ЗАДАЧА 7 «Оценка согласованности мнений экспертов»

Условие. Результаты ранжирования шести управленческих решений (объектов оценки) пятью экспертами представлены в табл. 7.1.

Таблица 7.1 - Результаты ранжирования m = 6 объектов d = 5 экспертами

(r_ij - ранг i-го объекта / решения, присвоенный j-м экспертом)

\ Эксперты Решение(объект)\	Э1	Э2	Э3	Э4	Э5	Итого
Y1			1,5			7,5
r11	r12	r13	r14	r15
Y2	2,5		1,5	2,5		9,5
r21	r22	r23	r24	r25
Y3	2,5			2,5
r31	r32	r33	r34	r35
Y4			4,5	4,5
r41	r42	r43	r44	r45
Y5			4,5	4,5	5,5	23,5
r51	r52	r53	r54	r55
Y6					5,5	29.5
r61	r62	r63	r64	r65
Всего / среднее: 105 / 17,5

Требуется оценить согласованность мнений экспертов.

Методические рекомендации по решению. Согласованность оценок экспертов характеризуется двумя показателями: величиной коэффициента конкордации W и наблюдаемым распределением частот (расчетной вероятностью) f².

Дисперсный коэффициент конкордации W характеризует достоверность итоговой оценки (согласованность мнений экспертов и сходимость результатов); он рассчитывается по формуле:

, где (10.1)

S – сумма квадратов отклонений оценок от математического ожидания (среднего значения) суммарного ранга одного объекта:

; (10.2)

- математическое ожидание суммарного ранга одного объекта:

(10.3)

m - число объектов ранжирования (m = 6);

d - число экспертов (d = 5);

i - индекс объекта;

j - индекс эксперта;

r_i,j - ранг, присвоенный i-му объекту j-м экспертом (см. табл. 4.18);

T_j - показатель связанных рангов в ранжировке j-ro эксперта:

; (10.4)

k - номер группы связанных (равных) рангов;

H_j - число групп связанных рангов в ранжировке j-ro эксперта;

h_k - число равных рангов в k-й группе связанных рангов

Если в ранжировках совпадающих рангов нет, то все H_j = 0; h_k = 0 и, следовательно, T_j = 0; в этом случае формула 10.1 принимает вид:

.

Величина W = 1 характеризует полное совпадение мнений; W = 0 - свидетельствует, что все ранжировки разные. Показатель наблюдаемого распределения частот f² применяется для статистической проверки гипотезы согласованности экспертов путемего сравнения с теоретическим (табличным) c², найденным для принятогоуровнязначимости. Сравнение на основе «c-квадрат-критерия» (c²-критерия) позволяет сделать вывод, что если f² < c², то гипотезу о согласии экспертов следуетотвергнуть.

c² - теоретическое распределение частот получают на основе таблиц в учебниках математической статистики в соответствии с принятым уровнем значимости (5%-й уровень значимости соответст­вует 95%-мууровню достоверности) и числом степеней свободы Ö = m - 1, определяемымисходя изчисла ранжируемых объектов (наблюдений).

f² - наблюдаемое распределение частот рассчитывается поформуле:

. (10.5)

Проведем последовательный расчет значений

соответственно, по формулам 10.1-10.5 на основе заданныхисходных данных:

= 17,5;

H₁ = 1; h₁ = 2; T₁ = 2³ – 2 = 6;

H₂ = 1; h₁ = 3;, T₂ = З³ – 3 = 24;

H₃ = 2; h₁ = 2;h₂= 2; Т₃ = (2³ – 2) + (2³ – 2) = 12;

H₄ = 2; h₁ = 2; h₂ = 2; T₄ = (2³ – 2) + (2³ – 2) = 12;

H₅ = 1; h₁ = 2; T₅ = 2³ – 2 = 6;

= 0,874.

Для числа степеней свободы Ö = 6 – 1 = 5 и 5%-го уровня значимости c² = 11,07 - по таблице.

- по формуле 10.5.

Поскольку 21,8 > 11,07, то гипотеза о согласии экспертов по ранжировании принимается.

ЗАДАЧА 8

Эксперты установили, что вероятность банкротства банка (фирмы, компании) в течение предстоящего года составляет Рб = 10%. Чему равна вероятность того (Р3), что банкротство этого банка произойдет в течение трех ближайших лет? в течение одного квартала (Рк)? в течение одного месяца (Рм)?

Рекомендации по решению

Правильный ответ на первый вопрос нельзя получить простым суммированием вероятностей банкротств за три года. Для правильного ответа надо использовать теорему умножения вероятностей.

Вероятность того, что банк в течение трех лет не станет банкротом (будет благополучным и в первом, и во втором, и в третьем году), равна по теореме умножения вероятностей 0.9 × 0.9 × 0.9 = 0.729. Отсюда вероятность того, что он потерпит крах в течение трех ближайших лет, составит

Р3 = 1 – 0.729 = 0.271 или 27.1%.

Складывать уровни риска банкротства здесь нельзя по той же причине, по которой нельзя суммированием получить общее за три года снижение себестоимости, если ее ежегодное снижение равно 10%. Себестоимость за три года снизится, если правильно считать, не на 30%, а на 27.1%.

Уровень банкротства банка в течение части года, например квартала, подсчитывается так:

Рк = 1 - = 1 – 0.074 = 0.026 или 2.6%, но не 10% : 4 = 2.5%.

Уровень банкротства банка в течение только одного месяца получают следующим образом: 1 - = 1 – 0.991 = 0.009 или 0.9 %., но не 10% : 12 = 0.83%.

ЗАДАЧА 9

У банка имеются n = 10 должников. Вероятность невозврата каждым из них своего долга оценена экспертами банка на уровне р = 10%. Чему равна вероятность, что не погасят свой долг не менее m = 3 должников, т.е. не вернут долг m = 1, m = 2 или m = 3 должника из

n = 10 должников банка?

Рекомендации по решению

Здесь можно воспользоваться теоремами сложения и умножения вероятностей, но решение получится несколько громоздким. В последнем случае лучше применить формулу Бернулли:

,

где Рn(m) - вероятность наступления события m раз в n испытаниях,

р – вероятность наступления события в единичном испытании,

q - вероятность противоположного события,

- число сочетаний из n элементов по m.

Число сочетаний в свою очередь подсчитывается по формуле:

.

В нашем примере р = 0.1, q = 1 – р = 0.9, n = 10.

Найдем вероятности того, что не погасят свой долг 1, 2 и 3 должника из 10.

Р10(1) = 0.1 × 0.99 = 0.3974,

Р10(2) = 0.12 × 0.98 = 0.1937,

Р10(3) = 0.13 × 0.97 = 0.0574,

а всего 0.2898.

Здесь