Числа и числовые последовательности.

Задача 2.12

Распечатать числовую последовательность, которая задается по следующим правилам:
- первое число последовательности - произвольное нечетное число от 3 до 99;
- каждый следующий элемент последовательности определяется через предыдущий элемент р, и равен

3p+1, если p нечётное число,

р/2, если р чётное число.

Например:
7 22 11 34 17 52 26 13 40 20 10 5 16 8 4 2 1
Вычисления прекратить, когда очередной элемент последовательности станет равен 1. (Известно, что в любой такой последовательности рано или поздно встречается 1.)

Задача 2.13

Распечатать числовую последовательность, которая задается по следующим правилам:
- первое число последовательности - натуральное число, кратное 3 (входной параметр задачи);
- каждый последующий элемент равен сумме кубов цифр предыдущего.
Например:
33
3³+3³=54
5³+4³=189
1³+8³+9³=1242
1³+2³+4³+2³=81
8³+1³=513
53+13+33=153
Вычисления прекратить, когда очередной элемент последовательности станет равен 153. (Известно, что любая такая последовательность рано или поздно приводит к 153).

Задача 2.14

Для заданного натурального числа определить, образуют ли его цифры арифметическую прогрессию. Предполагается, что в числе не менее трёх цифр.
Например: 1357, 963.

Задача 2.15

В трехзначном числе зачеркнули старшую цифру. Когда полученное число умножили на 7, то получили исходное число. Найти это число.

Задача 2.16

Получить все числа, не превышающие заданного числа N, которые делятся без остатка на все свои цифры.

Задача 2.17

Задано натуральное число. Записать его в обратном порядке. Например, 12345 должно превратиться в 54321.

Задача 2.18

Напечатать все натуральные четырехзначные числа, в десятичной записи которых нет одинаковых цифр, и разность двух натуральных двузначных чисел, составленных из двух последовательных первых цифр и двух последовательных последних цифр числа, равна сумме всех цифр числа.

Задача 2.19

В электронных часах время показывается на табло в виде последовательности цифр, указывающих часы (от 0 до 23), минуты и секунды.
Например:

Каждая отдельная цифра на табло отображается в виде светящихся сегментов (отрезков) следующим образом:

Часы потребляют тем больше энергии, чем больше сегментов используется в записи времени. Написать программу, которая определяет время (чч.мм.сс) наибольшего и наименьшего потребления энергии часами.

Геометрические задачи.

Задача 2.20

Выпуклый многоугольник задан последовательностью координат своих вершин в порядке обхода: (x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃, y₃), . . . , (x_n, y_n). Вычислить площадь многоугольника.

Задача 2.21

Задана точка с координатами (x, y) и треугольник с координатами вершин (x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃, y₃). Определить, лежит ли точка внутри или вне треугольника.

Календарь.

Задача 2.22

Написать программу, которая по заданной дате (числу d и месяцу m) определяет число дней, прошедших от начала года, если известно, что год - не високосный.

Задача 2.23

Написать программу, которая по заданному числу дней, прошедших от начала года, определяет дату: число d и месяц m, если известно, что год - не високосный.

Задача 2.24

В журнале метеостанции записаны ежедневные температуры воздуха в г. Смоленске. Определить самый холодный будний день октября 1997 г., если известно, что 1 октября 1997 г. - среда. (Будними считаются все дни недели, за исключением субботы и воскресенья.)

Задача 2.25

Компьютерный вирус "Пятница, 13" может повредить информацию только в те дни, когда 13 число попадает на пятницу. Определить все месяцы 2000 года, в которых 13 число было пятницей. Учесть, что 2000 год - високосный и 1 января 2000 года - суббота. В качестве ответа распечатать номера месяцев.

Решения задач

Задача 1.1

Для решения этой задачи необходимо знать, что 1 мегабайт=1024 килобайт, поэтому 6 мегабайт=6x1024=6144 килобайт. Обозначим t - время звучания композиции в секундах, v - объём файла композиции в килобайтах, тогда:
t=60*m+n, v=16*t.
Программа на Паскале будет иметь вид:

var m,n,t,v:integer;begin writeln('Введите m и n'); readln(m,n); t:=60*m+n; v:=16*t; if v<=6144 then writeln('Композиция поместится') else writeln('Не хватает ',v-6144,' килобайт');end.

Задача 1.2

Рассмотрим, как ходят фигуры: ферзь бьёт те поля (с координатами x, y ), которые находятся с ним на одной вертикали (x=x₁), на одной горизонтали (y=y₁), или на любой из диагоналей (|x - x₁| = (|y - y₁|). Конь за один ход переходит на два поля по одной координате и на одно поле по другой координате, то есть поля, которые он бьёт, определяются по правилу: либо |x - x₂| = 2 и |y - y₂|=1, либо |x - x₂| = 1 и |y - y₂| = 2. При решении нужно учитывать, что фигуры не могут угрожать друг другу одновременно, и может быть ситуация, когда фигуры вообще не угрожают друг другу.
Основная часть программы для данной задачи будет иметь следующий вид:

if (x1=x2)or(y1=y2)or(abs(x1-x2)=abs(y1-y2)) thenwriteln('Ферзь бьёт коня')else if (abs(x1-x2)=2)and(abs(y1-y2)=1)or (abs(x1-x2)=1)and(abs(y1-y2)=2) then writeln('Конь бьёт ферзя') else writeln('Фигуры не угрожают друг другу');

Задача 1.3

При решении учтите, что число рыбок должно быть целым числом. Например, в аквариуме объёмом 20,5 литров может жить 6 рыбок (а не 6,83333...). Функция выделения целой части числа x в Паскале - trunc(x).

Задача 1.4

При решении учтите, что если полторы курицы за полтора дня сносят полтора яйца, то одна курица за тот же срок (полтора дня) снесет одно яйцо. Например: 6 кур за 6 дней снесут 24 яйца.

Задача 1.5

Для решения этой задачи можно разделить число нацело N на 3 и рассмотреть остаток от деления. Существует три варианта: если остаток 0, то сумма выплачивается трехкопеечными монетами; если остаток 1 (наименьшее такое число 10), то необходимо убрать 3 монеты по 3 копейки и добавить 2 монеты по 5 копеек; если остаток от деления 2, то необходимо убрать 1 трёхкопеечную монету и добавить 1 монету достоинством 5 копеек. В Паскале операция деления нацело - div, операция вычисления остатка при делении целых чисел - mod.

Задача 1.10

При решении этой задачи необходимо воспользоваться тем условием, что a и b - числовые переменные, тогда поменять их местами можно, например, следующим образом:
a:=a+b;
b:=a-b;
a:=a-b;

Задача 2.1

Разделим N нацело на 5 и получим k - максимальное значение для y (т.е. 0<=y<=k). Организуем цикл по переменной y , и будем рассматривать значения разности N-5y. Если это число делится нацело на 3, то полученное частное и есть соответствующее значение x.
Соответствующая программа будет иметь вид:

var x,y,n,k:integer;begin writeln('Введите N'); readln(n); k:=n div 5; for y:=0 to k do if (N-5*y) mod 3=0 then begin x:=(N-5*y) div 3; writeln('x=',x,' y=',y); end;end.

Задача 2.3

Для решения этой задачи необходимо вычислять функцию n! (читается n - факториал), которая представляет собой произведение натуральных чисел от 1 до n. Программа вычисления n! будет иметь вид:

var n,i:integer; p: real;begin readln(n); p:=1; for i:=1 to n do p:=p*i; writeln(n,'!=',p:1:0);

end.

Значение факториала накапливается в этой программе в переменной p. Особенность оператора цикла for i:=1 to n do … в том, что если n меньше начального значения i (в данном случае 1), то тело цикла не выполнится ни разу. Поэтому проверять условие, что n>0 не имеет смысла, так как значение p в этом случае останется равным 1. Для переменной p выбран вещественный тип real, так как функция факториал очень быстро растет (формат печати :1:0 означает, что будет печататься только целая часть числа). На основе этой программы легко написать программу, вычисляющую . Вычисление факториала удобно при этом офрмить в виде подпрограммы.

Задача 2.4

При решении учтите, что число 0 не относится ни к отрицательным, ни к положительным числам.

Задача 2.8

Обозначим: k - номер рейса судна, i - номер очередного груза, s - масса груза на судне в k-том рейсе. Решать задачу будем так: если на судно в k-том рейсе можно поместить ещё один груз, то мы грузим его и берём следующий, если груз не может быть размещен, то перевозим его следующим рейсом (увеличиваем k).
Основная часть соответствующей программы будет иметь вид:

k:=1; i:=1; s:=0;repeat if s+m[i]<=50 then begin s:=s+m[i]; i:=i+1; end else begin k:=k+1; s:=0; end;until i>15;writeln('Всего потребовалось', k,' рейсов');

Задача 2.10

Вычисление непрерывных радикалов производится в цикле, начиная от внутреннего радикала. В данной задаче начальное значение . Каждое следующее значение радикала будет вычисляться через предыдущее значение радикала по формуле , число изменяется от начального значения 5 до конечного значения 98 с шагом 3.
Программа для вычисления R будет иметь вид:

var r,a:real;begin r:=sqrt(2); a:=5; while a<=98 do begin r:=sqrt(a+r); a:=a+3; end; writeln('R=',r);end.

Вычисленное по данной программе значение .

Задача 2.11

Вычисление непрерывных дробей производится снизу вверх, начиная от последней. Значение Q 0.69777.

Задача 2.13

На каждом шаге данного алгоритма приходится разбивать целое число на отдельные цифры (причем количество цифр в числе неизвестно). Это можно выполнить, используя операции целочисленной арифметики (деления нацело - div и остатка от деления - mod). Процесс вычисления очередного члена последовательности p через предыдущий в рассматриваемой задаче будет иметь следующий вид (s и p1 - рабочие переменные, t - очередная цифра числа):

s:=0; p1:=p;while p1<>0 dobegin t:=p1 mod 10; p1:=p1 div 10; s:=s+t*t*t;end;p:=s;

Задача 2.18

Любое целое четырехзначное число можно представить в виде:
(a, b, c, d - цифры числа, причем a 0).
Например: 1742=1*1000+7*100+4*10+2.
То, что цифры числа не должны совпадать, можно записать на Паскале в виде условия:
(a<>b)and(a<>c)and(a<>d)and(b<>c)and(b<>d)and(c<>d).
Условие на разность чисел, составленных из цифр числа:
a*10+b-(c*10+d)=a+b+c+d.
Тогда выполняемая часть программы будет иметь вид:

for a:=1 to 9 dofor b:=0 to 9 dofor c:=0 to 9 dofor d:=0 to 9 doif (a<>b)and(a<>c)and(a<>d)and(b<>c)and(b<>d)and(c<>d)and(a*10+b-(c*10+d)=a+b+c+d)then writeln(a*1000+b*100+c*10+d);

Задача 2.20

Стандартный способ вычисления площади выпуклого многоугольника - разбиение исходного многоугольника на отдельные треугольники (рис.) с последующим вычислением площадей полученных треугольников и их суммированием. Площадь отдельного треугольника можно вычислить, например, по формуле Герона, но в данном случае более удобной будет формула расчета площади треугольника по координатам его вершин:

Пусть n - число вершин, X(n), Y(n) - массивы, содержащие координаты вершин, тогда основная часть программы для вычисления площади многоугольника будет иметь вид:

s:=0;for i:=3 to n dos:=s+0.5*abs((x[i-1]-x[1])*(y[i]-y[1])- (x[i]-x[1])*(y[i-1]-y[1]));writeln('Площадь многоугольника s=',s);

Задача 2.21

Чтобы определить, лежит ли точка внутри треугольника, можно соединить эту точку отрезками с его вершинами и рассчитать площади получившихся треугольников (как в предыдущей задаче). Если сумма вычисленных площадей равна площади исходной фигуры (рис. а), то точка лежит внутри, если нет (рис. б) - снаружи.

Задача 2.22

Для решения задачи можно создать массив D(12), каждый элемент которого - число дней в соответствующем месяце.

Задача 2.24

Пусть i - номер дня в октябре месяце. Так как 1 октября среда, то 4 и 5 октября будут соответственно суббота и воскресенье. Соответственно, субботами и воскресеньями будут все те дни, которые отличаются от 4 и 5 на целое число недель. Субботами будут дни с такими номерами i, что остаток от деления на 7 равен 4 (i mod 7 = 4), воскресеньями - дни с номерами i, для которых i mod 7 =5.