Арифметические операции над числами, представленными в различных системах счисления
Содержание
Введение………………………………………………………………………..3
1. Теоретическая часть ……………………………………………………...4
1.1. Системы счисления……………………………………………………….4
1.2. Арифметические операции над числами, представленными в различных системах счисления……………………………………………………8
1.3. Представление чисел в компьютере……………………………………..9
2. Практическая часть……………………………………………………...15
2.1. Постановка задачи……………………………………………………..15
2.1.1. Цель решения задачи ………………………………………………….15
2.1.2. Условие задачи ………………………………………………………..15
2.2. Компьютерная модель решения задачи…………………………….17
2.2.1. Информационная модель решения задачи …………………………..17
2.2.2. Аналитическая модель решения задачи ……………………………..17
2.2.3.Технология решения задачи …………………………………………..18
2.3. Результаты компьютерного эксперимента и их анализ………….23
2.3.1. Результаты компьютерного эксперимента …………………………..23
2.3.2. Анализ полученных результатов……………………………………..25
Заключение……………………………………………………………………26
Список использованной литературы………………………………………..27
Введение
Каждый регистр арифметического устройства ЭВМ, каждая ячейка памяти представляет собой физическую систему, состоящую из некоторого числа однородных элементов. Каждый такой элемент способен находиться в нескольких состояниях и служит для изображения одного из разрядов числа. Именно поэтому каждый элемент ячейки называют разрядом. Нумерацию разрядов в ячейке принято вести справа налево, самый левый разряд имеет порядковый номер 0. Наиболее надежным и дешевым является устройство, каждый разряд которого может принимать два состояния: намагничено - не намагничено, высокое напряжение - низкое напряжение и т.д. В современной электронике развитие аппаратной базы ЭВМ идет именно в этом направлении.
Теоретическая часть
Системы счисления
Для записи информации о количестве объектов материального мира используются числа, которые разделяются по определенным признакам. На рис. 1 представлена классификация чисел по групповому признаку, когда в каждую группу входят числа, обладающие определенными свойствами.
Рис. 1. Классификация чисел
Числа записываются с использованием особых знаковых систем, которые называются системами счисления, в них числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами.
Все системы счисления делятся на два вида: позиционные и непозиционные. В позиционных системах счисления значение цифры зависит от ее положения в числе, в непозиционных – не зависит. Самой распространенной из непозиционных систем является римская. В качестве цифр в римской системе используются следующие символы: I (1), V (5), X (10), L (50), С (100), D (500), М (1000). Значение цифры в этой системе не зависит от ее положения в числе. Величина числа в римской системе определяется как сумма и разность цифр в числе. Если меньшая цифра стоит слева от большей, то она вычитается, если справа – прибавляется.
Например, число 1997 (десятичная позиционная система счисления) в римской системе счисления будет выглядеть следующим образом: MCMXCVII = 1000 + (1000 – 100) + (100 – 10) + 5 + 1 + 1.
Наибольшее применение при вводе, обработке и выводе информации в компьютере и компьютерных системах нашли позиционные системы счисления, при этом самыми распространенными являются десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы. В позиционных системах счисления количественное значение цифры зависит от ее позиции в числе. Основание системы равно количеству цифр (знаков ее алфавита) и определяет, во сколько раз различаются значения цифр соседних разрядов числа. В общем случае в позиционной системе счисления любое число, содержащее целую и дробные части, в развернутой форме может быть представлено в виде:
или в рекуррентной форме:
где K – представляемое число; h – основание системы счисления; а – разрядный коэффициент, а = 0, 1, 2, 3…, h-1, т. е. цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления; i – номер разряда, позиция; n – число целых разрядов числа; m – число дробных разрядов числа.
В десятичной системе счисления формула (2.2) может быть записана следующим образом:
где а = 0, 1, 2, 3…, 9.
Например, число 827 десятичной системы счисления в соответствии с выражением (2.3) можно представить в виде: 827 = 8 · 102 + 2 · 101 + 7 · 100.
Десятичная система исчисления используется в компьютерах для ввода числовых данных и отображения полученного результата. Все внутренние, промежуточные операции компьютер производит в двоичной системе счисления и соотношение (2.2) примет вид:
где а = 0, 1.
Например, число 11001110112 двоичной системы счисления в соответствии с формулой (2.4) можно представить в виде: 1 · 29 + 1 · 28 + 0 · 27 + 0 · 26 + 1 · 25 + 1 · 24 + 1 · 23 + 0 · 22 + 1 · 21 + 1 · 20.
Достаточно широко при компьютерной обработке информации применяются восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления, которые используются, например, для обозначения адресов расположения данных в памяти компьютера и т. д.
Соотношение (2.2) для восьмеричной и шестнадцатеричной системы счисления соответственно примет вид (2.5) и (2.6) :
где а = 0, 1, 2, 3…, 7.
Например, число 14738 восьмеричной системы счисления в соответствии с (2.5) примет вид: 1 · 83 + 4 · 82 + 7 · 81 + 3 · 80.
где а = 0, 1, 2, 3…, 9, A, B, C, D, E, F.
В шестнадцатеричной системе счисления используется шестнадцать цифр, из которых десять цифр арабские (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), а остальные цифры (10, 11, 12, 13, 14, 15) обозначаются буквами латинского алфавита (А = 10, В = 11, С = 12, D = 13, E = 14, F = 15).
Например, число 33B16 шестнадцатеричной системы счисления, в соответствии с (2.6) примет вид: 3 · 162 + 3 · 161 + В · 160 (В = 11).
При операциях с числами, представленными в различных системах счисления, необходимо указывать систему счисления числа, используя нижний индекс, например: 82710 – число 827 в десятичной системе; 11001110112 – число 1100111011 в двоичной системе; 14738 – число 1473 в восьмеричной системе; 33B16 – число 33В в шестнадцатеричной системе счисления.
Преобразование чисел, представленных в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления, в десятичную осуществляется достаточно просто. Для этого необходимо записать число в развернутой форме в соответствии с выражением (2.1) и вычислить его значение. Например:
Преобразование чисел, представленных в десятичной системе счисления, в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления – более сложная процедура, которая может осуществляться различными способами: деления, умножения, вычитания и т. д. При этом необходимо учитывать, что способы перевода целых десятичных чисел и правильных дробей будут различаться. Для перевода целого десятичного числа, например 5310, в двоичную систему можно использовать способ деления, а десятичной правильной дроби, например 0,7510, в двоичную систему – способ умножения. Результаты действий отобразим в соответствующих табл. 1 и 2.
Таблица 1
Таким образом, 5310 = 1101012.
Таблица 2
Таким образом, 0,7510 = 0,112.
Практическая часть
2.1. Постановка задачи
Торговое предприятие ООО «Электрон» осуществляет розничную продажу бытового оборудования и средств вычислительной техники (СВТ). Для продвижения товара предприятие организует рекламную кампанию, на осуществление которой формируется бюджет в зависимости от объема продаж и показателя отчислений на рекламу.
Цель решения задачи
Для высокой розничной продажи бытового оборудования и средств вычислительной техники нужно правильно организовать и рассчитать рекламную компанию.
Условие задачи
Исходным условием является объем продаж бытовой техники (руб.), объем продаж средств вычислительной техники (руб.) и показатели отчислений на рекламу (%) за каждый месяц.
В таблицу объема продаж будут вводиться данные о продажах (руб.)
Таблица 1
| Месяц | Объем продаж бытовой техники, руб. | Объем продаж СВТ, руб. | Объем продаж всего за месяц, руб. |
| Январь | 121 562 | 278 365 | |
| Февраль | 165 897 | 456 325 | |
| Март | 459 325 | 258 963 | |
| Апрель | 256 987 | 333 478 | |
| Май | 128 965 | 236 985 | |
| Июнь | 222 655 | 325 654 | |
| Июль | 179 258 | 289 741 | |
| Август | 258 963 | 569 258 | |
| Сентябрь | 165 321 | 456 921 | |
| Октябрь | 147 852 | 324 512 | |
| Ноябрь | 236 654 | 258 963 | |
| Декабрь | 456 321 | 547 963 |
И дана таблица показателя отчислений на рекламу (%)
Таблица 2
| Январь | Февраль | Март | Апрель | Май | Июнь | Июль | Август | Сентябрь | Октябрь | Ноябрь | Декабрь |
| 3,2 | 3,5 | 3,4 | 4,1 | 4,8 | 4,9 | 3,9 | 4,5 | 3,2 | 3,3 | 4,2 | 4,9 |
Результаты из предыдущих таблиц (объем продаж всего за месяц, показатель отчислений на рекламу; с помощью функции ВПР или ПРОСМОТР) занести в третью таблицу и рассчитать рекламный бюджет
Таблица 3
| Месяц | Объем продаж всего за месяц, руб. | Показатель отчислений на рекламу, % | Рекламный бюджет, руб. |
| Январь | |||
| Февраль | |||
| Март | |||
| Апрель | |||
| Май | |||
| Июнь | |||
| Июль | |||
| Август | |||
| Сентябрь | |||
| Октябрь | |||
| Ноябрь | |||
| Декабрь | |||
| Итого общий рекламный бюджет за год, руб. |
В процессе решения задачи необходимо использовать межтабличные связи для организации ввода и контроля исходных данных, а также для организации процессов расчета функции ВПР, ПРОСМОТР.
Кроме того, информацию, находящуюся в таблицах для анализа, необходимо представить в виде диаграмм.
Рис. 1. Информационная модель взаимосвязи исходных и результирующих данных
Технология решения задачи
Рис. 2. Пример выделения группы ячеек
4. Ввести в ячейки A3÷D3 информацию, представленную на рис. 5.
Рис. 3. Имена полей таблицы «Объем продаж»
5. Организовать контроль данных, вводимых в колонку «Месяц»:
• выделить ячейки А3÷А15;
• выполнить команду «Проверка данных» в меню «Данные»;
• в поле «Тип данных» нажать кнопку «Любое значение» (рис. 4).
Рис. 4. Выбор типа данных
Замечание. Выбор типа данных вводимых значений в списке «Тип данных» позволяет определить, какие условия можно установить для значений ячеек. Если для определения допустимых значений требуется ввести формулу, выражение или ссылку на вычисления в другой ячейке, то выбирается в списке строка «Другой».
• выделить ячейки В3÷В15;
• выполнить команду «Проверка данных» в меню «Данные»;
• в поле «Тип данных» нажать кнопку «Целое число».
• задать в поле «Минимум»: 100;
• задать в поле «Максимум»: 2000000 (рис. 5). Тоже делаю с ячейками С3÷С15 и D3÷D15
Рис. 5. Задание интервала допустимых значений целых чисел
Замечание. Если есть необходимость видеть постоянно на экране подсказку об ограничениях ввода в выбранную ячейку, то нужно выбрать закладку «Сообщение для ввода». Если нужно, чтобы сообщение появлялось только после ошибки, нужно выбрать закладку «Сообщение об ошибке».
6. Ввести информацию, приведенную в табл. 1.
Таблица 4
Объем продаж
| Месяц | Объем продаж бытовой техники, руб. | Объем продаж СВТ, руб. | Объем продаж всего за месяц, руб. |
| Январь | 121 562 | 278 365 | |
| Февраль | 165 897 | 456 325 | |
| Март | 459 325 | 258 963 | |
| Апрель | 256 987 | 333 478 | |
| Май | 128 965 | 236 985 | |
| Июнь | 222 655 | 325 654 | |
| Июль | 179 258 | 289 741 | |
| Август | 258 963 | 569 258 | |
| Сентябрь | 165 321 | 456 921 | |
| Октябрь | 147 852 | 324 512 | |
| Ноябрь | 236 654 | 258 963 | |
| Декабрь | 456 321 | 547 963 |
7. Переименовать «Лист 2» в «Показатель отчислений на рекламу» (аналогично действиям пункта 1).
13. Создать таблицу «Показатель отчислений на рекламу» (аналогично действиям пунктов 3 – 5) (рис.6).
14. Ввести исходные данные (см. рис. 6).
Рис. 6. Вид таблицы «Показатель отчислений на рекламу»
8. Переименовать «Лист 3» в «Рекламный бюджет» (аналогично действиям пункта 1).
13. Создать таблицу «Рекламный бюджет» (аналогично действиям пунктов 3 – 5) (рис.7).
Рис. 7. Вид таблицы «Рекламный бюджет»
9.Занести в ячейки формулы
• воспользоваться командой «Вставить функцию» меню «Формулы»;
• в поле «Категория:» выбрать «Ссылки и массивы»;
• в поле «Выберите функцию» нажать «ВПР» (рис. 8);
Рис. 8. Вид первого окна мастера функций
• нажать кнопку «OK»;
• ввести объем продаж в поле «Искомое_значение», щелкнув по ячейке D4;
• нажать «Enter»;
• ввести информацию в поле «Таблица»;
• выделить столбец объема продаж и сделать его абсолютным;
Рис. 9. Мастер функции
• нажать«Enter»;
• ввести информацию – цифру 1 в поле «Номер_столбца»;
• ввести информацию – цифру 0 в поле «Интервальный_просмотр» (рис. 23);
• нажать кнопку «OK»;
• установить курсор на маркер в правом нижнем углу ячейки В3, щелкнуть левой клавишей мыши и протянуть его до ячейки В13.
10. Далее заполняется ячейка «Показатель отчисления на рекламу»
11. Рекламный бюджет вычисляется по формуле:
=C3/100*B3
То есть «Показатель отчислений на рекламу делится на 100 % и умножается на объем продаж всего за месяц.
Рис. 10. Результат заполнения таблицы «Рекламный бюджет»
19. Представить наглядно результаты расчетов, создав диаграмму по данным таблицы:
Рис. 11. Гистограмма «Рекламный бюджет»
2.3. Результаты компьютерного эксперимента и их анализ
Заключение
Использование двоичной системы счисления в качестве внутренней системы представления информации вызвано конструктивными особенностями элементов вычислительных машин.
Во всех современных ЭВМ для представления числовой информации используется двоичная система счисления. Это обусловлено :
· более простой реализацией алгоритмов выполнения арифметических и логических операций;
· более надежной физической реализацией основных функций, так как они имеют всего два состояния (0 и 1);
· экономичностью аппаратурной реализации всех схем ЭВМ
Представление (кодирование) информации с помощью двоичного алфавита позволило не только ввести единицы для измерения ее количества (объема).
Действительно, информация, представленная последовательностью нулей и единиц, является дискретной.
Результаты, полученные в курсовой работе - наглядно представленные результаты обработки информации. Получение навыков при работе с MS Excel и текстовым редактором MS Word.
Данная работа скачена с сайта http://www.vzfeiinfo.ru ID работы: 33050
Список использованной литературы
а) Учебник
1. Информатика: аппаратные средства персонального компьютера / под ред. В.Н. Яшин. – М.: 2008.
б) Электронные ресурсы
1. http://irnik.narod.ru/ - статья «Представление информации в компьютере».
Данная работа скачена с сайта http://www.vzfeiinfo.ru ID работы: 33050
Содержание
Введение………………………………………………………………………..3
1. Теоретическая часть ……………………………………………………...4
1.1. Системы счисления……………………………………………………….4
1.2. Арифметические операции над числами, представленными в различных системах счисления……………………………………………………8
1.3. Представление чисел в компьютере……………………………………..9
2. Практическая часть……………………………………………………...15
2.1. Постановка задачи……………………………………………………..15
2.1.1. Цель решения задачи ………………………………………………….15
2.1.2. Условие задачи ………………………………………………………..15
2.2. Компьютерная модель решения задачи…………………………….17
2.2.1. Информационная модель решения задачи …………………………..17
2.2.2. Аналитическая модель решения задачи ……………………………..17
2.2.3.Технология решения задачи …………………………………………..18
2.3. Результаты компьютерного эксперимента и их анализ………….23
2.3.1. Результаты компьютерного эксперимента …………………………..23
2.3.2. Анализ полученных результатов……………………………………..25
Заключение……………………………………………………………………26
Список использованной литературы………………………………………..27
Введение
Каждый регистр арифметического устройства ЭВМ, каждая ячейка памяти представляет собой физическую систему, состоящую из некоторого числа однородных элементов. Каждый такой элемент способен находиться в нескольких состояниях и служит для изображения одного из разрядов числа. Именно поэтому каждый элемент ячейки называют разрядом. Нумерацию разрядов в ячейке принято вести справа налево, самый левый разряд имеет порядковый номер 0. Наиболее надежным и дешевым является устройство, каждый разряд которого может принимать два состояния: намагничено - не намагничено, высокое напряжение - низкое напряжение и т.д. В современной электронике развитие аппаратной базы ЭВМ идет именно в этом направлении.
Теоретическая часть
Системы счисления
Для записи информации о количестве объектов материального мира используются числа, которые разделяются по определенным признакам. На рис. 1 представлена классификация чисел по групповому признаку, когда в каждую группу входят числа, обладающие определенными свойствами.
Рис. 1. Классификация чисел
Числа записываются с использованием особых знаковых систем, которые называются системами счисления, в них числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами.
Все системы счисления делятся на два вида: позиционные и непозиционные. В позиционных системах счисления значение цифры зависит от ее положения в числе, в непозиционных – не зависит. Самой распространенной из непозиционных систем является римская. В качестве цифр в римской системе используются следующие символы: I (1), V (5), X (10), L (50), С (100), D (500), М (1000). Значение цифры в этой системе не зависит от ее положения в числе. Величина числа в римской системе определяется как сумма и разность цифр в числе. Если меньшая цифра стоит слева от большей, то она вычитается, если справа – прибавляется.
Например, число 1997 (десятичная позиционная система счисления) в римской системе счисления будет выглядеть следующим образом: MCMXCVII = 1000 + (1000 – 100) + (100 – 10) + 5 + 1 + 1.
Наибольшее применение при вводе, обработке и выводе информации в компьютере и компьютерных системах нашли позиционные системы счисления, при этом самыми распространенными являются десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы. В позиционных системах счисления количественное значение цифры зависит от ее позиции в числе. Основание системы равно количеству цифр (знаков ее алфавита) и определяет, во сколько раз различаются значения цифр соседних разрядов числа. В общем случае в позиционной системе счисления любое число, содержащее целую и дробные части, в развернутой форме может быть представлено в виде:
или в рекуррентной форме:
где K – представляемое число; h – основание системы счисления; а – разрядный коэффициент, а = 0, 1, 2, 3…, h-1, т. е. цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления; i – номер разряда, позиция; n – число целых разрядов числа; m – число дробных разрядов числа.
В десятичной системе счисления формула (2.2) может быть записана следующим образом:
где а = 0, 1, 2, 3…, 9.
Например, число 827 десятичной системы счисления в соответствии с выражением (2.3) можно представить в виде: 827 = 8 · 102 + 2 · 101 + 7 · 100.
Десятичная система исчисления используется в компьютерах для ввода числовых данных и отображения полученного результата. Все внутренние, промежуточные операции компьютер производит в двоичной системе счисления и соотношение (2.2) примет вид:
где а = 0, 1.
Например, число 11001110112 двоичной системы счисления в соответствии с формулой (2.4) можно представить в виде: 1 · 29 + 1 · 28 + 0 · 27 + 0 · 26 + 1 · 25 + 1 · 24 + 1 · 23 + 0 · 22 + 1 · 21 + 1 · 20.
Достаточно широко при компьютерной обработке информации применяются восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления, которые используются, например, для обозначения адресов расположения данных в памяти компьютера и т. д.
Соотношение (2.2) для восьмеричной и шестнадцатеричной системы счисления соответственно примет вид (2.5) и (2.6) :
где а = 0, 1, 2, 3…, 7.
Например, число 14738 восьмеричной системы счисления в соответствии с (2.5) примет вид: 1 · 83 + 4 · 82 + 7 · 81 + 3 · 80.
где а = 0, 1, 2, 3…, 9, A, B, C, D, E, F.
В шестнадцатеричной системе счисления используется шестнадцать цифр, из которых десять цифр арабские (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), а остальные цифры (10, 11, 12, 13, 14, 15) обозначаются буквами латинского алфавита (А = 10, В = 11, С = 12, D = 13, E = 14, F = 15).
Например, число 33B16 шестнадцатеричной системы счисления, в соответствии с (2.6) примет вид: 3 · 162 + 3 · 161 + В · 160 (В = 11).
При операциях с числами, представленными в различных системах счисления, необходимо указывать систему счисления числа, используя нижний индекс, например: 82710 – число 827 в десятичной системе; 11001110112 – число 1100111011 в двоичной системе; 14738 – число 1473 в восьмеричной системе; 33B16 – число 33В в шестнадцатеричной системе счисления.
Преобразование чисел, представленных в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления, в десятичную осуществляется достаточно просто. Для этого необходимо записать число в развернутой форме в соответствии с выражением (2.1) и вычислить его значение. Например:
Преобразование чисел, представленных в десятичной системе счисления, в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления – более сложная процедура, которая может осуществляться различными способами: деления, умножения, вычитания и т. д. При этом необходимо учитывать, что способы перевода целых десятичных чисел и правильных дробей будут различаться. Для перевода целого десятичного числа, например 5310, в двоичную систему можно использовать способ деления, а десятичной правильной дроби, например 0,7510, в двоичную систему – способ умножения. Результаты действий отобразим в соответствующих табл. 1 и 2.
Таблица 1
Таким образом, 5310 = 1101012.
Таблица 2
Таким образом, 0,7510 = 0,112.
Арифметические операции над числами, представленными в различных системах счисления
Арифметические операции во всех позиционных системах счисления выполняются по одним и тем же правилам. Для проведения арифметических операций над числами, представленными в различных системах счисления, необходимо предварительно преобразовать их в одну систему счисления и учесть то, что перенос в следующий разряд при операции сложения и заем из старшего разряда при операции вычитания определяется величиной основания системы счисления.
Арифметические операции в двоичной системе счисления основаны на таблицах сложения, вычитания и умножения одноразрядных двоичных чисел.
При сложении двух единиц происходит переполнение разряда и производится перенос единицы в старший разряд, при вычитании 0–1 производится заем из старшего разряда, в таблице «Вычитание» этот заем обозначен 1 с чертой над цифрой (Таблица 3).
Таблица 3
Ниже приведены примеры выполнения арифметических операций над числами, представленными в различных системах счисления:
Арифметические операции над целыми числами, представленными в различных системах счисления, достаточно просто реализуются с помощью программ Калькулятор и MS Excel.