Двойственный симплекс-метод.
Двойственный симплекс-метод, как и симплекс-метод, используется при нахождении решения задачи линейного программирования, записанной в форме основной задачи, для которой среди векторов ,составленных из коэффициентов при неизвестных в системе уравнений, имеется т единичных. Вместе с тем двойственный симплекс-метод можно применять при решении задачи линейного программирования, свободные члены системы уравнений которой могут быть любыми числами (при решении задачи симплексным методом эти числа предполагались неотрицательны ми). Такую задачу и рассмотрим теперь, предварительно предположив, что единичными являются векторы т. е. рассмотрим задачу, состоящую в определении максимального значения функции
(54)
при условиях
(55)
(56)
где
и среди чисел имеются отрицательные.
В данном случае есть решение системы линейных уравнений (55). Однако это решение не является планом задачи (54) - (56), так как среди его компонент имеются отрицательные числа.
Поскольку векторы — единичные, каждый из векторов можно представить в виде линейной комбинации данных векторов, причем коэффициентами разложения векторов по векторам служат числа Таким образом, можно найти
Определение 1.13. Решение системы линейных уравнений (55), определяемое базисом , называется псевдопланом задачи (54) - (56), если для любого
Теорема 1.13. Если в псевдоплане , определяемом базисом , есть хотя бы одно отрицательное число такое, что все , то задача (54) - (56) вообще не имеет планов.
Теорема 1.14. Если в псевдоплане , определяемом базисом , имеются отрицательные числа такие, что для любого из них существуют числа , то можно перейти к новому псевдоплану, при котором значение целевой функции задачи (54) - (56) не уменьшится.
Сформулированные теоремы дают основание для построения алгоритма двойственного симплекс-метода.
Итак, продолжим рассмотрение задачи (54) - (56). Пусть — псевдоплан этой задачи. На основе исходных данных составляют симплекс-таблицу (табл. 15), в которой некоторые элементы столбца вектора являются отрицательными числами. Если таких чисел нет, то в симплекс-таблице записан оптимальный план задачи (54) - (56), поскольку, по предположению, все . Поэтому для определения оптимального плана задачи при условии, что он существует, следует произвести упорядоченный переход от одной симплекс-таблицы к другой до тех пор, пока из столбца вектора не будут исключены отрицательные элементы. При этом все время должны оставаться неотрицательными все элементы (т +1)-й строки, т.е. для любого
Таким образом, после составления симплекс-таблицы проверяют, имеются ли в столбце вектора отрицательные числа. Если их нет, то найден оптимальный план исходной задачи. Если же они имеются (что мы и предполагаем), то выбирают наибольшее по абсолютной величине отрицательное число. В том случае, когда таких чисел несколько, берут какое-нибудь одно из них: пусть это число bl. Выбор этого числа определяет вектор, исключаемый из базиса, т. е. в данном случае из базиса выводится вектор Pl. Чтобы определить, какой вектор следует ввести в базис, находим , где
Пусть это минимальное значение принимается при , тогда в базис вводят вектор Рr. Число является разрешающим элементов. Переход к новой симплекс-таблице производят по обычным правилам симплексного метода. Итерационный процесс продолжают до тех пор, пока в столбце вектора Р0 не будет больше отрицательных чисел. При этом находят оптимальный план исходной задачи, а следовательно, и двойственной. Если на некотором шаге окажется, что в i-й строке симплекс-таблицы (табл. 15) в столбце вектора Р0 стоит отрицательное число bi,а среди остальных элементов этой строки нет отрицательных, то исходная задача не имеет решения.
Таким образом, отыскание решения задачи (54) - (56) двойственным симплекс-методом включает следующие этапы:
1. Находят псевдоплан задачи.
2. Проверяют этот псевдоплан на оптимальность. Если псевдоплан оптимален, то найдено решение задачи. В противном случае либо устанавливают неразрешимость задачи, либо переходят к новому псевдоплану.
3. Выбирают разрешающую строку с помощью определения наибольшего по абсолютной величине отрицательного числа столбца вектора Р0 и разрешающий столбец с помощью нахождения наименьшего по абсолютной величине отношения элементов (m+1)-и строки к соответствующим отрицательным элементам разрешающей строки.
4. Находят новый псевдоплан и повторяют все действия, начиная с этапа 2.
Таблица 15
| i | Базис | Cб | P0 | c1 | c2 | … | ce | … | cm | cm+1 | … | cr | … | cn |
| P1 | Р2 | … | Рe | Рm | Рm+1 | Рr | Рn | |||||||
1.16. Найти максимальное значение функции при условиях
Решение. Запишем исходную задачу линейного программирования в форме основной задачи: найти максимум функции при условиях
Умножим второе и третье уравнения системы ограничении последней задачи на -1 и переходим к следующей задаче: найти максимум функции
(57)
при условиях
(58)
(59)
Составим для последней задачи двойственную. Такой является задача, в результате решения которой требуется найти минимальное значение функции
(60)
при условиях
(61)
(62)
Выбрав в качестве базиса векторы и , составим симплексную таблицу (табл. 16) для исходной задачи (57) - (59).
Таблица 16
| i | Базис | Сб | Р0 | |||||
| P1 | P2 | P3 | p4 | p5 | ||||
| p3 P4 p5 | -4 -6 | -1 -1 | -2 |
Из этой таблицы видим, что планом двойственной задачи (57) - (59) является . При этом плане Так как в столбце вектора Р0 таблица 16 имеются два отрицательных числа (-4 и -6), а в 4-й строке отрицательных чисел нет, то в соответствии с алгоритмом двойственного симплекс-метода переходим к новой симплекс-таблице. (В данном случае это можно сделать, так как в строках векторов Р4и Р5 имеются отрицательные числа. Если бы они отсутствовали, то задача была бы неразрешима.) Вектор, исключаемый из базиса, определяется наибольшим по абсолютной величине отрицательным числом, стоящим в столбце вектора Р0. В данном случае это число -6. Следовательно, из базиса исключаем вектор Р5. Чтобы определить, какой вектор необходимо ввести в базис, находим где Имеем
Значит, в базис вводим вектор P2. Переходим к новой симплекс-таблице (табл. 17).
Таблица 17
| i | Базис | Сб | Р0 | |||||
| P1 | P2 | P3 | p4 | p5 | ||||
| p3 P4 p2 | -7 | 1/2 -3/2 1/2 1/2 | 1/2 1/2 -1/2 1/2 |
Из этой таблицы видно, что получен новый план двойственной задачи При этом плане значение ее линейной формы равно Таким образом, с помощью алгоритма двойственного симплекс-метода произведен упорядоченный переход от одного плана двойственной задачи к другому.
Так как в столбце вектора Р0 таблицы 17 стоит отрицательное число -7, то рассмотрим элементы 2-й строки. Среди этих чисел есть одно отрицательное -3/2. Если бы такое число отсутствовало, то исходная задача была бы неразрешима. В данном случая переходим к новой симплекс-таблице (табл. 18).
Таблица 18
| i | Базис | Сб | Р0 | |||||
| P1 | P2 | P3 | p4 | p5 | ||||
| p3 P1 p2 | 8/3 14/3 2/3 32/3 | 1/3 -2/3 1/3 1/3 | 2/3 -1/3 -1/3 2/3 |
Как видно из таблицы 18, найдены оптимальные планы исходной и двойственной задач. Ими являются и . При этих планах значения линейных форм исходной и двойственной задач равны:
1.17. Найти максимальное значение функции при условиях
Решение. Умножая первое и третье уравнения системы ограничений задачи на -1, в результате приходим к задаче нахождения максимального значения функции при условиях
Взяв в качестве базиса векторы Р3, Р4 и Р5, составляем симплекс-таблицу (табл. 19).
Таблица 19
| i | Базис | Сб | Р0 | |||||
| P1 | P2 | P3 | p4 | p5 | ||||
| p3 P4 p5 | -12 -18 | -3 | -1 |
В 4-й строке таблице 19 нет отрицательных чисел. Следовательно, если бы в столбце вектора Р0 не было отрицательных чисел, то в таблице 19 был бы записан оптимальный план. Поскольку в указанном столбце отрицательные числа имеются и такие же числа содержатся в соответствующих строках, переходим к новой симплекс-таблице (таблица 20). Для этого исключим из базиса вектор Р5 и введем в базис вектор Р1. В результате получим псевдоплан
Таблица 20
| i | Базис | Сб | Р0 | |||||
| P1 | P2 | P3 | p4 | p5 | ||||
| p3 P4 p1 | -24 | 1/3 8/3 -2/3 | 2/3 1/3 -1/3 |
Так как в строке вектора Р3 нет отрицательных чисел, то исходная задача не имеет решения.