Лекция 8. Построение и взаимодействие моделей в системном анализе
При построении моделей и выявлении их места в исследовании необходимо, прежде всего, установить цель исследования, сформулировать допущения и выделить из бесконечного множества подсистем и процессов, составляющих систему и происходящие в ней явления, те, которые подлежат изучению. При этом любое явление или система рассматриваются как состоящая из ряда более простых элементов, учитывается, что в каждом явлении содержится бесконечное количество различных процессов. При создании моделей нельзя охватить все это многообразие процессов, составляющих явление: необходимо выделить из него те процессы, которые интересуют инженера в данной постановке задачи. Так, изучая явление передачи энергии по проводам воздушной ЛЭП, инженер не рассматривает одновременно огромное количество процессов, связанных с этим явлением и происходящих на построенной для него реализации ЛЭП. В зависимости от того, какие задачи ставятся при исследовании, инженер выделяет для изучения процессы, соответствующие поставленным задачам. Могут изучаться, например, распространение электромагнитных волн, обеспечивающих передачу мощности от начала линии к ее концу, или другие явления и процессы.
В зависимости от постановки задачи, одно и то же явление необходимо рассматривать с разных позиций, выделяя при этом только процессы или группы процессов, обладающие свойствами, существенно важными для конкретной технической или экономической задачи. При отборе делаются допущения и принимаются некоторые стилизации действительного описания. Для перехода к количественным исследованиям необходимо составить общую описательную модель. При этом в нее войдут только определенным образом отобранные, существенные для данного исследования процессы.
Общая описательная модель может быть составлена как описание чисто словесное, может содержать классификацию или систематизацию, связывающую предметы отдельных областей, либо статистические оценки. От общей описательной модели осуществляется переход к математическому описанию, для чего после допущений записывается система алгебраических, дифференциальных или интегральных уравнений, то есть соотношения, отражающие связи между отдельными переменными, участвующие в общей описательной модели. Затем составляется математическая модель интересующего явления, которая отражает это явление в удобной для математического изучения форме, но при еще большей стилизации: вводятся новые допущения. Они обусловлены тем, что математическую модель должны составить не все соотношения математического описания, а только те их модификации (уравнения, схемы замещения и так далее), которые пригодны для количественного исследования. При этом придется примириться с потерей каких-либо деталей. Количественное решение, проводимое или как непосредственное решение, или как численное решение, или как исследование какой-либо модели, обязательно сопровождается рядом дополнительных допущений. Эти допущения, прежде всего, обусловлены необходимостью упрощения математической модели с тем, чтобы на ее основе получить, например, аналитические зависимости или ввести конечные интервалы для рассмотрения непрерывного процесса при численном решении.
В целом, исследование явлений при помощи прикладных математических методов включает в себя последовательность переходов от одного описания и одной модели к другому описанию и другой модели, при чем при каждом переходе принимаются различные допущения и упрощения, связанные с созданием соответствующего математического описания, выбором вычислительного метода и так далее.
Возможны и другие пути решения поставленной задачи. Так, на основе общей описательной модели процесса или явления, не составляя математической модели, можно непосредственно исследовать интересующие явления на физической или натурной моделях, под которыми понимаются некоторые промежуточные объекты изучения действительности. Эти модели после проведения соответствующих экспериментов дадут окончательное решение, так же как и после исследования математической модели, но без математического решения.
Каким бы путем не было получено решение, оно нуждается в апробации, без которой ценность решения ничтожна. Апробация заключается в лучшем случае в сопоставлении результатов решения с действительным явлением, или в худшем случае в сопоставлении между собой решений, полученных различными способами. При этом в окончательном решении неизбежно содержится ряд тех или иных упрощающих допущений и поэтому явление, подлежащее изучению, отражено в решении с определенной степенью достоверности.
Если степень достоверности в целом удовлетворительна, отвечает сущности поставленной практической задачи, то исследование проведено с необходимой технической строгостью. Если во всем для данной задачи существенном диапазоне у процессов, выделенных для исследования, получаемые на модели количественные данные удовлетворительно совпадают с результатами измерений действительных процессов, то решение выполнено с практически удовлетворительной точностью. Такие понятия строгости решения при прикладном математическом исследовании отличаются от понятий строгости и точности в теоретической математике. Разумеется, что все характеристики изучаемого явления как при составлении математического описания и математической модели, так и апробации полученных решений связаны с измерениями и вычислениями. Поскольку исследуемые процессы - это реально существующие процессы материального мира, так же как и взаимодействия и связи между ними, то конечная цель измерений и вычислений - получение информации об этих процессах и явлении в целом. Точность измерения данной величины и обоснование выбора измеряемых величин необходимо устанавливать с учетом целей измерения. Эти цели зависят от вида задачи, от того, решаются чисто познавательные задачи, в которых всесторонне изучаются явления, или прикладные задачи, в которых выделяются определенные свойства тех или иных процессов, используемые для конкретных практических целей.
Точность измерений и вычислений определяет точность проводимых исследований. С наибольшей точностью должны быть исследованы существенные факторы. Слишком точные измерения и вычисления несущественных факторов не только бесплодны и излишне усложняют результат, но и могут привести к тому, что действительно существенные в данном явлении закономерности выпадут из рассмотрения. Известно, что многие крупнейшие инженеры-математики рассматривали излишнюю точность получения результатов как грубейшую ошибку. Проблемы точности возникают с особой остротой в связи с существованием факторов, влияющих на результат измерения, но не охватываемых моделью исследуемого явления.
Распространенной ошибкой является недостаточное внимание к качеству исходных данных. Самый точный вычислительный метод может быть в значительной мере обесценен, если воспользоваться не вполне верными исходными данными или данными, имеющими низкую точность. При этом может создаться неправильное представление об обоснованности вывода. Поэтому важно, чтобы выбираемый метод решения задачи был рассчитан на использование таких данных, которые можно реально получить с требуемой достоверностью. Некоторые более точные методы, учитывающие большое количество факторов и более тонко отражающие экономические, организационные или физические зависимости, могут быть более чувствительны к погрешностям исходных данных, чем методы грубые. Следовательно, если получить точные данные невозможно, то целесообразно изменить метод получения количественных результатов, и, может быть упростить его, с тем чтобы труд, связанный с применением метода высокой точности, не оказался неоправданным.
Построение модели, как всякая неформальная процедура, не может выполняться чисто дедуктивными методами, а всегда опирается на индукцию, используя полученные с тем или иным приближением экспериментальные данные. Это приводит к тому, что модель адекватна реальному экономическому объекту, явлению или процессу лишь в некоторой степени, но эта степень должна удовлетворять постановке задачи. Степень адекватности обычно заранее неизвестна и выясняется только после многократных проверок.
Любой результат прикладного экономико-математического исследования должен восприниматься критически. Такие исследования основываются на тех или иных гипотезах либо допущениях, которые могут оказаться и неверными. Даже если каждое допущение в отдельности представляется приемлемым, то их сочетание из-за неблагоприятного стечения обстоятельств может привести к ошибке, следовательно, модель может оказаться неадекватной.
Чаще всего после получения математического описания и математической модели исследователь имеет только некоторую ожидаемую степень адекватности, называемую внешним подобием. Это правдоподобие характеризует соответствие математической модели изучаемому реальному объекту. Внешнее правдоподобие, как правило, тем ближе к истинной степени адекватности, чем выше опыт работы и интуиция исследователя в изучаемой области.
Аналогично можно ввести понятие внутреннего правдоподобия,характеризующего ожидаемую степень адекватности после всех процедур решения, осуществляющих переход от математической модели, формализовавшей задачу, к окончательному ответу. Следовательно, внутреннее правдоподобие - это ожидаемое соответствие реально полученного решения уравнений формализованной математической модели идеальному математическому решению, оно выявляется при сопоставлении полученного решения с идеальным. Внутреннее правдоподобие зависит от метода исследования. Если бы исследование проводилось на дедуктивном уровне исходя только из определенных теоретических и чисто математических положений, то внутреннее правдоподобие было бы максимальным - максимально возможным. В прикладном же практическом исследовании, когда применяются упрощения при описании системы и уравнения системы преобразуются без полного дедуктивного обоснования, внутреннее правдоподобие соответственно снижается.
Среди многих вопросов, касающихся соотношения между внешним и внутренним правдоподобием, одним из центральных является вопрос о разумных требованиях к внутреннему правдоподобию при некотором принятом уровне внешнего правдоподобия, то есть при фиксированном выборе математической модели.
Оптимальна такая ситуация, при которой значения внешнего и внутреннего правдоподобия одного порядка. Однако этого не всегда можно достичь и часто приходится выбирать между громоздкой математической моделью, обладающей высоким внешним правдоподобием, но грубым решением, и более простой моделью, у которой внешнее правдоподобие ниже, но решение можно получить с высокой точностью. Ожидаемый итоговый уровень адекватности решения во всех случаях будет примерно одинаковым.