Вращение (относительно начала координат).

Представление двумерного вектора трехмерным или в общем случае n-мерного вектора (n+1)-мерным наз-т однородным координатным воспроизведением. При однородном координат­ном воспроизведении n-мерного вектора оно выполняется в (n+1)-мерном пространстве, и конечные результаты в n-мерном пространстве получают с помощью обратного преобразования. Т. о., двумерный вектор [х, у] представляется трехкомпонентным вектором [hх, hу, h]. Разделив компоненты вектора на однородную координату h, получим и . Не существует единственного однородного координатного представления точки в двумерном пространстве.

Преобразование в дополнительных координатах задается выражением в однород­ных координатах в виде: .

Выполнение указанных выше преобразований показывает, что , , а Н=1. Равенство единице дополнительной координаты означает, что преобразованные однородные коор­динаты равны исходным координатам.

В общем случае Н 1, и преобразованные обычные коорди­наты получаются за счет нормализации однородных координат, т. е. и .

Геометрически все преобразования х и у происходят в пло­скости Н=1 после нормализации преобразованных однород­ных координат.

Преимущество введения однородных координат проявляется при использовании матрицы преобразований общего вида по­рядка 3 3: , с помощью которой можно выполнять такие преобразования, как смещение, операции изменения масштаба и сдвига, обусловленные матричными элементами а, b, с и d. Указанные операции рассмотрены ранее.

Основная матрица преобразования размером 3 3 для дву­мерных однородных координат может быть подразделена на че­тыре части: .

Как мы видим, а, b, с и d осуществляют изменение масштаба, сдвиг и вращение; т и п выполняют смещение, а р и q — полу­чение проекций. Оставшаяся часть матрицы, элемент s, произ­водит полное изменение масштаба. Чтобы показать это, рассмо­трим преобразование: .

Здесь Х=х, Y=у, а Н=s. Это дает х* = x/s и y* == y/s. В результате преобразования [х у 1] [x/s y/s 1] имеет место однородное изменение масштаба вектора положения. При s<1 происходит увеличение, а при s>1 — уменьшение масштаба.

Проекции.

В общем случае проекции преобразуют точки, заданные в системе координат размерностью n, в системы координат размерностью меньше чем n.

Будем рассматривать случай проецирования трех измерений в два. Проекция трехмерного объекта (представленного в виде совокупности точек) строится при помощи прямых проекционных лучей, которые называются проекторами и которые проходят через каждую точку объекта и, пересекая картинную плоскость, образуют проекцию.

Проекции делятся на два основных класса:

- параллельные (аксонометрические);

- центральные (перспективные).

Параллельные проекции делятся на два типа в зависимости от соотношения между направлением проецирования и нормалью к проекционной плоскости:

1) ортографические – направления совпадают, т. е. направление проецирования является нормалью к проекционной плоскости;

2) косоугольные – направление проецирования и нормаль к проекционной плоскости не совпадают.

Наиболее широко используемыми видами ортографических проекций является вид спереди, вид сверху (план) и вид сбоку, в которых картинная плоскость перпендикулярна главным координатным осям. Если проекционные плоскости не перпендикулярны главным координатным осям, то такие проекции называются аксонометрическими.

При аксонометрическом проецировании сохраняется параллельность прямых, а углы изменяются; расстояние можно измерить вдоль каждой из главных координатных осей (в общем случае с различными масштабными коэффициентами).

Изометрическая проекция – нормаль к проекционной плоскости, (а следовательно и направление проецирования) составляет равные углы с каждой из главных координатных осей.

Изометрическая проекция обладает следующим свойством: все 3 главные координатные оси одинаково укорачиваются. Поэтому можно проводить измерения вдоль направления осей с одним и тем же масштабом. Кроме того, главные координатные оси проецируются так, что их проекции составляют равные углы друг с другом (120°).

Косоугольные (наклонные) проекции сочетают в себе свойства ортографических проекций (видов спереди, сверху и сбоку) со свойствами аксонометрии. В этом случае проекционная плоскость перпендикулярна главной координатной оси, поэтому сторона объекта, параллельная этой плоскости, проецируется так, что можно измерить углы и расстояния. Проецирование других сторон объекта также допускает проведение линейных измерений (но не угловых) вдоль главных осей.

В проекции Кавалье направление проецирования составляет с плоскостью угол 45°. В результате проекция отрезка, перпендикулярного проекционной плоскости, имеет ту же длину, что и сам отрезок, т. е. укорачивание отсутствует.

Проекция Кабине имеет направление проецирования, которое составляет с проекционной плоскостью угол = arctg(½) (≈26,5°). При этом отрезки, перпендикулярные проекционной плоскости, после проецирования составляют ½ их действительной длины. Проекции Кабине являются более реалистическими, чем проекции Кавалье, так как укорачивание с коэффициентом ½ больше согласуется с нашим визуальным опытом.

Центральная проекция любой совокупности параллельных прямых, которые не параллельны проекционной плоскости, будет сходиться в точке схода. Точек схода бесконечно много. Если совокупность прямых параллельна одной из главных координатных осей, то их точка схода называется главной точкой схода. Имеются только три такие точки, соответствующие пересечениям главных координатных осей с проекционной плоскостью. Центральные проекции классифицируются в зависимости от числа главных точек схода, которыми они обладают, а следовательно и от числа координатных осей, которые пересекают проекционную плоскость.

Одноточечная проекция.

Архитектура вычислительных систем: