Арифметические операции в позиционных системах счисления

Вопросы:

1. Сложение

2. Вычитание

3. Умножение

4. Деление

Сложение

Таблицы сложения легко составить, используя Правило Счета.

Сложение в двоичной системе

Сложение в восьмеричной системе

Сложение в шестнадцатиричной системе

При сложении цифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает избыток, то он переносится влево.

Примеры.

Пример 1. Сложим числа 15 и 6 в различных системах счисления.

Шестнадцатеричная: F16+616

Ответ: 15+6 = 2110 = 101012 = 258 = 1516. Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду: 101012 = 24 + 22 + 20 = 16+4+1=21, 258 = 2 . 81 + 5 . 80 = 16 + 5 = 21, 1516 = 1 . 161 + 5 . 160 = 16+5 = 21.

Пример 2. Сложим числа 15, 7 и 3.

Шестнадцатеричная: F16+716+316

Ответ: 5+7+3 = 2510 = 110012 = 318 = 1916. Проверка: 110012 = 24 + 23 + 20 = 16+8+1=25, 318 = 3 . 81 + 1 . 80 = 24 + 1 = 25, 1916 = 1 . 161 + 9 . 160 = 16+9 = 25.

Пример 3. Сложим числа 141,5 и 59,75.

Ответ: 141,5 + 59,75 = 201,25₁₀ = 11001001,01₂ = 311,2₈ = C9,4₁₆

Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду:

11001001,01₂ = 2⁷ + 2⁶ + 2³ + 2⁰ + 2^-2 = 201,25

311,2₈ = 3 ^. 8² + 18¹ + 1 ^. 8⁰ + 2 ^. 8^-1 = 201,25

C9,4₁₆ = 12 ^. 16¹ + 9 ^. 16⁰ + 4 ^. 16^-1 = 201,25

Вычитание

Пример 4. Вычтем единицу из чисел 10₂, 10₈ и 10₁₆

Пример 5. Вычтем единицу из чисел 100₂, 100₈ и 100₁₆.

Пример 6.Вычтем число 59,75 из числа 201,25.

Ответ: 201,25₁₀ - 59,75₁₀ = 141,5₁₀ = 10001101,1₂ = 215,4₈ = 8D,8₁₆.

Проверка. Преобразуем полученные разности к десятичному виду:

10001101,1₂ = 2⁷ + 2³ + 2² + 2⁰ + 2^-1 = 141,5;

215,4₈ = 2 ^. 8² + 1 ^. 8¹ + 5 ^. 8⁰ + 4 ^. 8^-1 = 141,5;

8D,8₁₆ = 8 ^. 16¹ + D ^. 16⁰ + 8 ^. 16^-1 = 141,5.

Умножение

Выполняя умножение многозначных чисел в различных позиционных системах счисления, можно использовать обычный алгоритм перемножения чисел в столбик, но при этом результаты перемножения и сложения однозначных чисел необходимо заимствовать из соответствующих рассматриваемой системе таблиц умножения и сложения.

Умножение в двоичной системе

Умножение в восьмеричной системе

Ввиду чрезвычайной простоты таблицы умножения в двоичной системе, умножение сводится лишь к сдвигам множимого и сложениям.

Пример 7. Перемножим числа 5 и 6.

Ответ: 5 ^. 6 = 30₁₀ = 11110₂ = 36₈.

Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:

11110₂ = 2⁴ + 2³ + 2² + 2¹ = 30;

36₈ = 38¹ + 68⁰ = 30.

Пример 8. Перемножим числа 115 и 51.

Ответ: 115 ^. 51 = 5865₁₀ = 1011011101001₂ = 13351₈.

Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:

1011011101001₂ = 2¹² + 2¹⁰ + 2⁹ + 2⁷ + 2⁶ + 2⁵ + 2³ + 2⁰ = 5865;

13351₈ = 1 ^. 8⁴ + 3 ^. 8³ + 3 ^. 8² + 5 ^. 8¹ + 1 ^. 8⁰ = 5865.

Деление

Деление в любой позиционной системе счисления производится по тем же правилам, как и деление углом в десятичной системе. В двоичной системе деление выполняется особенно просто, ведь очередная цифра частного может быть только нулем или единицей.

Пример 9. Разделим число 30 на число 6.

Ответ: 30 : 6 = 5₁₀ = 101₂ = 5₈.

Пример 10. Разделим число 5865 на число 115.

Восьмеричная: 13351₈ :163₈

Ответ: 5865 : 115 = 51₁₀ = 110011₂ = 63₈.

Проверка. Преобразуем полученные частные к десятичному виду:

110011₂ = 2⁵ + 2⁴ + 2¹ + 2⁰ = 51; 63₈ = 6 ^. 8¹ + 3 ^. 8⁰ = 51.

Пример 11. Разделим число 35 на число 14.

Восьмеричная: 43₈ : 16₈

Ответ: 35 : 14 = 2,5₁₀ = 10,1₂ = 2,4₈.

Проверка. Преобразуем полученные частные к десятичному виду:

10,1₂ = 2¹ + 2 ^-1 = 2,5;

2,4₈ = 2 ^. 8⁰ + 4 ^. 8^-1 = 2,5.

Упражнения:

1. Составьте таблицы сложения однозначных чисел в троичной и пятеричной системах счисления.

2. Составьте таблицы умножения однозначных чисел в троичной и пятеричной системах счисления.

3. Сложите числа, а затем проверьте результаты, выполнив соответствующие десятичные сложения:

а) 10111012 и 11101112;	д) 378 и 758;	и) A16 и F16;
б) 1011,1012 и 101,0112;	е) 1658 и 378;	к) 1916 и C16;
в) 10112, 112 и 111,12;	ж) 7,58 и 14,68;	л) A,B16 и E,F16;
г) 10112 , 11,12 и 1112;	з) 68, 178 и 78;	м) E16, 916 и F16.

4. В каких системах счисления выполнены следующие сложения? Найдите основания каждой системы:

5. Найдите те подстановки десятичных цифр вместо букв, которые делают правильными выписанные результаты (разные цифры замещаются разными буквами):

6.Вычтите:

а) 1112 из 101002;	д) 158 из 208;	и) 1А16 из 3116;
б) 10,112 из 100,12;	е) 478 из 1028;	к) F9E16 из 2А3016;
в) 111,12 из 100102;	ж) 56,78 из 1018;	л) D,116 из B,9216;
г) 100012 из 1110,112;	з) 16,548 из 30,018;	м) ABC16 из 567816.

7. Перемножьте числа, а затем проверьте результаты, выполнив соответствующие десятичные умножения:

а) 1011012 и 1012;	д) 378 и 48;
б) 1111012 и 11,012;	е) 168 и 78;
в) 1011,112 и 101,12;	ж) 7,58 и 1,68;
г) 1012 и 1111,0012;	з) 6,258 и 7,128.

8. Разделите 10010110₂ на 1010₂ и проверьте результат, умножая делитель на частное.

9. Разделите 10011010100₂ на 1100₂ и затем выполните соответствующее десятичное и восьмеричное деление.

10. Вычислите значения выражений:

а) 256₈ + 10110,1₂ ^. (60₈ + 12₁₀) - 1F₁₆;

б) 1AD₁₆ - 100101100₂ : 1010₂ + 217₈;

в) 1010₁₀ + (106₁₆ - 11011101₂) 12₈;

г) 1011₂ ^. 1100₂ : 14₈ + (100000₂ - 40₈).

11. Расположите следующие числа в порядке возрастания:

а) 74₈, 110010₂, 70₁₀, 38₁₆;

б) 6E₁₆, 142₈, 1101001₂, 100₁₀;

в) 777₈, 101111111₂, 2FF₁₆, 500₁₀;

г) 100₁₀, 1100000₂, 60₁₆, 141₈.