Потребная характеристическая скорость

Теория

Основные числовые показатели в задачах массового проектирования ракет-носителей

Будем различать ступени ракет и ракетные блоки ступеней. Схема трехступенчатой ракеты показана на рис.1.

Рис.2 Схема трехступенчатой ракеты

Предложено несколько методов расчета многоступенчатых ракет[1,7,9,16,18,19], а также массовых характеристик блоков и ступеней. В дальнейшем будем придерживаться массовых соотношений, впервые введенных голландским инженером Вертрегтом.

1. Массовое число (число Циолковского) для i-ой ступени

,

где m_i – стартовая масса ступени,

m_ti – масса топлива, вырабатываемая при полете i - ой ступени.

Число Z_i является одной из характеристик ступени и фигурирует в формуле Циолковского. Для ракеты с n ступенями характеристическая скорость равна

где - эффективная скорость истечения продуктов сгорания.

2. Коэффициент полезной нагрузки i- ой ступени

,

где m_i , m_i+1 – начальные массы i и i+1 ступеней.

Полезной нагрузкой i –ой ступени является i+1 ступень, а полезной нагрузкой последней ступени является полезный груз.

Для ракеты с n ступенями имеем

Так как стартовая масса ракеты m0 = m₁, то

(5)

3. Коэффициент конструктивного совершенства блока

,

где m_ti - масса топлива i – го блока,

m_ki - масса конструкции (конструкция, двигательная установка, приборы и др.) i – го блока..

Чем больше S, тем более совершенна конструкция ракеты. Для сравнения бутылка водки имеет
S ~ 2.25 , ведро с водой ~ 8 . В конструкцию блока ракеты помимо оболочки входит двигательная установка, приборы системы управления и другие конструктивные элементы. Коэффициент S для блоков ракет отражает современный уровень развития ракетной техники и для предварительных расчетов может задаваться либо исходя из опыта проектировщиков, либо по образцам – аналогам. Величина S для блоков ракет не превышает 20.

Все три показателя взаимосвязаны.

,

Отсюда

. (6)

В литературе иногда используются другие массовые характеристики ракет. Особенность приведенных характеристик состоит в том, что все они имеют значения больше 1, и, кроме того

p_i > Z_i и S_i > Z_i

Преимущество многоступенчатой ракеты по сравнению с ракетой с одной ступенью можно рассмотреть на примере. Допустим, что с помощью каждой из этих ракет требуется вывести один и тот же полезный груз на одну и ту же опорную орбиту, то есть сообщить грузу одну и ту же характеристическую скорость. В этом случае

При одинаковых скоростях истечения газов имеем

Создать одноступенчатую ракету с большим числом Z (например, Z=18) не представляется возможным, а трехступенчатую (с числами 2,3,3 или 3,3,2 ) вполне реально.

Потребная характеристическая скорость

С помощью формулы Циолковского можно оценивать располагаемые энергетические возможности как существующих носителей, так и гипотетических, то есть спроектированных и существующих на бумаге. В отличие от задачи анализа задача синтеза или проще задача проектирования в самом общем виде в вербальной постановке может быть описана так: разработать ракету-носитель, позволяющую выводить на опорную орбиту высотой h полезный груз массой m_pg Это значит, что нужно оптимальным образом определить число ступеней, относительные и абсолютные массовые характеристики блоков, ступеней и ракеты в целом. Критерием оптимальности может служить, например, минимум стартового веса ракеты, минимум стоимости ракеты или всего ракетного комплекса, включая техническую и стартовую позиции. В любом случае задача оптимизации решается при определенных условиях-ограничениях. Наиболее важное условие, которое должно непременно выполняться состоит в том, чтобы располагаемая энергетика ракеты (располагаемая характеристическая скорость) была не меньше потребной энергетики (потребной характеристической скорости), необходимой для решения проектной задачи.

Рассмотрим задачу оценки потребной характеристической скорости для выведения груза на круговую орбиту.

Ньютоновский потенциал или потенциал центрального поля тяготения Земли (модель Земли - сфера со сферическим распределением плотности) равен

где гравитационный параметр Земли,

r - расстояние от центра Земли до точки, в которой определяется потенциал.

Потенциал нормального гравитационного поля Земли (модель фигуры Земли – сжатый с полюсов сфероид) с учетом второй зональной гармоники имеет вид

где - геоцентрическая широта точки.

Второе слагаемое в формуле для потенциала дает вклад около десятой доли процента, поэтому для задач массового расчета ракет вполне пригоден ньютоновский потенциал.

Сила, с которой Земля притягивает единичную массу, определяется по формуле

(знак “–“ означает, что сила направлена к центру Земли).

Отсюда легко получить скорость движения спутника по круговой орбите. Приравнивая величины центробежной силы и силы притяжения, получим

Круговая скорость может быть определена несколько иначе

,

Так как ускорение земного притяжения g(h) на высоте h связано с ускорением g₀ на поверхности Земли соотношением

,

то

Из равенства имеем

Характеристическая скорость для выведения полезного груза на орбиту складывается из трех слагаемых:

1. Первое слагаемое связано с выполнением работы по доставке груза с поверхности Земли на высоту орбиты Rz+h (потенциальная энергия) и работы по разгону груза до скорости, которая обеспечит нахождение его на круговой орбите высотой h (кинетическая энергия).

Для единичной массы эти работы, соответственно, равны

Суммарная работа .

Характеристическая скорость необходимая для выполнения этой работы

и

.

Vx через ускорение g₀ запишется в виде

или

Рассмотрим изменение круговой и характеристической скорости в зависимости от высоты полета.

Для низких орбит:

Рис.3 Круговая и характеристическая скорости для низких орбит

Для высоких орбит:

Рис.4 Круговая и характеристическая скорости для высоких орбит

Для стационарной орбиты:

С увеличением h круговая скорость V_kr уменьшается, а характеристическая возрастает.

2. Второе слагаемое потребной характеристической скорости обусловлено затратами энергии на подъем и разгон той части ракеты, которая не входит в полезный груз, но собственно служит для выведения полезного груза (топливо, двигательные установки, приборы системы управления, конструкция блоков ступеней, переходных отсеков, сборочно-защитного блока и др.). На этапе предварительного проектирования ракет эти потери могут выбираться из некоторого диапазона. Например, для выведения груза на высоту 200км потери могут быть от 1000 до 1200 м/сек. Потери тем больше, чем продолжительнее активный участок траектории.

3. Последнее третье слагаемое связано с преодолением силы аэродинамического сопротивления на атмосферном участке. Эти потери составляют от 200 до 500 м/сек.

На этапах предварительного проектирования последние два слагаемых могут выбираться из диапазона от 1200 до 1700 м/сек.

На этапе предварительного проектирования ракеты, когда определяется ее облик, необходимо учитывать многочисленные, подчас противоречивые, требования, а именно, тактико-технические и технико-экономические требования, требования по надежности и технологичности изготовления, требования по экологии, наличии материалов и технологий для разработки двигательных установок, системы управления, требования по транспортировке и другие. Однако самой первой задачей, из перечисленных выше, решается задача определения оптимальных массовых характеристик многоступенчатой ракеты. Рассмотрим эти задачи.