Аксиоматический подход Эрроу.

Циклические коллективные предпочтения являются задачами с произвольными исходными данными и стратегическим поведением. Они возникают либо когда предпочтения порождаются принципом большинства, как в примере выше, либо в какой-нибудь другой процедуре голосования. Таким образом, перед Эрроу встал вопрос: возникают ли противоречивые коллективные предпочтения лишь при принципе большинства и тесно связанных с ним методах или они присущи всем системам голосования? Для ответа на этот вопрос он должен был бы рассмотреть различные процедуры голосования и для каждой из них проверить, не порождают ли какие-нибудь конфигурации индивидуальных упорядочений предпочтений циклы или коллективные предпочтения с какими-нибудь другими неприемлемыми свойствами. Сложность заключалась в том, что ему пришлось бы исследовать огромное количество процедур объединения, сильно различающихся теми ролями, которые в них приписывались отдельным голосующим, и критериями, которые использовались для упорядочения альтернатив.

По необходимости Эрроу вместо этого выбрал аксиоматический подход. Он сформулировал задачу как выбор «конституции», т.е. правила, приписывающего коллективное упорядочение альтернатив каждой конфигурации упорядочений индивидуальных предпочтений. Конституция определяет, является ли альтернатива предпочитаемой, лишней или безразличной по отношению к каждой другой. (Две альтернативы считаются безразличными, если общество рассматривает их как одинаково привлекательные.) Эрроу сузил множество возможных конституций, наложив пять требований, которые (как он утверждал) являются необходимыми свойствами каждого этически приемлемого метода объединения. Затем он охарактеризовал класс конституций, которые удовлетворяют всем пяти свойствам.

Первая аксиома Эрроу.

Универсальность требует, чтобы конституция отражала каждую возможную конфигурацию предпочтений голосующих. Эрроу утверждал, что, поскольку нельзя предсказать все разновидности конфликта, который может возникнуть в ходе действия правила голосования, общество не должно принимать конституции, которая окажется несостоятельной хотя бы при некоторых структурах предпочтений голосующих. Поэтому, как подчеркивал Эрроу, общество должно настаивать на такой конституции, которая была бы достаточно общей, чтобы разрешить все возможные споры.

Вторая аксиома Эрроу.

Это аксиома единогласия. Управляет действием конституции, когда нет согласия между избирателями. Она устанавливает, что для конфигурации предпочтений, при которой каждый индивидуум предпочитает альтернативу А альтернативе Б, коллективное упорядочение должно быть таким же. Если придерживаться точки зрения, при которой считается, что общественное упорядочение должно отражать предпочтения членов этого общества, то трудно спорить с условием единогласия, которое разрешает проблему в случае, который безусловно является простейшим при объединении предпочтений.

Третья аксиома Эрроу.

Независимость требует, чтобы коллективное упорядочение любой пары альтернатив зависело лишь от индивидуальных упорядочений этих двух альтернатив. Как бы не менялись индивидуальные предпочтения других альтернатив, если каждое из индивидуальных упорядочений А и Б остается неизменным, коллективное упорядочение А и Б так же не меняется.

Конституция, удовлетворяющая условию независимости, ограничивает информацию об индивидуальных упорядочениях, требующуюся для определения коллективного упорядочения пары альтернатив. В частности, информация об индивидуальных предпочтениях не представленных альтернатив для коллективного упорядочения рассматриваемых альтернатив; это является большим преимуществом, когда сложно или дорого выявлять индивидуальные упорядочения предпочтений. Без условия независимости конституция должна была бы определять, какие другие альтернативы являются существенными для определения коллективного упорядочения А и Б и как индивидуальные предпочтения для этих альтернатив отражаются на коллективном упорядочении А и Б.

Одна распространенная процедура, упорядочение судейских голосов, нарушает условия независимости. (Эта система обычно используется спортивными отделами газет для определения мест, занятых спортивными командами колледжей, и передачи информации комментаторами по телефону.)

Когда имеются три альтернативы, это правило коллективного выбора приписывает каждому кандидату три балла, если он оказался первым в списке некоторого голосующего, два балла, если он оказался вторым, и один балл, если третьим. Коллективное упорядочение определяется суммированием баллов каждого кандидата и расположением их в порядке суммарных баллов. В комитете, состоящем из трех членов, каждый кандидат получает шесть баллов, и, таким образом, комитет безразличен по отношению к этим трем кандидатам.

4 То есть альтернативы монархической.

5 То есть в республиканско-демократических условиях.

Предположим, что свое упорядочение кандидатов Том изменяет с А, Б, С на А, С, Б. Хотя ни один из членов комитета не изменил своего упорядочения А и Б, описываемая процедура теперь коллективное упорядочение А по отношению к Б, поскольку А по-прежнему получает шесть баллов, а Б получает пять баллов.

Следовательно, при таком голосовании коллективное упорядочение А и Б зависит не только от того, как индивидуумы их упорядочивают, но также и от относительных позиций других альтернатив, таких как С.

Четвертую и пятую аксиомы лучше рассмотреть, введя некоторые обозначения.

Р - строгое коллективное предпочтение (аналогичное отношению «больше» между парой действительных чисел).

М - коллективное безразличие (аналогичное равенству).

Н - отношение слабого коллективного предпочтения (аналогичное отношению «больше или равно»).

Таким образом, выражение АнБ означает «А коллективно по меньшей мере так же хорошо, как Б», т.е. либо АрБ, либо АмБ.

Четвертая аксиома Эрроу.

Аксиома полноты: для каждой пары альтернатив А и Б должно выполняться АнБ, либо БнА (либо оба вместе; в этом случае А и Б безразличны). Согласно этой аксиоме, для процедуры объединения требуется упорядочить каждую пару альтернатив. Коль скоро конституция имеет возможность объявить любую пару альтернатив безразличной, полнота является, по-видимому, относительно безобидным требованием.