Системы счисления, используемые в вычислительной технике

Позиционные системы счисления

В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число.

Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая – 7 единиц, а третья – 7 десятых долей единицы.

Сама же запись числа 757,7 означает сокращенную запись выражения:

700 + 50 + 7 + 0,7 = 7•102 + 5•101 + 7•100 + 7•10-1 = 757,7.

Любая позиционная СС характеризуется своим основанием.

Основание позиционной СС — это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе.

За основание системы можно принять любое натуральное число — два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т.д. Запись чисел в каждой из систем счисления с основанием q означает сокращенную запись выражения:

an-1 qn-1 + an-2 qn-2+ ... + a1 q1 + a0 q0 + a-1 q-1 + ... + a-m q-m,

где ai – цифры системы счисления; n и m – число целых и дробных разрядов, соответственно.

Двоичная система счисления. Перевод из двоичной системы счисления в десятичную систему счисления и обратно.

Несмотря на то, что мы привыкли работать с десятичной системой счисления, с технической точки зрения она неудобна, т.к. в электрических цепях компьютера требовалось бы иметь одновременно десять различных сигналов. Чем меньше различных сигналов в электрических цепях, тем проще микросхемы. Наименьшее основание, которое может быть у позиционных систем счисления, это – двойка. Именно по этому двоичная система счисления используется в вычислительной технике.

Двоичная система счисления — позиционная система счисления с основанием 2.

Уже отмечалась выше о записи двоичного числа в виде суммы степеней основания системы счисления, то есть степеней двойки. Сделав такую запись, надо подсчитать десятичное значение полученной суммы.

Например: переведем число из двоичной системы счисления в десятичную систему, разбив его на разряды:

3 2 1 0

10112 = 1*23+0*22+1*21+1*20=8+0+2+1 = 8+0+2+1 = 1110

Задание 2.Переведите следующие числа из двоичной системы счисления в десятичную систему счисления:

1) 1012 =

2) 10012 =

3) 10001012 =

4) 11001102 =

5) 111000112 =

Алгоритм перевода чисел из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления:

1) разделить число на 2 и зафиксировать остаток;

2) если частное от деления не равно 0, повторить пункт 1) для частного;

3) если частное от деления равно 0, записать все полученные остатки справа налево.

Например: перевести число 2510 в двоичную систему счисления.

Системы счисления, используемые в вычислительной технике - student2.ru

Таким образом, 2510 = 110012

Задание 3.Перевести следующие числа из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления:

1) 3710 =

2) 5910 =

3) 11610 =

4) 24510 =

5) 56410 =

Системы счисления, используемые в вычислительной технике

Восьмеричная система счисления. Алфавит восьмеричной системы счисления состоит из 8 цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7. 8 — это 2 в третьей степени. При переводе в восьмеричную систему двоичное число из трех записывается одной цифрой.

Восьмеричная запись Двоичное представление

Впереди стоящий 0 ничего не значит.

Для перевода из двоичной системы счисления в восьмеричную систему счисления число, записанное в двоичной системе, делим на триады справа налево, и заменяем каждую группу одной восьмеричной цифрой.

Например: перевести число 110111000112 в восьмеричную систему счисления.

110111000112 = 011 011 100 011

                   
    Системы счисления, используемые в вычислительной технике - student2.ru
 
  Системы счисления, используемые в вычислительной технике - student2.ru   Системы счисления, используемые в вычислительной технике - student2.ru   Системы счисления, используемые в вычислительной технике - student2.ru   Системы счисления, используемые в вычислительной технике - student2.ru

3 3 4 3

и получим, что 110111000112 = 3343.

Задание 4.Перевести следующие числа из двоичной системы счисления в восьмеричную систему счисления:

1) 100010010112 =

2) 1001100110012 =

3) 1011011110102 =

4) 1001111001002 =

Для перевода числа из восьмеричной системы в двоичную достаточно заменить каждую цифру на ее перевод в двоичную систему, представив каждую цифру в виде триады.

Например.Перевести число 3568 в двоичную систему счисления.

Системы счисления, используемые в вычислительной технике - student2.ru Системы счисления, используемые в вычислительной технике - student2.ru Системы счисления, используемые в вычислительной технике - student2.ru 3568 = 3 5 6

011 101 110

получается, что 3568 = 111011102

Задание 5.Перевести следующие числа из восьмеричной системы счисления в двоичную систему счисления:

1) 2678 =

2) 7418 =

3) 6528 =

4) 5438 =

Шестнадцатеричная система счисления. Для первых 10 из 16 шестнадцатеричных цифр используются привычные цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а для остальных используют первые буквы латинского алфавита A (10), B (11), C (12), D (13), E (14), F (15).

Число 16 – это 2 в четвертой степени. При переводе из двоичной системы в шестнадцатеричную систему счисления двоичное число из 4-х цифр кодируется числом из одной цифры в шестнадцатеричной системе.

Двоичное представление Шестнадцатеричная запись
A
B
C
D
E
F

Для перевода числа из шестнадцатеричной системы в двоичную достаточно заменить каждую цифру на ее эквивалент в двоичной системе счисления, представив каждую цифру в виде сочетания четырех 1 и 0.

Например:Перевести число А0F16 в двоичную систему счисления.

А0F16 = А 0 F

           
  Системы счисления, используемые в вычислительной технике - student2.ru   Системы счисления, используемые в вычислительной технике - student2.ru   Системы счисления, используемые в вычислительной технике - student2.ru

1010 0000 1111

получается, что А0F16 = 1010000011112

Задание 6.Перевести следующие числа из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную систему счисления:

1) A216 =

2) В6С16 =

3) D9716 =

4) E8F016 =

Для перевода из двоичной системы в шестнадцатеричную необходимо разбить число, записанное в двоичной системе на группы по 4 справа налево, заменив каждую группу одной шестнадцатеричной цифрой.

Например.Перевести число 1101101011012 в шестнадцатеричную систему счисления.

Системы счисления, используемые в вычислительной технике - student2.ru Системы счисления, используемые в вычислительной технике - student2.ru Системы счисления, используемые в вычислительной технике - student2.ru 1101101011012 = 1101 1010 1101

D А D

получается, что 1101101011012 = DAD16

Задание 7.Перевести следующие числа из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную систему счисления.

1) 1001101110112 =

2) 100000100102 =

3) 1011110010012 =

4) 1111000011102 =

1.3. Двоичная арифметика.

Все операции над числами в двоичной СС, точно так же как и в десятичной, проводятся поразрядно. Приведем операции сложения и умножения, соответствующие примеры.

Операция сложения: 0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10
Операция умножения 0 * 0 = 0
0 * 1 = 0
1 * 0 = 0
1 * 1 = 1
Операция вычитания 0 - 0 = 0
1 – 0 = 1
1 – 1 = 0
0 – 1 = 11(заем из старшего разряда)

Например.Сложить числа 101100 и 1011.

+ 1011

Например.Умножить числа 101 и 11.

*11

+101

Задание 8.Сложить следующие двоичные числа:

1) 1001112 + 10112 =

2) 1100112 + 110112 =

Задание 9.Умножить следующие двоичные числа:

1) 110012 * 10012 =

2) 101112* 110112=

Задание 10.Вычесть двоичные числа:

1) 10010 – 1001 =

2) 101,011 – 1,110 =

3) 101,011 – 11,101 =

Контрольные вопросы.

1. Что такое система счисления?

2. Какие типы систем счисления вы знаете?

3. Что такое основа позиционной системы счисления?

4. Какая система счисления используется для представления информации в компьютере? Почему?

Домашнее задание

1. Перевести числа из восьмеричной системы счисления в двоичную систему:

168 =

558 =

2. Перевести числа из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную систему:

34А16 =

3. Перевести числа из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную систему счисления:

1001110011112 =

1101010101012 =

4. Перевести числа из двоичной системы счисления в восьмеричную систему:

1111011112 =

101101012 =

5. Перевести числа из двоичной системы счисления в десятичную систему:

101102 =

10101012 =

6. Перевести числа из десятичной системы счисления в двоичную систему:

12310 =

4510 =

7. Перевести из пятеричной системы счисления в девятеричную:

4325 =

23015 =

8. Сложить двоичные числа:

10110112 + 10110112 =

111112 + 1000012 =

9. Вычесть двоичные числа:

111001 – 111 =

11101,001 – 1111,11 =

10. Умножить двоичные числа:

1012 * 11012 =

10102 * 11112 =

11.Выполнить сложение чисел:

547 + 237 =

1234 + 2014 =

Наши рекомендации