Оценка риска при разработке управленческих решений
Управление риском проекта(решения) заключается не только в своевременном выявлении риска, но и составление комплекса мероприятий по минимизации потерь в случае наступления рискового события. Используя теорию управления рисками, основную формулу возможности проекта можно определить как:
Р(x) + Р(y) = 1
где:
Р(x) - вероятность негативного исхода принятого управленческого решения;
Р(y) - вероятность положительного исхода принятого управленческого решения.
Вероятность благоприятного исхода управленческого решения является определяющей в принятии решения о начале проекта. Чем меньше вероятность, тем больше риск, а значит и дороже проект. Таким образом, главной целью управления риском является увеличение вероятности получение положительного результата при реализации управленческого решения.
Рассмотрим основные понятия теории вероятностей:
- простое событие -это факт, который может произойти или не произойти в результате опыта. При этом тот или иной результат опыта может быть получен с различной степенью возможности.
- несовместимое событие– это событие, появление которого исключает появление других. Классическим примером несовместных событий является результат подбрасывания монеты – выпадение лицевой стороны монеты исключает выпадение обратной стороны (в одном и том же опыте). - достоверное событие -это событие, которое наверняка произойдет в результате опыта.
- вероятностьюсобытия называется математическая оценка возможности появления этого события в результате опыта. Вероятность события равна отношению числа, благоприятствующих событию исходов опыта к общему числу попарно несовместных исходов опыта, образующих полную группу событий. Данное определение записывается следующим образом:
; nm AP) (
Где:
m – исходы, благоприятствующие событию;
n – общее число исходов.
Исход опыта является благоприятствующим событию, если появление в результате опыта этого исхода влечет за собой появление события. В таком случае, говорят, что вероятность достоверного события равна единице, а вероятность невозможного – равна нулю.
Нередко вероятность события описывают несколько иначе – как предел относительной частоты появления исхода ωi в процессе неограниченного увеличения числа случайных экспериментов n:
n m P P i n n i i lim
где :
mn(ωi) – число случайных экспериментов (из общего числа n произведенных случайных экспериментов), в которых зарегистрировано появление элементарного исхода wi.
- относительная частота -это отношение числа опытов, в результате которых произошло событие к общему числу опытов.
Отличие относительной частоты от вероятности заключается в том, что вероятность вычисляется без непосредственного произведения опытов, а относительная частота – после опыта. При достаточно большом числе произведенных опытов относительная частота изменяется мало, колеблясь около одного числа. Это число может быть принято за вероятность события.
При исследовании вероятности возникновения риска, наиболее часто рассматриваются такие показатели, как математическое ожидание (М(Х)), дисперсию (D(X)) и среднеквадратичное отклонение (σ). Подобный набор показателей объясняется прежде всего несколькими причинами:
- необходимость формирования мнения экспертов в возможных рисках;
- составление параметров инновационного проекта, например, таких как затраты на реализацию проекта, объем сбыта инновационной продукции;
Все это позволяет составить несколько вариантов реализации проекта, с оценкой вероятности тех или иных событий. Приведенные выше способы оценки дают наиболее полный анализ на основе полученных материалов.
А. И. Орлов, в работе «Математика случая…»5 приводит следующее описание математического ожидания случайной величины:
5 Орлов А. И. «Математика случая: вероятность и статистика – основные факты», М, МЗ- Пресс, 2004г
k i i i x p Х М 1 ) (
Пример: Вычислите математическое ожидание числа (М(Х), выпавшего на верхней грани игрального кубика.
Используя формулу математического ожидания, получим:
Согласно данному описанию, математическое ожидание случайной величины– это взвешенная сумма значений случайной величины с весами, равными вероятностям соответствующих элементарных событий. Математическое ожидание является одним из важнейших понятий теории вероятности, поскольку может служить в качестве усредненной оценки случайной величины. С его помощью можно прогнозировать оценку значения некоторого случайного признака при наличии достаточно большого числа наблюдений. Фундаментальным свойством математического ожидания является то, что среднее значение любой случайной величины при достаточно большом количестве опытов будет стремиться к своему математическому ожиданию.
При вычислении математического ожидания случайной величины полезны следующие его свойства:
- математическое ожидание константы равно этой константе, M(С) = С;
- математическое ожидание — линейная функция случайной величины, т.е. при произвольных постоянных a и b справедливо: M(ax +by ) = aMx + bMy;
- математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т.е. M(xy ) = Mx My;
Как видно из приведенного материала, математическое ожидание показывает, вокруг какой точки группируются значения случайной величины. Однако, для качественного проведения анализа необходимо измерить изменчивость случайной величины относительно математического ожидания. Для этого необходимо рассчитать дисперсию случайной величины:
2 2 ) () (X MX M X D
Рассмотрим некоторые свойства дисперсии случайной величины, используемых при принятии решений. Наиболее полно данные свойства рассмотрены в работах В. Е. Гмурмана, Н. Ш. Кремера и А. И. Орлова:
1) Если Х – случайная величина, а и b – некоторые числа и Y = aX + b. Тогда D(Y) = a2D(X).
Доказательство:
Если:
b XaMYM) () (
Тогда:
} )) ( ( { } ) ) ( {( } ) ( {( ) ( 2 2 2 2 X M X a M b X aM b aX M Y M Y M Y D
Поскольку постоянный множитель можно выносить за знак суммы, то:
) ( } )) ( {( } )) ( ( { 2 2 2 2 2 X D a X M X M a X M X a M
Данное свойство позволяет выявить, как меняется дисперсия результата наблюдений при изменении начала отсчета и единицы измерения. Оно дает правило преобразования расчетных формул при переходе к другим значениям параметров сдвига и масштаба.
2) Если случайные величины Х и Y независимы, то:
) () () (YDXDYX D6
Для доказательства воспользуемся известной из школьного курса альгебры формулой:
2 2 2 2) (b ab a ba
Пусть а = X-M(X), b = Y-M(Y), тогда:
2 2 2 )) (()) ())(((2) (()) () (((YMY YMY X MX X MX YMX MY X
Из определения дисперсии следует, что:
))} ())(({(2) () () (YMY XMX MYDXDYX D
Тогда:
)) (())(())} ())(({(YMY MXMX MYMY XMX M
Поскольку M(Х–М(Х)) = 0, то правая часть последнего равенства равна 0, откуда с учетом двух предыдущих равенств и следует доказательство рассматриваемого утверждения.
3) Пусть X1, X2,…, Xk – попарно независимые случайные величины (т.е. Xi и Xj независимы, если i ≠ j. Пусть Yk – их сумма, Yk = X1+ X2+…+ Xk. Тогда математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых, М(Yk) = М(X1)+ М(X2)+…+М(Xk), дисперсия суммы равна сумме дисперсий слагаемых, D(Yk) = D(X1)+D(X2)+…+D(Xk).
Для доказательства данного утверждения А. И. Орлов предлагает воспользоваться следующим свойством символа суммирования:
k j k i j i k i j k i i k i i a a a a a 1 ,1 1 1 2 1
Если ai = Xi – M(Xi), тогда:
k j k i j i i i k k X M X X M X X M X M X M X M X X X 1 ;1 2 2 2 1 2 1 )) ( ))( ( ( )) ( ... ) ( ) ( ) ( ... (
Согласно утверждению, о том, что математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий, получаем: 64
k j k i i i i i k X M X X M X M Y D 1 ;1 ))} ( ))( ( {( ) (
Как показано при доказательстве предыдущего свойства, из попарной независимости рассматриваемых случайных величин следует, что
0 ))} ( ))( ( {( j j i i X M X X M X M
При j i
Тогда остаются только члены с i=j, а они равны как раз D(Xi).
Отрицательной чертой дисперсии является ее размерность в виде квадрата. Это создает определенные трудности, и чтобы их избежать вводят понятие среднеквадратичного отклонения – σ, которое равно корню из дисперсии, т.е:
) (X D
Вычисление среднеквадратичного отклонения необходимо не только для того, чтобы снять квадрат при расчете дисперсии, но и для сглаживания погрешности при вычислении и получения более точных данных.
Данные понятия позволяют сформулировать ключевой закон теории вероятностей – Закон больших чисел. Данный закон имеет несколько трактовок и вариантов написания. Закон больших чиселможно определить как общий принцип, в силу которого совместное действие случайных факторов приводит при некоторых весьма общих условиях к результату, почти не зависящему от случая. Первым примером действия этого принципа может служить сближение частоты наступления случайного события с его вероятностью при возрастании числа испытаний (часто использующееся на практике, например, при использовании частоты встречаемости какого-либо качества респондента в выборке как выборочной оценки соответствующей вероятности).
Основой закона является теорема Чебышева, согласно которой величины Х1, Х2,…, Хk попарно независимы и существует число С такое, что дисперсии всех этих случайных величин не превосходят С, т.е. D(Xi)<C при всех i = 1, 2, …, k. Тогда для любого положительного ε выполнено неравенство: 2 2 1 2 1 ) ( ... ) ( ) ( ... kC k X M X M X M k X X X P k k
Правая часть неравенства, а вместе с ней и левая, при возрастании k и фиксированных С и убывает, приближаясь к 0. Следовательно, вероятность того, что среднее арифметическое независимых случайных величин отличается от своего математического ожидания менее чем на ε, приближается к 1 при возрастании числа случайных величин, причем при любом ε.
Частным случаем теоремы Чебышева является теорема Бернулли – первый в истории вариант закона больших чисел - если m – число наступлений события А в k независимых (попарно) испытаниях, и р есть вероятность наступления события А в каждом из испытаний. Тогда при любом справедливо неравенство:
2 1k p p p km P
При росте k выражения в правых частях формул Чебышева и Бернулли стремятся к 0. Таким образом, среднее арифметическое попарно независимых случайных величин сближается со средним арифметическим их математических ожиданий.
Описанные неравенства и свойства применимы в пространствах элементарных событий из конечного числа элементов. Однако в условие закона больших чисел необходимо добавить требование существования дисперсий. Если существуют дисперсии, то существуют и математические ожидания. В таком случае, закон больших чисел в форме Чебышёва можно описать следующим образом:
Если Х1, Х2,…, Хk ,… - последовательность попарно независимых случайных величин, имеющих конечные дисперсии, ограниченные одной и той же постоянной,
,... ) ( ,... ) ( , ) ( 2 1 C X D C X D C X D k
то, каково бы ни было постоянное ε > 0,
1 1 1 lim 1 1 k j j k j j k MX n X n P С точки зрения прикладной статистики ограничение дисперсии вполне понятно и происходит, например, из ограниченности диапазона изменения практически всех величин, используемых при реальных расчетах.