Метод деления отрезка пополам

В отличие от предыдущего метода метод гарантированно дает корень, если он имеется на заданном отрезке [a,b]. Суть метода показана на рис. 1.68. В качестве исходных данных задается отрезок [a,b] с корнем внутри его. Вычисляется функция f_a = f(a). Отрезок [a,b] делится пополам точкой c = (a + b) / 2. Вычисляется функция f_c = f(c). Далее проверяются знаки f_a и f_c. Если эти величины имеют одинаковые знаки, то точка a переносится в точку c:

a = с, f_a = f_c

_.Если f_a и f_c имеют разные знаки, то точка b переносится в точку с: b = c. Далее процесс сужения отрезка [a,b] продолжается до тех пор, пока b – a не станет меньше заданной погрешности. Корень при этом в точке с.

Рис. 1.68. Суть метода деления отрезка пополам

Метод Ньютон

Суть метода показана на рис. 1.69. В качестве начального приближения в методе задается значение x₀. Метод используется тогда, когда производная функции f(x) определена в аналитическом виде.

В точке x₀ вычисляется значение функции f₀ = f(x₀). Далее по формуле

x₁ = x₀ – f₀ / f’(x₀) (2)

вычисляется точка x₁ пересечения касательной, проведенной из точки f_0. Если |x_{1 –} x₀|>E (E —заданная погрешность), то полагается x₀ = x₁, вычисляется f₀ = f(x₀) и итерационный процесс по формуле (2) продолжается до тех пор, пока не окажется |x₁ – x₀| < E. Корень при этом в x_1. Метод Ньютона не гарантирует сходимость алгоритма к корню.

Рис. 1.69. Суть метода ньютона

Метод Вегстейна

Метод является модификацией метода Ньютона и используется для функций, у которых неизвестна в аналитическом виде производная f’(x₀). Суть метода показана на рис. 1.70.

В качестве начального приближения в методе задается два начальных приближения x₀ и x_1. Желательно эти начальные приближения задавать по разную сторону от корня. Далее вычисляются значения функции f₀ и f₁ и через точки f₀ и f₁ проводится секущая до пересечения ее с осью Х в точке x₂:

x₂ = x₀ – (f₀(x₀ – x₁) / (f₀ – f₁)) (3)

Далее вычисляется значение функции f₂. Если |x₂ – x₀| > E (E —погрешность), то полагается

x₀ = x₁ , x₁ = x₂, f₀ = f₁, f₁ = f₂

и итерационной процесс по формуле (3) продолжается до тех пор, пока не окажется |x₂ – x₀| < E. Метод Вегстейна практически всегда сходится к корню.

Рис. 1.70. Суть метода Вегстейна

Численное вычисление определенного интеграла

Во всех методах исходный отрезок [a,b] разбивается на более мелкие интервалы длиной h. Величина шага h определяется точностью вычисления интеграла.

Метод средних

Суть метода показана на рис. 1.71.

В этом методе площадь, ограниченная кривой f(x) заменяется площадью прямоугольника f_{i *} h, где f_i = f(x_i + h / 2). В общем случае интеграл по формуле средних определяется формулой:

Рис. 1.71. Суть метода средних

Метод трапеций

Суть метода показана на рис. 1.72.

В этом методе площадь, ограниченная кривой f(x) заменяется площадью трапеции . В общем случае интеграл по формуле трапеций определяется по формуле:

Рис. 1.72. Суть метода трапеций

Метод Симпсона

Суть метода показана на рис. 1.73.

В этом методе площадь, ограниченная кривой f(x) заменяется площадью, ограниченной параболой, где x_i+1/2=(x_i + x_i+1) / 2. В общем случае интеграл по формуле Симпсона определяется формулой:

Рис. 1.73. Суть метода Симпсона

Аппроксимация функций

В качестве исходных данных аппроксимации задается таблично заданная функция f_i для дискретного набора аргументов x_i, . При аппроксимации известна кривая, которая должна покрывать набор табличных значений. У этой кривой f(a,x) неизвестны только параметры a, которые обеспечивают оптимальное расположение кривой f(a,x) относительно табличных данных. Подбор параметров а осуществляется по методу наименьших квадратов, в соответствии с которым:

Минимум этой функции достигается, если производные по всем параметрам а_j вектора а равны нулю:

Очень часто используется линейная аппроксимация:

В этом случае нелинейная система уравнений преобразуется к линейной

где:

Для решения данной задачи необходимо решить систему линейных алгебраических уровнений относительно a_{j .}В случае представления f(a,x) набором ортогональных функций матрица сводится к диагональному виду, так как =0 для i≠k. Для ортогональных величина a_k определяется выражением:

Очень часто аппроксимируемая функция f(a,x) называется линией тренда. В частности, в Excel существует сервис получения линий тренда для фиксированного набора функций f(a,x). Приведем пример получениялинии тренда в среде Excel. Прежде всего необходимо задать табличные значения функции с х в 1-й строке и f во второй строке (рис. 1.74).

Рис. 1.74. Исходная функциональная зависимость

По этим даны далее необходимо построить точечный график. Для этого выделяем исходные данные (рис. 1.74) в выбираем меню Вставка | Диаграмма.В процессе диалога Мастера(рис. 1.75) выбираем точечную диаграмму и далее (рис. 1.76) заполняем поля надписей диаграммы.

Рис. 1.75. Окно Мастера для выбора типа диаграммы

В конце диалогового режима с Мастеромбудет построен точечный график (рис. 1.77).

Рис. 1.76. Заполнение полей надписей диаграммы

Рис. 1.77. Построенный точечный график

Для построения линии тренда необходимо подвести указатель мыши на любую точку графика, что бы высветилась всплывающая подсказка (рис. 1.78) и далее правой клавиши мыши вывести контекстное меню (рис. 1.79). В контекстном меню выбрать пункт Добавить линию тренда.Из предложенных вариантов линий тренда выбрать полиномиальную степени 2 (рис. 1.80). В результате на имеющемся уже точечном графике будет построена оптимальная для этих точек линия тренда (рис. 1.81).

Рис. 1.78. Всплывающая подсказка

Рис. 1.79. Контекстное меню

Рис. 1.80. Из предложенных линий выбираем полиномиальную

Рис. 1.81. Построенная линия тренда

Интерполяция функции

В качестве исходных данных при интерполяции задается таблица (f_i,x_i). Задачей интерполяции является восстановление значений функции при любом значении x по узлам табличных значений. Наиболее простым методом является линейная интерполяция, суть которой демонстрирует рис. 1.82.

Рис. 1.82. Суть линейной интерполяции

Несложно показать геометрически, что при линейной интерполяции значение f в точке x определяется выражением:

при условии, что x_i≤x≤x_i+1.

Более точной является квадратичная интерполяция, суть которой продемонстрирована на рис. 1.83.

Рис. 1.83. Суть квадратичной интерполяции

Несложно показать геометрически, что при квадратичной интерполяции значение f в точке x определяется выражением:

при условии, что |x-x_i|=min для всех .