Результаты численного эксперимента

Продемонстрируем работоспоспобность предлагаемой методики нахождения решения задачи (12) на модельном примере.

Пусть наземный космический комплекс состоит из 4 отраслей производства. Заданы цены на производимую продукцию каждой отрасли: ; ; ; . Минимально допустимые объёмы инвестирования установлены на уровнях: ; ; ; . Максимальный объём инвестирования . Максимальный объём дополнительного инвестирования устанавлен на уровне . Известны объёмы производства последователя: ; ; ; . Коэффициенты, связывающие объём производства с объёмом инвестиций: ; ; ; ; ; ; ; . Доходность безриского финансового актива составляет .

Будем считать, что спрос на продукцию каждой из отраслей имеет дискретное распределение с тремя равновероятными реализациями: 10, 15, 20. Также предположим, что компоненты случайного вектора независимы в совокупности. Таким образом, вектор случайных параметров имеет равновероятную реализацию.

Найдём решение задачи (12) для данного случая.

Заметим, что все условия теоремы 2 выполнены, значит решение задачи существует и может быть найдено путём решения смешанной задачи линейного программирования (32). Множество вершин состоит из 81 элемента, поэтому данная задача содержит ограничений. При помощи описанной в статье процедуры число данных ограничений может быть уменьшено примерно в раз. Полученная задача была успешно решена при помощи программного продукта LPSolve. Результаты вычисления для различных уровней надёжности приведены в таблице.

Результаты вычислений. Таблица.

Из таблицы видно, что при уровне надёжности выбирается осторожная стратегия, учитывающая минимально возможный спрос на продукцию. Данная стратегия позволяет получить результат, гарантированный с вероятностью 1. При этом гарантированная прибыль (значение критерия с обратным знаком) отличается от гарантированной прибыли при примерно в два раза. Кроме того в случае не учитывается стохастическая природа задачи, потому что рассматривается только наихудшая реализация случайных параметров. В то же время при изменении с 0,95 на 0,8 значение критерия уменьшается по модулю в 1,5 раза, а при изменении на 0,9 — лишь на 21%. При этом риски, связанные с принятием подобного решения, значительно увеличиваются. Таким образом, решение задачи при является более предпочтительным по сравнению с другими рассмотренными вариантами.

Заключение

В работе исследована задача распределения инвестиций в развитие отраслей наземного космического комплекса. Показано, что в частном случае задача может быть записана в виде двухэтапной задачи стохастического линейного программирования с квантильным критерием. На примере данной прикладной задачи продемонстрирован метод сведения двухэтапной задачи к одноэтапной задаче стохастического линейного программирования с квантильным критерием. Доказано, что полученная задача может быть сведена к смешанной задаче линейного программирования. Заметим, что при построении эквивалентной задачи не использовались свойства целевых функций и матриц ограничений задач первого и второго этапа. Незначительные ограничения, которые были наложены на параметры задачи, требовали существования решения задачи второго этапа для любой стратегии первого этапа и любой реализации вектора случайных параметров. По сути, данного условия достаточно для применения методики, описанной в данной работе. Конструктивное описание данного условия является предметом отдельного исследования.

Решён численный пример. Показано, что при значительном уменьшении уровня надёжности значение критерия изменяется незначительно. Поэтому в условиях повышенных требований к надёжности более предпочтительной является стратегия, обеспечивающая высокую надёжность принимаемого решения.

С вычислительной точки зрения представленная методика решения двухэтапных задач стохастического линейного программирования с квантильным критерием является достаточно трудоёмкой, так как даже в рассматриваемом случае небольшой размерности исходной задачи размерность эквивалентной задачи увеличивается на несколько порядков. В связи с этим актуальной является разработка специальных алгоритмов решения эквивалентной задачи, основанных на методах декомпозиции и учитывающих блочную структуру ограничений.

Библиографический список

1. Kibzun A. I., Kan Y. S. Stochastic Programming Problems with Probability and Quantile Functions. Chichester, New York, Brisbane, Toronto, Singapore: John Wiley & Sons, 1996.

2. Кибзун А. И., Кан Ю. С. Задачи стохастического программирования с вероятностными критериями. М.: Физматлит, 2009.

3. Birge J., Louveaux F. Introduction to Stochastic Programming. New York: Springer-Verlag, 1997.

4. Dempe S. Bilevel Programming — A Survey // Preprint TU Bergakademie Freiberg Nr. 2003-11, Fakultät für Mathematik und Informatik, 2003.

5. Кибзун А.И., Наумов А.В. Двухэтапные задачи квантильного линейного программирования // Автоматика и телемеханика, 1995, №1, с.83-93.

6. Наумов А.В. Двухэтапная задача квантильной оптимизации бюджета госпиталя // Изв. РАН, Теория и системы управления, 1996, № 2, с. 87-90.

7. Наумов А.В., Уланов С.В. Учет риска в духэтапных задачах оптимального распределения ресурсов // Автоматика и Телемеханика, 2003, № 7, с. 109-116.

8. Наумов А.В., Богданов А.Б. Исследование двухэтапной задачи целочисленной квантильной оптимизации // Изв. РАН. Теория и Системы Управления, 2003, № 5, с. 62-69.

9. Наумов А.В., Богданов А.Б. Решение двухэтапной задачи логистики в квантильной постановке // Автоматика и Телемеханика, 2006, № 12, с. 36-42.

10. Наумов А.В. Двухэтапная задача квантильной оптимизации инвестиционного проекта. Известия РАН. Теория и системы управления. 2010, №2, с. 33-40.

11. Кибзун А.И., Наумов А.В. Гарантирующий алгоритм решения задачи квантильной оптимизации // Космические исследования, 1995, т. 33, № 2, с. 160-165.

12. Наумов А.В., Иванов С.В. Исследование задачи стохастического линейного программирования с квантильным критерием // Автоматика и телемеханика. 2011, № 2, с. 142-158.

13. Схрейвер А. Теория линейного и целочисленного программирования, т. 2. М.: Мир, 1991.

14. http://lpsolve.sourceforge.net/5.5/.

Сведения об авторах

НАУМОВ Андрей Викторович, доцент Московского авиационного института (национального исследовательского университета), к.ф.-м.н. МАИ, Волоколамское ш., 4, Москва, А-80, ГСП-3, 125993; тел.: (499)158-41-13; e-mail: [email protected].

ИВАНОВ Сергей Валерьевич, студент Московского авиационного института (национального исследовательского университета). МАИ, Волоколамское ш., 4, Москва, А-80, ГСП-3, 125993; тел.: (499) 158-41-13; e-mail: [email protected].

[1] Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 09-07-00164-а, 11-07-00315-а, 11-07-13102-офи-м-2011-РЖД) и государственного финансирования целевых программ «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» (Мероприятие 1.2.2, Госконтракт № 14.740.11.1128).