Лекции по теории вероятностей и математической статистике

ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ

ЛЕК.1

Часть 1. Представления и методы теории вероятности

1. Исходные понятия

Важнейшим понятием, лежащим в основе теории вероятности и математической статистики являетсяСОБЫТИЕ, под которым понимается всякий возможный результат (факт), который может произойти (или не произойти) в результате наблюдения /либо эксперимента.

Событие, которое относительно некоторого комплекса может произойти, а может и не произойти, называют случайным событием.

Событиесчитается достоверным,если можно указать комплекс условий, при каждой реализации которых оно неизбежно происходит.

Событие, которое заведомо не может произойти (при реализации данного комплекса условий) называется невозможным событием.

В результате наблюдений (испытаний) при данном комплексе условий могут иметь место различные результаты (исходы) и каждый из них называют элементарным событием.

Всю совокупность возможных исходов наблюдения /эксперимента/ называют множеством /или пространством/ элементарных событий (исходов).

ЛЕК.2

ЛЕК.3

Независимые события

События A и B называются независимыми, если вероятность одного из них не зависит от исхода другого, в противном случаи они называются зависимыми.

Пример 4: При бросании 2-х костей число очков выпадающей на каждой кости не зависит от того, какое число выпадет (или выпало) на другой кости. Или - сумма получаемых очков при каждом таком испытании не зависит от исхода в предыдущем испытании.

Пример 5:В урне 3 белых и 3 черных шара. В случае, когда шары вынимаются без возврата, вероятность выбора белый шар до испытания будет равной Вероятность же

выбора белого шара после испытании будет зависить от исхода этого (первого) испытания:

Если исход 1 испытания –белый шар, то эта вероятность будет 2/5 , если же исход 1 испытания - черный шар, то 3/5 .

Пусть A и B - независимые события, тогда (независимо от событие B) для события A будет благоприятствовать - элементарных исходов из всех возможных исходов и при любом из этих результатов событию B будет благоприятствовать - исходов из общего числа возможных исходов . При этом (одновременному) наступлению и события A и события B -по правилу произведения комбинаторики- будут соответствовать исходов, а общее число всех возможных исходов будет равно . Следовательно вероятность наступления такого события будет равна:

,

Т.о. вероятность совмещения (одновременного наступления) 2-х независимых событий определяется так называемой формулой умножения вероятностей :

.

Эта формула легко обобщается и на случай n независимых событий :

Если - независимые событие, то

Пример 6: Устройство состоит из трех соединенных последовательно элементов.

Пусть A_i – режим безотказной работу устройства i, (i=I,II,III) и вероятность безотказной работы элемента I равна , элемента II- , а элемента III -

При этом безотказная работа всего устройства будет состоять в событии , а ее вероятность будет

Условная вероятность

Если событие A и B зависимы друг от друга (см. приведенный пример 5 выше), то вероятность реализации события B (после наступление A) будет отличаться от вероятности P(B) данного события B, вычисленной без учета события A.

Вероятность события B, найденная при условии, что событие A произошло, называется условной вероятностью и обозначается через P(B/A) или

Используя классический подход нетрудно показать, что для таких (зависимых) событий справедливы соотношения

При этом

и в тоже время -

Откуда следует, что

вероятность совмещения (одновременного наступления) зависимых событий A и B будет определяться следующей формулой умножения вероятностей зависимых событий

Из этой формулы при найденных каким-то образом вероятностях и (или - P(B) ) находится

формула для вероятности условных событий:

В частности для рассмотренного выше примера 5 будем иметь:

A - белый шар при первой попытке;

B - белый шар при второй попытке.

Тогда вероятность выбора 2-х белых шаров будет:

Если же изъятые шары возвращаются в урну, то события A и В будут уже независимыми, причем:

, и

Приведенная выше формула умножения вероятностей также обобщается

для любого числа зависимых событий:

Учитывая такие соотношения, для объединения событий А и В получаем

общую формулу сложения вероятностей:

Для рассмотра выше примера 3 имеем B/A= - здесь 2 исхода для события В -при условии, что событие A (для которого в свою очередь благоприятны 6 из 36 всех возможных исходов) уже произошло. В то же время A/B= - здесь также два исхода для события A –при условии, что событие В (для которого соответственно благоприятны 10 из всех возможных 36 исходов) уже произошло. При этом для условных событий находим следующие значения их вероятности: P_A(B)=2/6 и - P_B(A)=2/10 , а для вероятности (одновременного) наступления и события А и события В, согласно указанным формулам умножения будет:

или .

Как видно эти результаты совпадают с найденным ранее классическим способом.

Далее, по обобщенной формуле сложения вероятностей, также получаем результат

также совпадающий с ранее найденным по классическому способу.

ЛЕК.4

Основные соотношения

Любое событие А и его дополнение несовместны; они дополняют друг друга до полного пространства событий ( ) и поэтому ;

отсюда следует, что

в частности –

.

Используя свойство ассоциативности дизъюнктивной суммы A₁+ A₂+ A₃=A₁+(A₂+ A₃ ) и аксиому 3, для попарно несовместных событий будем иметь

P(A₁+ A₂+ A₃) = P(A₁)+P(A₂+ A₃) = P(A₁)+P(A₂)+P(A₃) .

В соответствии с этим записывается теорема сложения для любого числа n несовместных событий:

.

Рассмотрим два события A и B . Соответствующие им множества A и B разбивают весь универсум на четыре непересекающиеся подмножества (см. рис.), каждое из которых будет соответствовать определенному событию:

Через эти части можно записать, что (аналогично ),

а также -

Слагаемые в правых частях этих равенств не пересекаются и потому, согласно аксиоме 3, будут справедливы следующие формулы:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

;

5) .

Учитывая приведенные формулы 1 и 2,для двух совместных событий легко получить:

Поскольку вероятность любых событий A и B больше или равна нулю (в том числе ) то из трех последних соотношений следует:

В случае, когда A и B несовместны, и эти неравенства переходят в равенства.

Далее, условная вероятность события B(определяемая при условии выполнения события A), по определению, принимается равной

Отсюда следует, что:

для зависимых событий - ;

для независимых событий -

ЛЕК.5

ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ

ЛЕК.1