Расчет средних статистических величин по результатам группировки. Свойства средней арифметической величины.

Очень часто исходные данные для анализа бывают представлены в сгруппированном виде, когда для каждого значения осредняемого признаках сообщается только частота его повторения в каждой группе (интервале).

В этих случаях средняя величина рассчитывается по обычным формулам средних взвешенных (арифметических либо гармонических).

Сложности возникают, когда в сгруппированных данных указывается не конкретное значение признака по каждой группе, а лишь интервал его изменения.

В данном случае правильный расчет общей средней величины возможен, если каким-либо способом удается получить среднее значение признака по каждой группе; далее используются обычные формулы средних взвешенных.

Если же средние значения признака в группах определить по имеющимся сведениям нельзя, то их заменяют серединами интервалов, получая в итоге некоторое, чаще всего вполне удовлетворительное, приближение к среднему значению. Таким образом, расчет средней арифметической делают по формуле:

, (1.21)

где - значение середины j - го интервала группировки данных по осредняемому признаку.

Отметим, что расчет среднего значения по данным группировки требует особого внимания при выборе взвешивающего показателя. Очень часто величины f - частоты повторения признака x в исходных данных либо отсутствуют, либо не столь очевидны.

Для примера рассмотрим следующие данные.

Группы предприятий	Себестоимость одного изделия, тыс. руб.	Число предприятий, %	Объем продукции, %	Затраты на производство, %
	110-115			8.2
	115-120			17.2
	120-125			23.9
	125 и выше			50.7
Итого	—

C определением середин интервалов никаких сложностей не возникает (112,5; 117,5; 122,5; 127,5). Для открытого справа последнего интервала значение его середины определяется из допущения, что практически все элементы совокупности, сгруппированные по рассматриваемому признаку «Себестоимость одного изделия» находятся в интервале его значений 125 – 130 тыс. руб.

При назначении же взвешивающего показателя типичной ошибкой является выбор признака «Число предприятий». Умножение величины себестоимости одного изделия на число предприятий никакого экономического смысла не имеет, в то время как умножение себестоимости одного изделия на объем продукции дает реальную экономическую величину - общую сумму затрат.

Таким образом, в качестве взвешивающего показателя следует выбрать показатель «Объем продукции». Тогда средняя себестоимость изделия будет равна:

тыс.руб.

Частоты повторения признака f могут потребовать и применения формулы средней гармонической. Так, показатель «Затраты на производство» в форме относительных величин позволяет также определить среднюю себестоимость изделия:

тыс. руб.

Средняя арифметическая величина обладает свойствами, которые позволяют ускорить расчеты.

1. Величина средней арифметической не изменится, если веса всех значений осредняемого признака умножить или разделить на одно и то же число. Это свойство доказывается элементарно.

2. Если все индивидуальные значения признака увеличить либо уменьшить в одно и то же число раз (или на одно и то же число), то среднее значение получившегося нового признака будет во столько же раз (или на столько же) отличаться от среднего значения исходного показателя.

Действительно,

(1.22)

Свойство 1 используется, как было показано ранее, для расчета средних значений через показатели структуры.

Свойство 2 применяется для ускорения расчетов, особенно если первичные данные представлены в сгруппированном виде.