Решение задач в случае, когда обе пересекающиеся фигуры занимают проецирующее положение

Решение рассмотрим на конкретном примере.

Задача : Найти проекции точки пересечения горизонтально-проецирующей плоскости S(m || n) с фронтально-проецирующей прямой а (рис. 3-7).

Рис. 3-7

Алгоритм: Так как в пересечении участвует прямая линия (а), то это - первая главная позиционная задача. Обе пересекающиеся фигуры - проецирующие относительно разных плоскостей проекций. Решение начинаем с фронтальной проекции.

1. Точка К является общим элементом плоскости S и прямой а, следовательно, КÎS и КÎа. Но, если КÎа, то К₂Îа₂, а, поскольку а₂ - это точка (главная проекция, обладающая собирательными свойствами), то К₂=а₂.
2. Находим горизонтальную проекцию точки К. Так как плоскость S на П₁ проецируется в прямую линию S₁, то К₁, как общий элемент S и а, будет располагаться на пересечении S₁ и а₁.

Выполним краткую алгоритмическую запись вышеизложенного:

S(m || n) Ç а = К; 1 ГПЗ, 1 алгоритм.

1. К Î а, а ^^ П₂ Þ К₂ = а₂.
2. К Î а, К Î S, S ^^ П₁ Þ К₁ = S₁ Ç а₁.

Таким образом, решение 1 ГПЗ по первому алгоритму заключается в следующем:

Проекции общего элемента на чертеже уже присутствуют. Они совпадают с главными проекциями проецирующих фигур. Решение сводится к их нахождению и обозначению.

Вторую главную позиционную задачу решим в соответствии с рассмотренным алгоритмом.

Задача: найти проекции линии пересечения горизонтально проецирующего цилиндра Ф с фронтально проецирующей призмой Г (рис. 3-8).

Рис. 3-8

Алгоритм: Пересекаются две поверхности, это - 2 ГПЗ. Вначале анализируем, что должно получиться в результате пересечения. Так как характер пересечения - вмятие, то общим элементом должна быть одна пространственная линия - m.

Обе фигуры проецирующие относительно разных плоскостей проекций. Следовательно, согласно 1 алгоритму, проекции общего элемента должны совпадать с главными проекциями поверхностей. На фронтальной проекции m₂ должна совпадать с Г₂. Однако, из чертежа (рис. 3-8) видно, что часть главной проекции призмы Г₂ выходит за пределы цилиндра, а это означает, что совпадение проекции линии пересечения m₂ с главной проекцией призмы Г₂ только частичное. Следовательно, нужно найти границы общей части.

На рис. 3-9 линия m₂, совпадающая с Г₂ в пределах цилиндра, выделена красным цветом – это фронтальная проекция линии пересечения поверхностей.

Аналогичные рассуждения проведём для нахождения горизонтальной проекции линии пересечения m₁. Она совпадает с главной проекцией цилиндра Ф₁ в пределах призмы.

Рис. 3-9

Алгоритмическая запись будет выглядеть следующим образом:

Ф Ç Г = m; 2 ГПЗ, 1 алгоритм.

1. m Ç Г, Г ^^ П₂ Þ m₂ = Г₂
2. m Ç F, F ^^ П₁ Þ m₁ = F₁

Проанализируем, из чего состоит линия пересечения m. Как мы уже предполагали, это пространственная линия. Она состоит из двух плоских кривых а и b (рис. 3-10, 3-11), получающихся от пересечения цилиндра двумя гранями призмы, которые на рис. 3-11 обозначены плоскостями S и L.

Плоскость L(L₂) - это горизонтальная плоскость уровня. Она параллельна окружности основания цилиндра, поэтому она пересечёт цилиндр Ф тоже по окружности. Тогда линия а есть дуга окружности, которая спроецируется на П₂ в виде прямой (а₂), а на П₁ - в натуральную величину, т.е. в виде дуги окружности (а₁).

Рис. 3-10

Плоскость S(S₂) - фронтально проецирующая и пересечёт цилиндр Ф по эллипсу. Тогда линия b есть дуга эллипса, которая спроецируется на П₂ в виде прямой (b₂), а на П₁ - в виде дуги окружности (b₁).

Таким образом, линия пересечения двух заданных поверхностей есть пространственная линия, состоящая из двух плоских кривых - дуги окружности и дуги эллипса.

Рис. 3-11

Скорректируем алгоритм решения позиционных задач в 1 случае:

Проекции общего элемента на чертеже уже есть. Они совпадают с главными проекциями проецирующих фигур. Если совпадение только частичное, то находят границы общей части. Решение сводится к их нахождению и обозначению.

2 алгоритм.