономических индексов

Индивидуальные индексы.

Простейшим показателем, используемым в индексном анализе, является индивидуальный индекс. Он характеризует изменение во времени (или в пространстве) характеристик отдельных элементов той или иной совокупности.

Так, индивидуальный индекс цены рас­считывается по формуле:

(1)

где p_i - цена товара в текущем периоде;

р₀ - цена товара в базисном периоде.

Например, если цена товара А в текущем периоде составляла 30 руб., а в базисном- 25 руб., то индивидуальный индекс цены будет равен:

или 120,0%

В данном примере цена товара А возросла по сравнению с базисным уровнем в 1,2 раза или на 20%.

Оценить изменение объемов продажи товара в натуральных еди­ницах измерения позволяет индивидуальный индекс физического объе­ма реализации:

(2)

где q_1, q₀ - количество товара, реализованное соответственно в те­кущем и базисном периодах.

Изменение объема реализации товара в стоимостном выраже­нии отражает индивидуальный индекс товарооборота:

(3)

Приведенные в качестве примеров три индивидуальных индекса взаимосвязаны между собой:

(4)

Данная взаимосвязь показывает, что изменение товарооборота складывается под воздействием динамики цены и изменения объе­ма продажи данного товара.

Индивидуальные индексы, в сущности, представляют собой от­носительные показатели динамики или темпы роста, которые по данным за несколько периодов времени могут рассчитываться в цепной или базисной формах.

Сводные индексы в агрегатной форме

Агрегатная форма является исходной формой выражения свод­ного индекса. При расчете агрегатного индекса для разнородной совокупности находят такой общий показатель, в котором можно объединить все ее элементы. Вернемся к примеру с розничными це­нами. Цены различных товаров, реализуемых в розничной торгов­ле, складывать неправомерно, однако, с экономической точки зре­ния, вполне допустимо суммировать товарооборот по этим това­рам. Если мы сравним товарооборот по видам товаров в текущем периоде с его величиной в базисном периоде, то получим сводный индекс товарооборота:

(5)

где p_i1 и p_i0 - цена, a q_i1 и q_i0 - объем продаж i-го товара соответ­ственно в текущем и базисном периодах.

Числитель данного индекса представляет собой товарооборот текущего периода (сумма цен различных товаров, умноженных на объемы их реализации), знаменатель - товарооборот предшеству­ющего периода.

На величину индекса товарооборота оказывают влияние как изменение цен на товары, так и изменение объемов их реализации. Для того, чтобы оценить изменение только цен (индексируемой ве­личины), необходимо количество проданных товаров (веса индек­са) зафиксировать на каком-либо постоянном уровне. При иссле­довании динамики таких показателей как цена, себестоимость, про­изводительность труда, урожайность количественный показатель обычно фиксируют на уровне текущего периода. Таким способом получают сводный индекс цен (индекс цен Пааше):

(6)

Числитель данного индекса содержит фактический товарообо­рот текущего периода. Знаменатель же представляет собой услов­ную величину, показывающую, каким был бы товарооборот в те­кущем периоде при условии сохранения цен на базисном уровне. Поэтому соотношение этих двух категорий и отражает имевшее место изменение цен[1].

Индекс цен Пааше показывает, насколько товары в текущем пе­риоде подорожали (подешевели) по сравнению с базисным перио­дом, а индекс цен Ласпейерса показывает, во сколько раз товары базисного периода дороже (дешевле) в результате изменений цен в отчетном периоде. Как правило, индекс цен, рассчитанный по фор­муле Пааше, несколько занижает, а по формуле Ласпейерса - завы­шает темпы инфляции.

Третьим индексом в данной индексной системе является свод­ный индекс физического объема реализации. Он характеризует изме­нение количества проданных товаров не в денежных, а в физичес­ких единицах измерения:

(7)

Весами в данном индексе выступают цены, которые фиксируют­ся на базисном уровне (Индекс физического объема Ласпейреса)[2].

Между рассчитанными индексами также существует взаимосвязь:

(8)

Пример 1

Имеются данные (табл. 1) о реализации плодово-ягодной продукции в области. Требуется определить индекс това­рооборота.

Рассчитаем индекс товарооборота:

Мы получили, что товарооборот в целом по данной товарной группе в текущем периоде по сравнению с базисным уменьшился на 3,1%(100%-96,9%).

Таблица 1 - Данные о реализации продукции

Наименование товара (i)	Июль	Август	Расчетные графы, тыс. руб.
Цена за 1 кг, руб. (pi0)	Продано, т (qi0)	Цена за 1 кг, руб. (pi1)	Продано, т (qi1)	(pi0qi0)	(pi1qi1)	(pi0qi1)
Черешня (1)
Персики (2)
Виноград (3)
Итого

Вычислим сводный индекс цен (6):

По данной товарной группе цены в августе по сравнению с июлем в среднем снизились на 10,8 %.

Числитель и знаменатель сводного индекса цен можно интер­претировать с точки зрения потребителей. Числитель представляет собой сумму денег, фактически уплаченных покупателями за при­обретенные в текущем периоде товары. Знаменатель же показыва­ет, какую сумму покупатели заплатили бы за те же товары, если бы цены не изменились. Разность числителя и знаменателя (Е) будет отражать величину экономии («-») или перерасхода («+») покупа­телей от изменения цен:

Индекс физического объема реализации рассчитывается по фор­муле (7):

Физический объем реализации (товарооборота) увеличился на 8,6%.

Используя взаимосвязь индексов, проверим правильность вычис­лений:

Отметим, что объем товарной группы при расчете этих и после­дующих индексов значения не имеет. Аналогичные расчеты могут быть выполнены для любой товарной группы.

Мы рассмотрели применение агрегатных индексов в анализе то­варооборота и цен. При анализе результатов производственной де­ятельности промышленного предприятия приведенные выше свод­ные индексы соответственно называются индексом стоимости про­дукции, индексом оптовых цен и индексом физического объема продукции.

Рассмотрим применение индексного метода при анализе изме­нения затрат на производство и себестоимость продукции. Для опре­деления общего изменения уровня себестоимости нескольких ви­дов продукции, выпускаемых предприятием, рассчитывается сводный индекс себестоимости. При этом себестоимость взвешивается по объе­му производства отдельных видов продукции текущего периода:

(9)

где z_i1 и z_i0 - себестоимость i-гo вида продукции соответственно в текущем и базисном периодах.

Числитель этого индекса отражает затраты на производство те­кущего периода, а знаменатель - условную величину затрат при сохранении себестоимости на базисном уровне. Разность числите­ля и знаменателя показывает сумму экономии или потерь предпри­ятия от изменения себестоимости:

Е (10)

Сводный индекс физического объема продукции, взвешенный по себестоимости, имеет следующий вид:

(11)

Третьим показателем в данной индексной системе является свод­ный индекс затрат на производство:

(12)

Все три индекса взаимосвязаны между собой соотношением:

Еще одна область применения индексного метода - анализ из­менений в производительности труда. При этом возможны два под­хода к расчету индексов. Первый основан на учете количества про­дукции, вырабатываемого в единицу времени (w). При таких расче­тах необходимо решить ряд методологических проблем - какой именно показатель продукции использовать, как оценивать продук­цию работников непроизводственных отраслей и пр.

При втором подходе производительность труда определяется затратами рабочего времени на единицу продукции (t). На практи­ке эти расчеты также сопряжены с определенными трудностями, так как не всегда имеется возможность оценить вклад конкретного ра­ботника в производство того или иного изделия.

Количество продукции w, вырабатываемое в единицу времени (в натуральном выражении), и затраты времени t на единицу про­дукции взаимосвязаны между собой:

Например, если работник на каждое изделие затрачивает 15 мин (t= 0,25 ч), то за час его выработка составит 4 изделия. Отметим, что выработка может измеряться не только в натуральном, но и в стоимостном выражении (pq).

Индивидуальные индексы производительности труда, основанные на этих показателях, имеют следующий вид:

(13)

(14)

где Т - суммарные затраты времени на выпуск данной продукции в чел.-ч, чел.-днях или чел.-мес. (в последнем случае соответствует общей численности работников).

Трудоемкость является обратным показателем, поэтому сниже­ние трудоемкости в текущем периоде по сравнению с базисным сви­детельствует о росте производительности труда.

Располагая данными о трудоемкости различных видов продук­ции (i = 1,2,..., n) и объемах их производства, можно рассчитать сводный индекс производительности труда (по трудоемкости):

(15)

Знаменатель этого индекса отражает реально имевшие место общие затраты времени на выпуск всей продукции в текущем пери­оде (Т₁). Числитель представляет собой условную величину, пока­зывающую какими были бы затраты времени на выпуск этой про­дукции, если бы трудоемкость не изменилась.

Пример 2

По данным о производительности труда на пред­приятии (табл. 2) определить индекс производительности труда.

Рассчитаем сводный индекс производительности труда по тру­доемкости (15):

Мы получили, что прирост производительности труда в целом по предприятию составил 13,9%.

Таблица 2 - Данные об объемах производства и производительности труда

Вид продукции (i)	Затраты времени на 1 изделие, чел.-ч	Произведено, шт.	Расчетные графы, чел.-ч
январь (ti0)	февраль (ti1)	январь (qi0)	февраль (qi1)	(ti0qi1)	(ti1qi1)
Изделие 1	1,0	0,9			450,0	405,0
Изделие 2	1,2	1,0			388,8	324,0
Изделие 3	0,9	0,8			676,8	601,6
Итого	1515,6	1330,6

При расчете сводного индекса производительности труда в сто­имостном выражении (по выработке) необходимо количество про­дукции, произведенной за каждый период, взвесить по каким-либо ценам, принятым за сопоставимые. В качестве сопоставимых мо­гут выступать цены текущего или базисного периода, какого-либо другого периода или средние цены. Индекс в этом варианте рас­считывается по формуле:

(16)

Первая часть этой формулы представляет собой среднюю выра­ботку в отчетном периоде, вторая часть - в базисном.

Пример 3

Имеются данные (табл. 3) о производстве продукции и отпускных ценах предприятия.

Таблица 3

Вид продукции (i)	Сентябрь	Октябрь	Отпускная цена, тыс. руб. (pi)	Расчетные графы, тыс. руб.
Произве­дено, шт. (qi0)	Трудовые затраты, чел.-ч (Тi0)	Произве­дено, шт. (qi1)	Трудовые затраты, чел.-ч (Тi1)	(qi0 pi)	(qi1 pi)
Изделие 1
Изделие 2
Изделие 3
Итого	х		х		х

Вычислим индекс производительности труда (16):

Мы получили, что в текущем периоде за 1 чел.-ч вырабатыва­лось 65,8 тыс. руб. продукции, а в базисном - 64,4 тыс. руб. Поэто­му прирост производительности труда составил 2,2%.

Умножение индекса производительности труда по выработке на индекс затрат рабочего времени дает индекс физического объема про­дукции, взвешенный по цене:

или