Моделирование в системах массового обслуживания

Кому не случалось стоять в очереди и с нетерпением прикидывать, успеет ли он сделать покупку (или заплатить за квартиру, покататься на карусели и т.д.) за некоторое имеющееся в его распоряжении время? Или, пытаясь позвонить по телефону в справочную и натыкаясь несколько раз на короткие гудки, нервничать и оценивать - дозвонюсь или нет? Из таких "простых" проблем в начале XX века родилась весьма непростая наука - теория массового обслуживания, использующая аппарат теории вероятностей и математической статистики, дифференциальных уравнений и численных методов. Основоположником ее стал датский ученый А.К.Эрланг, исследовавший проблемы функционирования телефонных станций.

Впоследствии выяснилось, что новая наука имеет многочисленные выходы в экономику, военное дело, организацию производства, биологию и экологию; по ней написаны десятки книг, тысячи журнальных статей.

Компьютерное моделирование при решении задач массового обслуживания, реализуемое в виде метода статистических испытаний (метода Монте-Карло), хоть и не является в теории массового обслуживания основным, но играет в ней важную роль. Основная линия в ней - получение результатов аналитических, т.е. представленных формулами. Однако, возможности аналитических методов весьма ограничены, в то время как метод статистических испытаний универсален и весьма прост для понимания (по крайней мере кажется таковым).

2. Очередь к одному "продавцу"

Рассмотрим одну из простейших задач данного класса. Имеется магазин с одним продавцом, в который случайным образом входят покупатели. Если продавец свободен, он начинает обслуживать покупателя сразу, если покупателей несколько, выстраивается очередь.

Вот аналогичные задачи:

· ремонтная зона в автохозяйстве и автобусы, сошедшие с линии из-за поломки;

· травмопункт и больные, пришедшие на прием по случаю травмы (т.е. без системы предварительной записи);

· телефонная станция с одним входом (или одной телефонисткой) и абоненты, которых при занятом входе ставят в очередь (такая система иногда практикуется);

· сервер локальной сети и персональные машины на рабочем месте, которые шлют сообщение серверу, способному воспринять разом и обработать не более одного сообщения.

Будем для определенности говорить о магазине, покупателях и продавце. Рассмотрим возникающие здесь проблемы, которые заслуживают математического исследования и, как выясняется, весьма серьезного.

Итак, на входе этой задачи случайный процесс прихода покупателей в магазин. Он является "марковским", т.е. промежутки между приходами любой последовательной пары покупателей - независимые случайные события, распределенные по некоторому закону. Реальный характер этого закона может быть установлен лишь путем многочисленных наблюдений; в качестве простейшей модельной функции плотности вероятности можно взять равновероятное распределение в диапазоне времени от 0 до некоторого T - максимально возможного промежутка между приходами двух последовательных покупателей. При этом распределении вероятность того, что между приходами двух покупателей пройдет 1 минута, 3 минуты или 8 минут одинакова (если T > 8).

Такое распределение, конечно, малореалистично; реально оно имеет при некотором значении t = τ максимум и быстро спадает при больших t, т.е. имеет вид, изображенный на рис. 1.

Можно, конечно, подобрать немало элементарных функций, графики которых похожи на тот, что изображен на рис. 1. Например, семейство функций Пуассона, широко используемых в теории массового обслуживания:

(1)

где λ - некоторая константа, n - произвольное целое.

Функции (1) имеют максимум при

и нормированы:

Рис. 1. Типичная плотность вероятности распределения времени между приходами покупателей

Второй случайный процесс в этой задаче, никак не связанный с первым, сводится к последовательности случайных событий - длительностей обслуживания каждого из покупателей. Распределение вероятностей длительности обслуживания качественно имеет тот же вид, что и в предыдущем случае; при отработке первичных навыков моделирования методом статистических испытаний вполне уместно принять модель равновероятного распределения.

В таблице 1 в колонке A записаны случайные числа - промежутки между приходами покупателей (в минутах), в колонке B - случайные числа - длительности обслуживания (в минутах). Для определенности взято a_max = 10 и b_max = 5. Из этой короткой таблицы, разумеется, невозможно установить, каковы законы распределения приняты для величин A и B; в данном обсуждении это не играет никакой роли. Остальные колонки предусмотрены для удобства анализа; входящие в них числа находятся путем элементарного расчета. В колонке C представлено условное время прихода покупателя, в колонке D - момент начала обслуживания, E - момент конца обслуживания, F - длительность времени, проведенного покупателем в магазине в целом, G - в очереди в ожидании обслуживания, H - время, проведенное продавцом в ожидании покупателя (магазин пуст). Таблицу удобно заполнять по горизонтали, переходя от строчки к строчке. Приведем для удобства соответствующие формулы (в них i = 1, 2, 3, ...):

- так как начало обслуживания очередного покупателя определяется либо временем его прихода, если магазин пуст, либо временем ухода предыдущего покупателя;

N	A	B	C	D	E	F	G	H

Табл 1. Моделирование очереди

Таким образом, при данных случайных наборах чисел в колонках A и B и покупателям приходилось стоять в очереди (колонка G), и продавцу - в ожидании покупателя (колонка H).

При моделировании систем такого вида возникают следующие вопросы. Какое среднее время приходится стоять в очереди к прилавку? Чтобы ответить на него, следует найти

в некоторой серии испытаний. Аналогично можно найти среднее значение величины h. Конечно, эти выборочные средние сами по себе - случайные величины; в другой выборке того же объема они будут иметь другие значения (при больших объемах выборки, не слишком отличающиеся друг от друга). Доверительные интервалы, в которых находятся точные средние значения (т.е. математические ожидания соответствующих случайных величин) при заданных доверительных вероятностях находятся методами математической статистики.

Сложнее ответить на вопрос, каково распределение случайных величин G и H при заданных распределениях случайных величин A и B. Допустим, в простейшем моделировании мы примем гипотезу о равновероятных распределениях величин A и B - скажем, для A в диапазоне от 0 до 10 минут и B - от 0 до 5 минут. Для построения методом статистических испытаний распределений величин G и H поступим так: найдем в достаточно длинной серии испытаний (реально - в десятках тысяч, что на компьютере делается достаточно быстро) значения g_max (для H все делается аналогично) и разделим промежуток [0, g_max] на m равных частей - скажем, вначале на 10 - так, чтобы в каждую часть попало много значений g_i. Разделив число попаданий n_k в каждую из частей на общее число испытаний n, получим набор чисел

Построенные по ним гистограммы дают представление о функциях плотностей вероятности соответствующих распределений. По гистограмме можно составить представление о функции плотности распределения соответствующей случайной величины. Для проверки же гипотезы о принадлежности такого эмпирически найденного распределения тому или иному конкретному виду служат известные статистические критерии.

Располагая функцией распределения (пусть даже эмпирической, но достаточно надежной), можно ответить на любой вопрос о характере процесса ожидания в очереди. Например: какова вероятность прождать дольше m минут? Ответ будет получен, если найти отношение площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком плотности распределения, прямой x = m и y = 0, к площади всей фигуры.

Методы прогнозирования. Прогнозирование. Сферы применения. Методы прогнозирования: методы экстраполяции, методы экспертных оценок, методы логического моделирования, эвристические методы. Временные ряды.

Точность прогнозов. Точность прогнозов. Проблемы определения точности методов прогнозирования. Анализ точности. Сравнительные характеристики.

Стандарты и методологии моделирования бизнес-процессов

Проблемы важнее решения. Решения могут устареть, а проблемы остаются.
Нильс Бор

Успешность работы телекоммуникационной компании на рынке зависит от многих факторов – диапазона предлагаемых услуг, насыщенности рынка, маркетинговой политики и т. п. В целях поддержания конкурентоспособности услуг современные, ориентированные на постоянное развитие телекоммуникационные компании обречены на постоянное улучшение своей деятельности, что требует разработки новых технологий и приемов ведения бизнеса и внедрения новых более эффективных методов управления и организации деятельности. Вот почему в числе прочих мероприятий необходимо выбирать и использовать методики моделирования бизнес-процессов и соответствующий инструмент их автоматизации. Рассмотрим генезис методологий моделирования бизнес-процессов, а также представим обзор современных методологий и инструментов, предлагаемых на рынке.

Для начала обратимся к используемому понятийному аппарату.

Бизнес-процесс– это логичный, последовательный, взаимосвязанный набор мероприятий, который потребляет ресурсы производителя, создает ценность и выдает результат потребителю. Среди основных причин, побуждающих организацию оптимизировать бизнес-процессы, можно выделить необходимость снижения затрат или длительности производственного цикла, требования, предъявляемые потребителями и государством, внедрение программ управления качеством, слияние компаний, внутриорганизационные противоречия и др.

Моделирование бизнес-процессов позволяет не только определить, как компания работает в целом, как взаимодействует с внешними организациями, заказчиками и поставщиками, но и как организована деятельность на каждом рабочем месте. Моделирование бизнес-процессов – это эффективное средство поиска путей оптимизации деятельности компании, средство прогнозирования и минимизации рисков, возникающих на различных этапах реорганизации предприятия. Этот метод позволяет дать стоимостную оценку каждому отдельному процессу и всем бизнес-процессам организации в совокупности.
Под методологией (нотацией) создания модели (описания) бизнес-процесса понимается совокупность способов, при помощи которых объекты реального мира и связи между ними представляются в виде модели. Любая методология (методика) включает три основные составляющие:

– теоретическая база;

– описание шагов, необходимых для получения заданного результата;

– рекомендации по использованию как отдельно, так и в составе группы методик.

Основное в методологии – дать пользователю последовательность шагов, которые приводят к заданному результату. Способность получать результат с заданными

параметрами и характеризует ее эффективность.

Важнейшими понятиями любого метода моделирования бизнес-процессов являются понятия объекта и связи. Каждый объект модели отражает некоторый реальный объект так называемой предметной области (организации). , люди, документы, машины и оборудование, программное обеспечение и т. д. Как правило, в рамках одного метода объекты модели, отражающие различные сущности реального мира, также являются разными. Связи предназначены для описания взаимоотношений объектов друг с другом. К числу таких взаимоотношений могут относиться: последовательность выполнения во времени, связь при помощи потока информации, использование другим объектом и т. д.
Для каждого объекта и связей характерны ряд параметров, или, как принято говорить, атрибутов, отражающих определенные характеристики реального объекта. Состав атрибутов зависит от типа отображаемого при помощи модели реального объекта организации. Атрибутами могут служить такие характеристики, как номер объекта, название, описание, длительность выполнения (для функций), стоимость и др. На практике при создании моделей организации описание атрибутов объектов модели осуществляется при помощи специальных инструментальных средств моделирования бизнес-процессов. Это позволяет сделать из простейшего «описания» бизнес-процесса более сложную «модель», на основе которой производят определенные вычисления, осуществляют анализ и оценку процесса.

История развития методологий моделирования бизнес-процессов
Основу многих современных методологий моделирования бизнес-процессов составили методология SADT (Structured Analysis and Design Technique – метод структурного анализа и проектирования) и алгоритмические языки, применяемые для разработки программного обеспечения.
В сжатом виде история развития методологий моделирования бизнес-процессов представлена в таблице. Для наглядности параллельно приведена история развития подходов к управлению качеством.