Анализ на чувствительность к изменениям запасов ресурсов

Изменение запаса ресурса соответствует изменению правой части соответствующего ограничения в математической модели. Для анализа влияния таких изменений на оптимальное решение используются коэффициенты из столбца остаточной переменной, входящей в изменившееся ограничение.

Выполним анализ на чувствительность к изменению запаса пластмассы для примера 2.1. Пусть запас изменился на d кг и составляет не 500, а 500+dкг. Величина d может быть как положительной (запас ресурса увеличился), так и отрицательной (запас уменьшился). Если изменение запаса ресурса не выходит за некоторый диапазон (определение этого диапазона будет показано ниже), то новое оптимальное решение можно найти следующим образом:

x₁=4–0,01d

х₂=24+0,05d

х₄=90–0,13d (2.3)

Е=7600+14,67d

Здесь коэффициенты -0,01; 0.05; -0.13 и 14,67 взяты из столбца переменной х₅ в окончательной симплекс-таблице (табл. 2.4).

Пусть, например, запас пластмассы составляет не 500,а 600 кг. Хотя постановка задачи изменилась, для поиска нового оптимального решения не требуется решать задачу заново. Достаточно подставить в уравнения (2.3) величину d= 100 (так как запас пластмассы увеличился по сравнению с первоначальной постановкой задачи на 100 кг) Новое оптимальное решение оказывается следующим: х₁=3;х₂=29;х₄=77;Е=9067. Это означает, что в новых условиях (при запасе пластмассы 600 кг) цеху следует выпускать за смену 3 корпуса и 29 задвижек. Неизрасходованный остаток стали составит примерно 77 кг. Прибыль составит примерно 9067 ден ед. Алюминий и пластмасса будут израсходованы полностью (переменные х₃ и х₅ остаются небазисными, т.е. равными нулю).

Примечание. Так как прибыль от выпуска одного корпуса составляет 100 ден. ед., а от одной задвижки - 300 ден. ед., можно подсчитать точную величину прибыли: 100*3+300*29=9000 ден. ед. Можно также определить точную величину расхода стали на выпуск изделий: 10*3+5*29=175 кг; значит, остаток составит 250 - 175 = 75 кг. Незначительные неточности в результатах, полученных на основе анализа на чувствительность, связаны с округлениями, допускавшимися при расчетах в симплекс-таблицах.

Пусть запас пластмассы составляет не 500, а 400 кг. Для поиска нового оптимального решения достаточно подставить в уравнения (2.3) величину d = -100 (так как запас пластмассы уменьшился по сравнению с первоначальной постановкой задачи на 100 кг).

Новое оптимальное решение следующее: х₁=5;х₂=19;х₄=103;Е=6133. Это означает, что в новых условиях (при запасе пластмассы 400 кг) цеху следует выпускать за смену 5 корпусов и 19 задвижек. Неизрасходованный остаток стали составит примерно 103 кг. Прибыль составит примерно 6133 ден. ед. Алюминий и пластмасса будут израсходованы полностью (переменные х₃ и х₅ остаются небазисными, т.е. равными нулю).

Примечание. Точная величина прибыли для данного решения составляет 100*5 +300*19 = 6200 ден. ед. Точная величина остатка стали составит 250-10*5-5*19 = 105кг.

Можно также определить диапазон изменений запаса ресурса, при котором состав переменных в оптимальном базисе остается прежним. Этот диапазон находится из условия неотрицательности всех переменных. Так, для примера 2.1 диапазон допустимых изменений запаса пластмассы, не приводящий к изменению состава переменных в оптимальном базисе, находится из следующих условий:

х₁=4-0,01*d≥ 0

х₂=24+0,05*d≥ 0

х₄=90-0,13*d≥ 0

Решив эту систему неравенств, получим: —480≤ d≤ 400. Это означает, что базис оптимального решения будет состоять из переменных х₁, х₂, х₄, если запас пластмассы, заданный в постановке задачи, будет составлять от 500-480 до 500+400 кг, т.е. от 20 до 900 кг. Для любой величины запаса пластмассы, входящей в этот диапазон, новое оптимальное решение можно найти из уравнений (2.3).

Аналогично можно найти, что базис оптимального решения будет состоять из переменных х₁, х₂, х₄, если запас алюминия будет составлять от 120 до 391,5 кг. Для определения этого диапазона потребуется использовать коэффициенты из столбца переменной х₃.

Если запас ресурса выходит за найденный диапазон, то для получения нового оптимального решения необходимо решить задачу заново, используя симплекс-метод. Новое оптимальное решение будет отличаться от прежнего не только значениями, но и составом переменных в оптимальном базисе.

Например, уравнения (2.3) нельзя использовать для определения нового оптимального решения, если запас пластмассы составит 1100 кг (т.е. увеличится на 600 кг). Если подставить величину d = 600 в уравнения (2.3), то переменная х₁ (количество корпусов) примет отрицательное значение, что не имеет смысла. Чтобы получить оптимальный план выпуска изделий, необходимо решить задачу заново, изменив ограничение на запас пластмассы следующим образом: 5х₁+20х2≤ 1100

Примечание. Аналогично выполняется анализ на чувствительность к изменению любых ограничений «меньше или равно», независимо от того, что они означают: ограничения на запасы ресурсов или какие-либо другие величины.