Системы счисления, используемые в компьютере.

Позиционный принцип используется и при записи двоичных чисел. В этом случае коэффициентами при степенях числа 2 будут двоичные цифры 0 и 1. Число 5279 в двоичной системе счисления изображается следующим образом:

5279₁₀ = 1 × 2¹² + 0 × 2¹¹ + 1 × 2¹⁰ + 0 × 2⁹ + 0 × 2⁸ + 1 × 2⁷ + 0 × 2⁶ + 0 × 2⁵+ +1 × 2⁴ + 1 × 2³+ 1 × 2² + 1 × 2² + 1 × 2¹ + 1 × 2⁰

или в сокращенном виде: 101001001111111₂ = 5279₁₀

Примечание.

Индексы, записанные рядом с изображением числа (например, 5279₁₀), указывают основание системы счисления.

Двоичное представление первых шестнадцати чисел показано в таблице 3.1.

Удобная для вычислительных машин двоичная система счисления не употребляется людьми из-за того, что большие числа в этой системе представляются очень длинными последовательностями цифр. Было найдено компромиссное решение — переводить в двоичную систему не все число целиком, а каждую его цифру отдельно:

5 2 7 9

0101 0010 0111 1001

Примечание.

Для отображения одной десятичной цифры в этом случае используются 4 двоичные цифры — 4 бита (одна тетрада). Такой способ кодирования называется двоично-десятичным.

Двоично-десятичная система не единственная из применяемых в ЭВМ вспомогательных систем счисления. Достаточно широкое распространение получила шестнадцатеричная система счисления, которая позволяет получить более компактную запись числа (иными словами, увеличить информационную емкость одной тетрады). Десяти арабских цифр для шестнадцатеричной системы недостаточно, и для изображения шести старших цифр в этой системе используют 6 начальных букв латинского алфавита:

10₁₀ = A₁₆, 11₁₀ = B₁₆, 12₁₀ = C₁₆, 13₁₀ = D₁₆, 14₁₀ = E₁₆, 15₁₀ = F₁₆

Пример: число 5279₁₀ (заданное в десятичной системе счисления) в системе счисления с основанием 16 записывается следующим образом:

5279₁₀ = 1 × 16³ + 4 × 16² + 9 × 16¹ + 15 ×16⁰ = 149F₁₆

Наряду с шестнадцатеричнойсистемой счисления используется и восьмеричная система,в которой используются 8 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Пример:число 25₁₀ (заданное в десятичной системе счисления) в системе счисления с основанием 8 записывается следующим образом:

25₁₀ = 3 × 8¹ + 1 × 8⁰ = 31₈

Примечание.

Двоичное изображение числа требует большего (для многоразрядного числа примерно в 3,3 раза) количества разрядов, чем его десятичное представление. Тем не менее, применение двоичной системы в ЭВМ создает большие преимущества из-за возможности использования для построения электронных схем простых элементов с двумя устойчивыми состояниями.

Перевод чисел из одной системы счисления в другую.

3.3.1. Перевод чисел из десятичной системы счисления в систему счисления с произвольным основанием.

Для того чтобы перевести число в десятичную систему счисления, запишем его в виде полинома

A_s = a_nSⁿ+ a_n-1S^n-1 + … + a₁S¹ + a₀S⁰ + a_-1S^-1 + … + a_-mS^-m,

и вычислим его значение.

Пример:

10101,011₂ = 1 × 2⁴ + 0 × 2³ + 1 × 2² + 0 × 2¹ + 1 × 2⁰ + 0 × 2^-1 + 1 × 2^-2 + 1 × 2^-3 = = 21,375₁₀

Существует несколько способов выполнения операций перевода десятичных чисел в систему счисления с произвольным основанием. Рассмотрим их.

§ Способ первый.

Для перевода нужно представить исходное число в виде полинома

A_s = a_nSⁿ + a_n-1S^n-1+ … + a₁S¹ + a₀S⁰ + a_-1S^-1 + … + a_-mS^-m,

взяв в качестве S основание той системы счисления, в которую данное число нужно перевести. Затем выпишем коэффициенты a_i , которые и составят нужное число.

Пример: Перевести число 13₁₀ в систему счисления с основанием 2.

Для этого представим 13 как сумму степеней числа 2:

13₁₀ = 8 + 4 + 1.

Далее воспользуемся формулой A_s = a_nSⁿ + a_n-1S^n-1 + … + a₁S¹ + a₀S⁰ и запишем число 13 в виде полинома

13₁₀ = 1 × 2³ + 1 × 2² + 0 × 2¹ + 1 × 2⁰.

Теперь выпишем все коэффициенты a_i: 1101. Таким образом,

13₁₀ = 1101₂.

Примечание.

Обычно этот способ перевода в двоичную систему счисления используют для представления небольших чисел.

§ Способ второй.

Этот способ применяется для перевода больших чисел. Для его усвоения рассмотрим пример.

Пример: Перевести число 234₁₀ в систему счисления с основанием 2.

Будем делить число 234₁₀ последовательно на 2 нацело и записывать остатки, не забывая нулевые:

234 : 2 = 117 остаток 0

117 : 2 = 58 1

58 : 2 = 29 0

29 : 2 = 14 1

14 : 2 = 7 0

7 : 2 = 3 1

3 : 2 = 1 1

Результат последнего деления на 2 уже не делится, и эта цифра будет старшей цифрой нашего числа. Выписав все остатки, начиная с последнего, получим двоичное представление числа:

234₁₀ = 11101010₂.