Исследование физических моделей

Физика-9 Ц51Г

Рассмотрим процесс построения и исследования модели на конкретном примере движения тела, брошенного под уг­лом к горизонту.

Содержательная постановка задачи. В процессе трениро­вок теннисистов используются автоматы по бросанию мячи­ка в определенное место площадки. Необходимо задать авто­мату необходимую скорость и угол бросания мячика для попадания в мишень определенного размера, находящуюся на известном расстоянии.

Качественная описательная модель. Сначала построим качественную описательную модель процесса движения тела с использованием физических объектов, понятий и законов, то есть в данном случае идеализированную модель движе­ния объекта. Из условия задачи можно сформулировать сле­дующие основные предположения:

• мячик мал по сравнению с Землей, поэтому его можно считать материальной точкой;

• изменение высоты мячика мало, поэтому ускорение сво­бодного падения можно считать постоянной величиной g = 9,8 м/с² и движение по оси OY можно считать равно­ускоренным;

• скорость бросания тела мала, поэтому сопротивлением воздуха можно пренебречь и движение по оси ОХ можно считать равномерным.

Формальная модель. Для формализации модели исполь­зуем известные из курса физики формулы равномерного и равноускоренного движения. При заданных начальной ско­рости u_Q и угле бросания а значения координат дальности полета х и высоты у от времени можно описать следующими формулами:

(5 х = v₀ ■ cosa • t;

у — v₀ • sina ■ t - g - f^[8]/2.

Пусть мишень высотой h будет размещаться на расстоя­нии s от автомата. Из первой формулы выражаем время, ко­торое понадобится мячику, чтобы преодолеть расстояние s:

t = s/(v₀ • cosa).

Подставляем это значение для t в формулу для у. Получа­ем I — высоту мячика над землей на расстоянии s:

I = s • tga - g-s²/(2 • v₀² • cos²a).

Формализуем теперь условие попадания мячика в ми­шень. Попадание произойдет, если значение высоты I мячи­ка будет удовлетворять условию в форме неравенства:

О ^ I < h.

Если I < 0, то это означает «недолет», а если I > h, то это означает «перелет».

Компьютерная модель на языке Visual Basic. Преобразу­ем формальную модель в компьютерную с использованием системы программирования Visual Basic. Создадим сначала графический интерфейс проекта.

Проект «Движение тела, брошенного под углом к горизонту»

Const G As Single = 9.81 Const Pi As Single = 3.14 Dim VO, A, S, L As Double Private Sub CmdCalc_Click() 'Ввод начальных значений VO = Val(txtVO.Text) A = Val(txtA.Text) S = Val(txtS.Text) H = Val(txtH.Text) 'Попадание в мишень

L = S * Tan (A * Pi / 180) - (G * S ^Л 2) /

(2 * VO ^л 2 * Cos(A * Pi / 180) ^л 2)

txtL.Text = L

Select Case L

Case Is < 0

txtM.Text = "Недолет"

Case Is > H

txtM.Text = "Перелет"

Case Else

txtM.Text = "Попадание" End Select End Sub

Для визуализации формальной модели построим траекто­рию движениия тела (график зависимости высоты мячика над поверхностью земли от дальности полета). Снабдим гра­фик осями координат и выведем положение мишени. 4. Поместить на форму графическое поле, в котором будет осуществляться построение графика, и дополнить про­граммный код событийной процедуры: 'Построение графика For Т = 0 То 10 Step 0.1

Y = VO * Sin (А * Pi /180) * т - G * Т * Т/2

X = V0 * Cos (А * Pi /180) * Т picl.Scale (0, 15) - (S + 5, -5) picl.PSet (X, Y) Next T

'Ось X

picl.Line (0, 0)-(50, 0) For I = 0 To 50 Step 5 picl.PSet (I, 0) picl.Print I Next I 'Ось Y

picl.Line (0, -5)- (0, 15) 9—2645

For I = -5То 15Step

picl.PSet (0, I) picl.Print I Next I

'Мишень

picl.Line (S, 0)-(S, H)

Проект хранится в каталоге \textbook\VB\prjPhys1\

Компьютерный эксперимент. Введем произвольные зна­чения начальной скорости и угла бросания мячика: скорее всего, его попадания в мишень не будет. Затем, меняя один из параметров, например угол, произведем пристрелку. Для это­го лучше всего использовать известный артиллерийский прием «взятие в вилку», который использует наиболее эффек­тивный метод «деление пополам». Для этого находят угол, при котором мячик перелетит мишень, затем угол, при кото­ром мячик не долетит до стены. Вычисляют среднее значение углов, составляющих «вилку», и смотрят, куда попадет мя­чик. Если он попадет в стену, то задача выполнена, если не попадет, то рассматривается новая «вилка», и так далее.

5. Запустить проект и ввести значения начальной скоро­сти, угла, расстояния до ми­шени и ее высоты. Щелкнуть по кнопке Бросок. В текстовых полях будут вы­ведены результаты, а в гра­фическом поле появится тра­ектория движения тела. Подобрать значения началь­ной скорости и угла броса­ния, обеспечивающие попа­дание в мишень.

Анализ результатов и корректировка модели. Модерни­зируем проект так, чтобы можно было получить с заданной точностью для каждого значения скорости значение диапа­зона углов, обеспечивающее попадание мячика в мишень.

6. Удалить с формы текстовые поля для ввода значения угла, для вывода результатов и графическое поле и поме­стить на форму текстовые поля для ввода точности опре­деления диапазона углов и для вывода значений из этого диапазона.

CD-ROM Ц51Г

7. Внести изменения в программный код событийной про­цедуры:

Private Sub CmdCalc_Click() 'Ввод начальных значений VO = Val(txtVO.Text) S = Val(txtS.Text) H = Val(txtH.Text) P = Val(txtP.Text) txtAl.Text = "" For A = 0 To 90 Step P 'Попадание в мишень

L = S * Tan (A * Pi / 180) - (G * S ^Л 2) / (2 * VO ^Л 2 * Cos(A * Pi / 180) ^л 2) If 0 < L And L < H Then txtAl.Text = txtAl.Text + Str(A) End If Next A End Sub

8. Запустить проект и ввести скорость, расстояние до мише­ни и ее высоту, а также точность определения диапазона углов:

| Бросание тела		..... JsJ*Ji
Vo | 18 м1с	Н j 1 м		I
	^ Диапазон ]
: S | 30 м	Точность	1 фап	, углов i
I
| 33 34 35 36 56 57			град

Анализ результатов показывает, что получен неочевид­ный результат: существуют два диапазона величин углов — от 33 до 36 и от 56 до 57 градусов, которые обеспечивают по­падание мячика в мишень.

Проект хранится в каталоге __ _DnM

\textbook\VB\prjPhys2\_____ iu-hum I^ST

Компьютерная модель в электронных таблицах. Вернем­ся к третьему этапу создания и исследования модели движе­ния тела, брошенного под углом к горизонту. Преобразуем теперь формальную модель в компьютерную с использова­нием электронных таблиц Excel.

Выделим в таблице определенные ячейки для ввода зна­чений начальной скорости v_Q и угла а и вычислим по форму­
лам (5.1) значения координат тела х и у для определенных значений времени t с заданным интервалом.

Для преобразования значений углов из градусов в радиа­ны используем функцию РАДИАНЫ( ).

Модель «Движение тела, брошенного под углом к горизонту» в электронных таблицах

Для ввода начальной скоро­сти будем использовать ячейку В1, а для ввода угла — ячейку В2. Введем в ячейки А5:А18 значения времени с интерва­лом в 0,2 с.

2.

А I В ₁ С

4 t	х = v q cosa t	y=vo nna t-g-t*/2
5 0.0	0,0	0,0
Б 0.2	2,9	1.9
7 0.4		3.3
8 06
9 0.8	11 8	5,1
ю 1.0	14.7	5.4
11 1.2
12 1,4	20,6	4,8
13 1,6	23.6	4.0
14 1.8	26,5	2.7
15 2,0	29,5	1.0
16 2,2	32,4	1.0
17 24	35 4
18 2,6	38,3	-6.3

V,=

18,0 и/с 35 0 град

3. В ячейки В5 и С5 введем формулы: =$В$1*С08(РАДИАНЫ($В$2))*А5 =$В$1*8Ш(РАДИАНЫ($В$2))*А5-4,9*А5*А5

4. Скопируем формулы в ячейки В6:В18 и С6:С18 соответст­венно.

Визуализируем модель, построив график зависимости ко­ординаты у от координаты х (траекторию движения тела).

5. Построить диаграмму типа График, в которой исполь­зуется в качестве категории диапазон ячеек В5:В18, а в качестве значений — диа­пазон ячеек С5:С18.

Исследование модели. Исследуем модель и определим с заданной точностью 0,1° диапазон изменений угла, который обеспечивает попадание в мишень, находящуюся на рассто­янии 30 м и имеющую высоту 1 м, при заданной начальной скорости 18 м/с. Воспользуемся для этого методом Подбор параметра.

10.6. Надстройки в электронных таблицах

6. Установить для ячеек точность один знак после запятой.

7. Ввести в ячейки В21, В22 и В23 значе­ния расстояния до мишени S = 30 м, на­чальной скорости v₀ = 18 м/с и угла а = 35°, а в ячейку В25 — формулу для вычисления высоты мячика над поверх­ностью для заданных начальных условий: =В21*ТАК(РАДИАНЫ(В23))-(9,81*В2Г2)/ (2*В22^Л2*С08(РАДИАНЫ(В23)Г2).

Для заданных начальных условий определим углы, кото­рые обеспечивают попадание в мишень на высотах 0 и 1 м.

8. Выделить ячейку В25 и ввес­ти команду [Сервис-Подбор параметра...].

На появившейся диалоговой панели ввести в поле Значе­ние: наименьшую высоту по­падания в мишень (то есть 0). В поле Изменяя значение ячейки: ввести адрес ячейки, содержащей значение угла (в данном случае $В$23).

9. В ячейке В23 появится значение 32,6. Повторить проце­дуру подбора параметра для максимальной высоты попа­дания в мишень — в ячейке В23 получим значение 36,1.

Таким образом, исследование компьютерной модели в элек­тронных таблицах показало, что существует диапазон значе­ний угла бросания от 32,6 до 36,1°, который обеспечивает по­падание в мишень высотой 1 м, находящуюся на расстоянии 30 м, мячиком, брошенным со скоростью 18 м/с.

Если повторить процедуру определения диапазона углов при начальном значении 55°, то получим значения предель­ных углов 55,8 и 57,4°. С учетом точности вычислений дан­ные для обоих диапазонов углов подтверждают результаты, полученные при исследовании компьютерной модели на языке Visual Basic.

Модель хранится в файле Model xls _{rn ппм} (Kgp в каталоге \textbook\Excel\ ои-ним

Практические задания

21 S = 30,0 м 22 V0= 18,0 м/с 23 а = 35,0 град X 251 1= 0,7 м

-JxT

Установить в ячейке Знамение jg Изменяя значение ячейки |$в$23

"33

ОК

5.8. Тело брошено вертикально вверх с некоторой высоты. Опреде­лить, через какое количество времени тело упадет на поверх­ность земли.