Расчет сумм для вычисления параметров уравнения прямой по несгруппированным данным

Исходные данные	Расчетные значения
№ пред- при- ятия	Электровооружен- ность труда на одного рабочего, кВт*ч	Выпуск продукции на одного рабочего, т	xy	x2	y2	yx	(y-yx)2
…	…	…	…	…	…	3,61 6,01 4,41 … 8,38 5,20	0,3721 0,0001 0,1682 … 0,381 0,04
Итого							5,761
В сред- нем	5,0	6,0	34,3	30,4	40,0	6,0	0,5761

Подставим в систему нормальных уравнений (2) фактические данные из табл.7.1 и получим равенства

10a₀+50a₁=60,

50a₀+304a₁=343.

Систему нормальных уравнений решаем в такой последовательности (по методу множителей): умножим каждый член первого уравнения на число равное 5. Получим

50a₀+250a₁=300,

50a₀+304a₁=343.

Затем вычтем из второго уравнения первое: 43=54a₁, откуда a₁=43/54=0,7963

После подстановки значения a₁ в первое уравнение получим a₀=2,02.

Уравнение регрессии имеет вид: y_x=2,02+0,796x.

С помощью определителей параметры уравнения прямой можно вычислить по формулам (3)и (4).

Если параметры регрессионного уравнения определены верно, то должно соблюдаться равенство сумм теоретических и эмпирических значений выпуска готовой продукции, а сумма разностей между эмпирически и теоретическими значениями выпуска готовой продукции должна быть равна нулю.

Окончательную проверку правильности расчета параметров уравнения связи можно также произвести подстановкой a₀ и a₁ в систему нормальных уравнений (рассматривая их как корни уравнения).

Используя уравнение корреляционной связи, можно определить теоретическое значение y_x для любой промежуточной точки (теоретическое значение выпуска готовой продукции на одного рабочего для любого промежуточного значения электровооруженности труда на одного рабочего) (см. табл.7.1).

В нашем уравнении регрессии параметр a₁=0,796 показывает, что с увеличением электровооруженности труда одного рабочего на 1 кВт*ч выпуск готовой продукции возрастет на 0,796т.

Средний коэффициент эластичности,

равный 0,66 показывает, что с увеличением электровооруженности труда на 1% выпуск готовой продукции возрастет на 0,66

Табличное значение t- критерия с уровнем значимости 0,05 и число м степеней свободы (n-2) равно 2,307.

Так как t_эмп>t_табл, то параметры уравнения регрессии можно признать значимыми.

Значимость коэффициента корреляции оценим с помощью t-критерия по формуле (34):

t_r=

Эмпирическое значение t больше табличного, следовательно, коэффициент корреляции можно признать значимым.

Вычислим ошибку аппроксимации по формуле

Так как параметры уравнения регрессии значимы, уравнение значимо, показатели тесноты значимы, ошибка аппроксимации равна 5,8%, коэффициент детерминации равен 0,856, то можно сделать заключение, что построенная регрессионная модель зависимости производительности труда и электровооруженности y_x=2,02+0,796x может быть использована для анализа прогноза.

Пример 2. Имеются данные по 52 предприятиям отрасли.

Группа заводов по фондовооруженности, млн. руб. x	Количество заводов     f	Объем продукции, млн. руб.     y
5-7 7-9 9-11 … 21-23 23-25	…	3,0 5,0 6,3 … 17,0 19,0

По исходным данным найти параметры линейного корреляционного уравнения, характеризующего зависимость между продукцией и фондовооруженностью.

Решение. Параметры линейного уравнения регрессии y_x=a₀+a₁x можно вычислить по формулам (15), (17). Расчетные данные для вычисления параметров представлены в табл. 7.2.

Таблица 7.2.