Тема 1.1. Системы счисления (базовая часть).

Тема 1.1. Системы счисления (базовая часть).

Цели и задачи.

Изучить правила взаимного перевода чисел между 10-й, 2-й, 8-й и 16-й системами счисления, научиться выполнять действия над числами в различных системах счисления, ознакомиться с форматами представления чисел в памяти ЭВМ.

Примеры задач и образцы их решения.

Задача 1.1.1. Переведите 662,325 из 10-й системы счисления в 2-ю, 8-ю и 16-ю системы счисления (с точностью до третьего знака после запятой).

Решение.

Метод перевода чисел из 10-й системы счисления в заданную систему счисления с основанием p различается для целой и дробной части числа. Целую часть переводят, используя последовательное деление на основание p до получения остатков от деления и частного, меньших, чем p. Результат записывается в виде числа из полученных остатков от деления в обратном порядке. Дробная часть числа в 10-й системе счисления переводится путем ее умножения на основание p системы счисления до тех пор, пока дробная часть полученных произведений не станет равной нулю, либо до указанного количества знаков после запятой. Результат записывается в виде числа из целых частей полученных произведений в прямом порядке. Данные методы для перевода чисел представлены на рисунках 1 и 2.

_622 2 622 _311 2 0 310 _155 2 1 154 _77 2 1 76 _38 2 1 38 _19 2 0 18 _9 2 0 8 _4 2 1 4 _2 2 0 2 1 66210=10010011102
_622 8 616 _77 8 6 72 _9 8 4 8 1 66210=11468	_622 16 608 _38 16 14 32 2 E   66210=26Е16

Рис. 1. Перевод целой части числа 662 из 10-й в 2-ю, 8-ю и 16-ю системы счисления.

Рис. 2. Перевод дробной части числа 0,325 из 10-й в 2-ю системы счисления (с точностью до третьего знака после запятой).

Аналогичным образом (см. рис.2) осуществляется перевод дробной части из 10-й в 8-ю и 16-ю системы счисления. В результате получаем, что

0,325₁₀=0,246₈=0,533₁₆.

Запишем полный перевод числа 662,325 из 10-й системы счисления в 2-ю, 8-ю и 16-ю системы счисления:

Ответ: 662,325₁₀=1001001110_,011₂=1146,246₈=26Е,533₁₆.

Задача 1.1.2. Переведите число 1300А,1В из 16-й системы счисления в 8-ю.

Решение.

Поскольку основания 16-й и 8-й систем счисления являются степенями двойки (16=2⁴, 8=2³), то для перевода числа из 16-й в 8-ю используют 2-ю систему счисления. Сначала 16-е число переводят в 2-ю систему счисления, а затем 2-е число переводят в 8-ю систему счисления.

Рассмотрим порядок перевода 16-го числа 1300А,1В в 8-ю систему счисления.

1 3 0 0 А, 1 В16	1. Запишем число в 16-й системе счисления
0001 0011 0000 0000 1010, 0001 10112	2. Каждую цифру 16-го числа переводим в 2-ю систему счисления (см. таблицу 1 Приложения Б)
10011000000001010,000110112	3. Запишем число в 2-й системе счисления
010 011 000 000 001 010, 000 110 1102	4. Разбиваем 2-е число на триады (группы из трех цифр)
2 3 0 0 1 2, 0 5 58	5. Каждую триаду переводим в 8-ю систему счисления (см. таблицу 1 Приложения Б)
230012,0558	6. Запишем число в 8-й системе счисления

Ответ: 1300А,1В16 = 230012,055₈.

Задача 1.1.3. Переведите в 10-ю систему счисления числа: 1110100,11₂, 162,07₈, АВ, 178₁₆.

Решение.

Чтобы перевести число из заданной системы счисления в 10-ю нужно представить число в виде полинома от основания системы счисления и вычислить его значение. Полином - представление числа в виде суммы его цифр, умноженных на соответствующую степень основания системы счисления:

1110100,11₂ = 1*2⁶+1*2⁵+1*2⁴+0*2³+1*2²+0*2¹+0*2⁰+1*2^-1+1*2^-2 = =64+32+16+0+4+0+0+0,5+0,25=116,75₁₀;

162,07₈ = 1*8²+6*8¹+2*8⁰+0*8^-1+7*8^-2 = 64+48+2+ =114 ₁₀;

АВ, 178₁₆ = А*16¹+В*16⁰+1*16^-1+7*16^-2+8*16^-3 = 10*16¹+11*16⁰+1*16^-1+7*16^-2+8*16^-3 = =160+11+ + + =171 ₁₀.

Ответ: 1110100,11₂ =116,75₁₀; 162,07₈=114 ₁₀; АВ, 17816=171 ₁₀.

Задача 1.1.4.Выполните сложение, вычитание и умножение чисел в указанных системах счисления:

а) 11101101₂+1001001₂

б) 1222,07₈-607,5₈

в) 1С,5₁₆*5,А3₁₆

Решение.

Арифметические действия в 2-й, 8-й и 16-й системах счисления выполняются по тем же правилам, что и в 10-й системе счисления. При выполнении этих действий необходимо пользоваться таблицами (см. таблицы 2 и 3 Приложения Б).

Ответ: а) 100110110₂; б) 412,37₈; в)9F,96F₁₆.

Задача 1.1.5. Запишите числа 23 и -125 в дополнительном коде, интерпретируя их как восьмибитовые целые числа со знаком.

Решение.

Все числа в памяти ЭВМ хранятся в виде двоичных кодов. Диапазон значений зависит от количества k разрядов (знаков, бит), выделяемых для хранения одного числа (обычно оно кратно степени двойки – 4, 8 или 16 бит).

Для целых чисел при записи в память ЭВМ используют дополнительный код. У положительных чисел дополнительный код совпадает с его 2-м представлением, дополненным слева до нужного количества разрядов нулями (прямым кодом). Диапазон положительных чисел, для хранения которых выделено k бит, составляет 0..2^k-1, диапазон отрицательных чисел -2^k-1+1..2^k-1-1 (один бит требуется для хранения знака). Число 1 в крайнем левом разряде дополнительного кода означает, что закодировано отрицательное число.

Получим дополнительный код числа 23₁₀. Для этого сначала переведем 23 из 10-й системы счисления в 2-ю:

23₁₀=10111₂.

Так как в задании дополнительный код числа нужно интерпретировать как восьмибитовое целое со знаком (тип данных, содержащий 8 бит), добавим впереди недостающие до нужного количества нули. В результате получим:

00010111 – это прямой код числа 23.

23 - число положительное, а дополнительный код положительных чисел равен их прямому коду, т.е. дополнительный код 23 равен 00010111.

Рассмотрим число -125. Это число отрицательное. Для записи дополнительного кода отрицательных чисел существует следующий алгоритм

а) сначала записывают число без знака в 2-й системе и дополняют слева нулями до нужного количества разрядов (т.е. получают прямой код для модуля числа);

б) затем получают его обратный код, то есть инвертируют (заменяют 0 на 1, а 1 на 0);

в) к обратному коду прибавляют 1. Полученное значение является дополнительным кодом числа.

Выполним действия по заданному алгоритму:

а) 12510=01111101- прямой код;

б) 10000010 – обратный код;

в) дополнительный код - 10000011=10000010+1.

Ответ: для 23: 00010111, для -125: 10000011.

Задача 1.1.6.Запишите в 10-й системе счисления целое число, если задан его дополнительный код 1001111011110110.

Решение.

Единица в старшем разряде дополнительного кода 1001111011110110 означает, что закодировано отрицательное число. Для получения 10-го числа из дополнительного кода воспользуемся обратным алгоритмом:

а) вычтем из заданного кода единицу;

б) инвертируем код (заменим 0 на 1, 1 на 0);

в) переведем полученное число в 10-ю систему счисления;

г) добавим к полученному числу знак "-" (минус).

Результаты:

а) 1001111011110110-000000000000001=1001111011110101;

б) 0110000100001010 - инверсия;

в) 0110000100001010=0+1*2¹⁴+1*2¹³+1*2⁸+1*2³+1*2¹ =

= 16389+8192+256+8+2=24847.

г) -24847 – число, дополнительный код которого дан.

Если в старшем разряде дополнительного кода числа не единица, а ноль, то есть закодировано положительное число, его код нужно перевести в 10-ю систему счисления (пункт в алгоритма).

Ответ: -24847₁₀.

Индивидуальные варианты задач по Теме 1.1 "Системы счисления".

Задача 1.1.1.Перевод числа из 10-й системы счисления в 2-ю, 8-ю и 16-ю системы счисления (с точностью до третьего знака после запятой).

Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3	Вариант 4	Вариант 5
994,135;	523,71;	234,232;	286,007;	841,372;
Вариант 6	Вариант 7	Вариант 8	Вариант 9	Вариант 10
800,312;	413,562;	100,902;	934,253;	208,912;
Вариант 11	Вариант 12	Вариант 13	Вариант 14	Вариант 15
400,426	952,48	708,512	254,561	145,241
Вариант 16	Вариант 17	Вариант 18	Вариант 19	Вариант 20
205,936;	188,032	688,031	147,202	502,37

Задача 1.1.2.Перевод числа из 16-й системы счисления в 8-ю.

Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3	Вариант 4
125А700С1,52А	С400В,000D1	307DE,170521	100С14E,508
Вариант 5	Вариант 6	Вариант 7	Вариант 8
F0000082,C011	10300840,00D	2А0360,А00D	1012А,004АF
Вариант 9	Вариант 10	Вариант 11	Вариант 12
40210000,00С	1710А,930C	1298034,А0E	607140А,001
Вариант 13	Вариант 14	Вариант 15	Вариант 16
215А00D,F0C	56900E0A,14	700052А1,13	830071А,08
Вариант 17	Вариант 18	Вариант 19	Вариант 20
13А205,8С67	102D,3850F	5320011А,F1	4400А63,007

Задача 1.1.3.Перевод числа в 10-ю систему счисления

Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3	Вариант 4	Вариант 5
а) 1001100,1012; б) 317,58; в) 117,А16;	а) 1110001,112; б) 335,78; в) 2B,1A316;	а) 10001101,12; б) 567,218; в) 146,7416;	а) 1001,0012 б) 23,4568; в) 215,716;	а) 1011011,12; б) 416,18; в) 12В,2316;
Вариант 6	Вариант 7	Вариант 8	Вариант 9	Вариант 10
а) 1100001012; б) 1601,568; в) 206,3416;	а) 100111012; б) 105,238; в) 16E,B416;	а) 11100000102; б) 665,428; в) 100,EC16;	а) 10001002; б) 701,128; в) 246,1816;	а) 10010111112; б) 102,478; в) 8С1,2516;
Вариант 11	Вариант 12	Вариант 13	Вариант 14	Вариант 15
а) 100010112; б) 215,678; в) F1,7716;	а) 1010111112; б) 123,0718; в) 88,D16;	а) 10110011112; б) 506,2348; в) 300,1C16;	а) 10011110112; б) 882,578; в) 789,4516;	а) 110111012; б) 3013,258; в) А12,916;
Вариант 16	Вариант 17	Вариант 18	Вариант 19	Вариант 20
а) 1001101112; б) 403,1238; в)DC,1516;	а) 101110012; б) 65,10018; в) 78,А6116;	а)11110101112; б) 341,068; в) 569,Е16;	а) 11011112; б) 1123,78; в) 122,3216;	а) 1110011012; б) 540,0038; в) 8B, C1416;

Задача 1.1.4.Выполнение арифметических действий в указанных системах счисления.

Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3	Вариант 4
а) 11101010102+101110012; б) 2023,58 -- 527,48; в) 3B,A16*10,416;	а)10000001002-1010100012 б) 601,158+127,3048; в) 1650,216*120,216;	а)101110102+100101002; б) 1021,448 -305,068; в) 100,А16*7,5С16;	а) 10101111012-1110000102; б) 1153,28+1147,328; в) 19,416*2F,816;
Вариант 5	Вариант 6	Вариант 7	Вариант 8
а) 101111112+1100100002; б) 1501,348-1374,58; в) 3B,A16*10,416;	а) 10000010012-1111101002; б) 1512,48+1015,28; в) 66,6816*1E,316;	а) 1100101002+10111000012; б) 1252,148-76,048; в) 12D,316*39,616;	а) 11110001012-11001101012; б) 755,168+234,028; в) 1E,5116*23,516;
Вариант 9	Вариант 10	Вариант 11	Вариант 12
а) 10001000012+10111001102; б) 166,148-143,28; в) В4,116*С,2216;	а) 111100102-101010012; б) 665,18+1217,28; в) F,416*38,616;	а) 11011100112+1110001012; б) 1222,18-766,158; в) 41,516*13,A116;	а) 11101000012-1110010012; б) 345,78+430,128; в) 324,28*122,128;
Вариант 13	Вариант 14	Вариант 15	Вариант 16
а) 10000000012+1111100112; б) 134,258-103,948; в) 1001012*1000102;	а) 100010012-1010102; б) 134,258+103,948; в) 25E,616*1B1,516;	а) 11101001012+100111012; б) 214,38-156,658; в) 40F,416*160,416;	а) 111001111112-100111011012; б) 706,58+377,58; в) 287,А16*62,816;
Вариант 17	Вариант 18	Вариант 19	Вариант 20
а) 101110111012+1101111012; б) 134,258+103,748; в) 274,516*DD,416;	а) 11100100012-101001112; б) 601,518+1003,478; в) 100,С16*37,А416;	а) 10001001112+110101112; б)705,38+174,058; в) 1А0,D816*124,216;	а) 1110011012-1010101102; б)1024,058+56,158 ; в) 30C,716*2А1,816;

Задача 1.1.5.Запись дополнительного кода числа, интерпретируемого как 8-битовое целое со знаком.

Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3	Вариант 4	Вариант 5
а) 115; б) -34;	а) 81; б) -40;	а) 98; б) -111;	а) 88; б) -65;	а) 64; б) -103;
Вариант 6	Вариант 7	Вариант 8	Вариант 9	Вариант 10
а) 46; б) -71;	а) 36; б)-123;	а) 70; б)-55;	а) 107 б)-80;	а) 98; б)-120 ;
Вариант 11	Вариант 12	Вариант 13	Вариант 14	Вариант 15
а) 62; б) -77;	а) 105; б) -90;	а) 56; б) -89;	а) 42; б) -107;	а) 112; б) -45;
Вариант 16	Вариант 17	Вариант 18	Вариант 19	Вариант 20
а) 72; б) -113;	а) 63; б) -84;	а) 57; б) -102;	а) 66; б) -91;	а) 132; б) -80;

Задача 1.1.6.Запись в 10-й системе счисления целого числа, если задан его дополнительный код в 2-й системе.

Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3	Вариант 4
Вариант 5	Вариант 6	Вариант 7	Вариант 8
Вариант 9	Вариант 10	Вариант 11	Вариант 12
Вариант 13	Вариант 14	Вариант 15	Вариант 16
Вариант 17	Вариант 18	Вариант 19	Вариант 20

Задача 1.2.1.

Составить в MS Excel расчетную таблицу для автоматизированного решения задачи линейного программирования для двух оптимизируемых параметров. Используя инструмент «Поиск решения», получить оптимальное решение задачи.

при ограничениях: .

Вариант/ Параметры
с1			-1		-1	-2		-1
с2		-1			-2			-1									-10		-2	-1
a11			-1					-1	-3	-1				-3		-1	-1			-2
a12						-2		-2						-1	-1	-4			-2
b1								-2	-6					-9		-8
a21	-2	-3	-2	-3	-3	-2	-2	-2			-4	-5	-2	-1	-3		-1		-1
a22		-2	-3									-4		-2				-3	-2	-2
b2		-6	-6									-20		-8					-2	-8
a31	-2	-1		-1	-1	-1		-2			-1			-1
a32			-3				-2		-4	-2	-3	-1	-3	-6	-1	-2
b3											-9	-5		-12		-5
a41				-1						-1
a42							-1
b4				-2			-2			-2

Задача 1.2.2.

Составить таблицу Excel для автоматизированного решения задачи линейного программирования для четырех оптимизируемых параметров. Используя инструмент «Поиск решения» получить оптимальное решение задачи.

при ограничениях: .

Вариант/ Параметры
с1						-3	-2	-1		-2		-6			-4	-2
с2	-2		-1	-1			-2			-1	-13				-2		-2			-20
с3		-1			-1			-1		-1	-6						-10		-4	-5
с4		-1			-1	-1			-1						-1
a11							-2			-3	-1		-3			-1
a12	-1				-1			-1				-1		-2	-1	-1			-3	-5
a13		-7				-1			-1	-1	-3	-1	-1	-3			-1
a14		-1	-3	-1				-1						-1	-2
b1											-1	-2	-5	-1
a21			-1					-1					-1	-1		-1			-1
a22	-3		-2			-2			-1		-2	-1	-1	-3			-2			-4
a23		-1			-3								-2	-1	-1		-2		-1	-1
a24	-1			-1								-1
b2											-1	-1	-10			-6	-1

Задача 1.

Задача 2.

Задача 3.

Задание: Опишите алгоритм решения следующих задач. Изобразите алгоритмы в виде блок-схемы.

Примеры задач и образцы их решения.

Составьте блок-схему алгоритма и программу нахождения суммы всех четных неотрицательных двузначных чисел.

Решение:

Заметим, что в задаче требуется просуммировать числа неотрицательные двузначные, т.е. числа от 10 до 99. Проверку на четность можно выполнить сравнением деления числа на 2 и результатом целочисленного деления на 2, если результаты совпадают, то число четное и его необходимо прибавить к результату. Потребуется инициализировать две перменные i – анализируемое число (она же переменная цикла) и S – число в котором будет накапливаться сумма (важно инициализировать S значением 0).

В качестве языка программирования выберем VBA. Для реализации цикла будем использовать оператор FOR, т.к. известны начальное и конечное значение переменной цикла i. Поскольку речь идет только о целых числах и входные и выходные данные предполагаются небольшие по значению, то будем использовать для переменных тип данных integer.

Результат работы программы приведен на рисунке

Индивидуальные варианты задач

Один цикл и 2 условия

Вариант 1. Составьте алгоритм и программу нахождения суммы всех нечетных двузначных чисел кратных 3.

Вариант 2. Составьте алгоритм и программу вычисления суммы всех трехзначных чисел, кратных 13 и 10.

Вариант 3. Составьте алгоритм и программу вычисления количества всех трехзначных чисел, кратных 4 и 6.

Вариант 4. Составьте алгоритм и программу, находящую сумму степеней 2ⁿ, где 0 ≤ n ≤ 10.

Вариант 5. Составьте алгоритм и программу, нахождения числа всех трехзначных чисел кратных 2 и некратных 3.

Вариант 6. Составьте алгоритм и программу, нахождения числа всех трехзначных чисел кратных 2 и некратных 3.

Вариант 7. Составьте алгоритм и программу,

ЕЩЕ ВАРИАНТЫ НУЖНЫ

Пример решения.

Составьте блок-схему алгоритма, определяющего принадлежность точки с координатами (x,y) закрашенной области.

Прежде чем переходить к построению алгоритма опишем некоторые вспомогательные условия.

1. Условием нахождения точки внутри окружности (включая границы) , (область А) является выполнение неравенства

2. Условием нахождения точки внутри параболы (область B) является выполнение условия .

3. Условием нахождения точки выше прямой y=1.5 (область С) является выполнение неравенства только для значения y:

4. Условием нахождения точки ниже оси ОХ (область D) является выполнение неравенства .

Теперь заметим, что нижняя область, обозначенная I является пересечением областей А и D, т.е. одновременным выполнением неравенств (запишем их в систему)

Вторая область более сложная. Она представляет собой пересечение областей A, B и C, т.е. одновременное выполнение неравенств

Поскольку нас интересует попадает ли точка или в область I или в область II, то условие будет заключатся в выполнении совокупности систем неравенств.

Запишем данную совокупность в виде логического выражение и упростим его:

,

где А, B, C и D неравенства для соответствующих областей.

В данном случае нам потребуется 4 условных перехода в алгоритме.

Задание: Составьте блок-схему алгоритма, определяющего принадлежность точки с координатами (x,y) закрашенной области.

ТРЕБОВАНИЯ К АТТЕСТАЦИИ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

Порядок применения рейтинговой системы

Преподаватель вправе выбрать методику оценивания знаний студентов: традиционная зачетно-экзаменационная, либо рейтинговая. При выборе методики должно учитываться мнение студентов. В случае, если преподаватель выбрал рейтинговую систему, отдельные студенты вправе просить оценить их знания в рамках традиционной системы.

В рамках рейтинговой системы выставляется оценка за качество выполнения и защиты лабораторных и контрольных работ.

Виды деятельности и соотношение трудоемкости.

Вид деятельности	Доля	Кол-во ед.	Макс. балл за ед.	Всего
Обязательные виды деятельности
1 семестр
Посещаемость занятий	20%	N1	=200/N1
Выполнение лаб. работ (защита)	40%
Контрольная работа 1	40%
Итого:	100%
2 семестр
Посещаемость занятий	20%	N2	=200/N2
Выполнение лаб. работ (защита)	40%
Контрольная работа 2	40%
Итого:	100%
Итого
Дополнительные задания (по выбору студента в каждом семестре)
Подготовка реферата (видео-доклада)	20%
Решение дополнительных задач контрольной работы	10%
Выполнение задания в рамках НИРС	50%

Условия получения положительной оценки

При применении рейтинговой системы в 1 семестре выставляется оценка «зачтено», если студент набрал более 800 баллов, во втором семестре оценка дифференцируется следующим образом: отлично – более 1800 баллов, хорошо – более 1700 баллов, удовлетворительно – более 1600 баллов.

При традиционной форме оценивания знаний положительная оценка выставляется с учетом выполнения всей учебной программы (лабораторных и контрольных работ), а также, продемонстрированных знаний на итоговом контроле (зачете и экзамене).

Примерные вопросы к зачету/экзамену по дисциплине

1. Понятие информации. Определение и основные свойства информации.

2. Понятие информационной технологии и процедур обработки информации.

3. История создания и развития компьютерной техники.

4. Двоичная форма представления информации. Кодирование числовой, текстовой, графической, звуковой информации.

5. Позиционные и непозиционные системы счисления. Римская система. Двоичная система счисления.

6. Двоичная арифметика.

7. Перевод чисел из десятичной системы в двоичную и наоборот.

8. Основные понятия и операции формальной логики.

9. Логические выражения и их преобразование.

10. Построение таблиц истинности логических выражений.

11. Упрощение логических выражений.

12. Основы построения вычислительных систем. Принципы Фон-Неймана.

13. Системное и прикладное программное обеспечение.

14. Виды операционных систем. Этапы загрузки операционной системы.

15. Основные виды прикладного программного обеспечения.

16. Текстовые редакторы. Шрифтовое и абзацное форматирование. Использование стилей.

17. Колонтитулы и нумерация страниц, сноски, гиперссылки.

18. Вставка в Word растровых рисунков и создание векторных.

19. Редактор формул.

20. Понятие об электронной таблице. Типы данных в Excel, выделение ячеек, диапазоны, авто заполнение.

21. Понятие о мультимедийной презентации. Работа в программе MS PowerPoint.

22. Основные понятия баз данных (БД). Модели данных. Реляционная модель.

23. Особенности реляционных таблиц. Ключи.

24. Запросы и отчеты.

25. Алгоритм и его свойства. Представление алгоритмов.

26. Основные типы алгоритмических структур.

27. Переменные, константы и их типы.

28. Арифметические операции, выражения и функции.

29. Линейный вычислительный процесс.

30. Логические операции.

31. Разветвляющиеся вычислительные процессы.

32. Циклические вычислительные процессы.

33. Стандартные приемы программирования.

34. Понятие массива. Типичные операции при работе с массивами.

35. Основы передачи данных в локальных и глобальных сетях. Модель OSI. TCP/IP.

36. Основы языка HTML. Структура HTML-документа. Теги.

37. Создание web-страницы. Основные атрибуты тега BODY.

38. Использование графики на web-страницах.

39. Обеспечение безопасности информации на уровне пользователей.

40. Резервное копирование. Архивирование данных. Использование антивирусных программ.

41. Административные меры обеспечения информационной безопасности.

42. Многопользовательские операционные системы.

43. Краткая характеристика системы MathCAD.